计算机科学导论：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

数制

位权: 二进制 2^k，八进制 8^k，十六进制 16^k
转为十进制: Σ d_k·b^k
从十进制转换: 除以基数，余数从下往上读
十六进制 ↔ 二进制: 一位十六进制数 = 4 位二进制
二进制补码: 按位取反后加 1

命题逻辑与证明

真值表的行数: 2ⁿ
蕴涵: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
蕴涵的否定: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
双条件: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
德摩根律: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
分配律: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
量词的否定: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
肯定前件，否定后件: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

方法

数一数不同变量的个数：真值表有 2ⁿ 行，从全为 1 的一行开始。
给每个子公式单独一列，由内向外逐列填写。
按各联结词的规则计算：→ 只有在 1 → 0 时为 0，↔ 在两边相同时为 1。
判断等价时，逐行比较最后一列；判断论证时，只看所有前提都为 1 的那些行。
否定带量词的命题时，把 ¬ 移到内部，交换 ∀ 和 ∃，并否定内部的公式。

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈: 消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
触发器: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器: n 位：2ⁿ 个状态；模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； f_out = f_clk/N
行波计数器: f_max = 1/(n·t_pd)
环形计数器与约翰逊计数器: n 个和 2n 个状态

方法

对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

数论与模运算

带余除法: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
欧几里得: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
最小公倍数: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
逆矩阵: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
线性同余方程: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
欧拉函数: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
费马: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

方法

先把每个数对 n 取模；余数在 0 到 n − 1 之间。
求最大公约数时，用欧几里得算法反复做除法；最后一个非零余数就是最大公约数。
求逆元时，运行扩展算法并保留 a 的系数；若为负数则加上 n。
解 a·x ≡ b 时，两边乘以 a⁻¹；合并两个同余式时，写成 x = r₁ + m₁k。
求幂时，把指数写成二进制并反复平方；在 RSA 中，d = e⁻¹ mod φ(n)，其中 φ(n) = (p − 1)(q − 1)。

图论

握手引理: Σ deg(v) = 2|E|
完全图: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正则图: |E| = n·k/2
树与森林: |E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉: 回路：所有顶点度数为偶数；通路：恰有 2 个奇度顶点
K_n 中的哈密顿回路: (n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径: (Mᴸ)_ij

方法

写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

IPv4 子网划分

每个子网的主机数: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
块大小: 256 − (mask octet)
网络地址: IP AND 掩码
广播地址: IP OR (NOT 掩码)：主机位全部置 1
借用 n 位得到的子网数: 2ⁿ

2练习题

1.数制中等

设置各位，使其以 8 位补码存储 −13。按无符号数读取，该位模式的值 U 是多少？

N = −138 bit

U =

2.数制困难

把各位设置为 0111 0110 XOR 1000 0110 的 8 位结果。该结果的十进制值 R 是多少？

0111 0110XOR1000 0110

R =

3.命题逻辑与证明中等

在其真值表的 8 行中，((b ∧ a) ↔ ¬(¬c ∨ b)) → (c ∨ ¬a) 在多少行为真？把这个数记作 N。

((b ∧ a) ↔ ¬(¬c ∨ b)) → (c ∨ ¬a)

N =

4.命题逻辑与证明困难

真值表的 16 行中，有多少行使 (¬b ∧ (d ∧ a)) ∨ ¬((d ∧ c) → (a ∨ b)) 为真？把这个数记作 N。

(¬b ∧ (d ∧ a)) ∨ ¬((d ∧ c) → (a ∨ b))

N =

5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等

一个 4 选 1 多路选择器的选择输入为 S₁ = A 和 S₀ = B，数据输入分别接 I₀ = 1，I₁ = C，I₂ = 1，I₃ = C。在 A、B、C 的 8 种组合中，有多少种使输出 F = 1？求 N。

I₀ = 1I₁ = CI₂ = 1I₃ = C

N =

6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难

一个 4 位约翰逊计数器 Q₃Q₂Q₁Q₀ 从 0000 开始。每个时钟边沿，各位向右移动一位（Q₃ → Q₂ → Q₁ → Q₀），Q₃ 接收 Q₀ 的反相。给出 4 个时钟边沿之后的状态 Q = Q₃Q₂Q₁Q₀，用十进制数表示。

Q₃Q₂Q₁Q₀ = 00004

Q =

7.数论与模运算中等

求欧拉函数 φ(1083)，即 1 到 1083 中与 1083 互素的整数个数。

n = 1083 = 3·19²

φ(1083) =

8.数论与模运算困难

解 15x ≡ 9 (mod 18)。给出最小的正解 x。

15x ≡ 9 (mod 18)

x =

9.算法与复杂度中等

递推式 T(n) = T(n − 1) + O(1) 的解是什么？

AO(2ⁿ)
BO(n)
CO(n²)
DO(log n)

10.算法与复杂度困难

Bellman–Ford 算法如何检测从源点可达的负权环？

A在 V − 1 轮之后，检查是否还有边可以被松弛
B它运行两次 Dijkstra 算法，并比较两次的距离结果
C检查是否有边的权重为负
D用深度优先搜索统计环的数量

11.数据结构中等

深度优先搜索（迭代版本）使用哪种数据结构？

A栈
B仅哈希表
C队列
D堆

12.数据结构困难

在没有按秩合并和路径压缩的情况下，含 n 个元素的并查集结构中一次 find 操作的最坏代价是多少？

AO(1)
BO(n)
CO(log n)
DO(α(n))

13.图论中等

这个连通图有欧拉回路、有不是回路的欧拉通路，还是两者都没有？点选你的答案。

|V| = 6|E| = 7

1欧拉回路
2有欧拉通路，无回路
3都不是

14.图论困难

用迪杰斯特拉算法求带权图中从 A 到 F 的最短路径的长度 d(F)。

起点：A终点：F

d(F) =

15.数据库与 SQL中等

什么是脏读？

A两次读取同一行并得到相同的值
B读取另一个尚未提交的事务所写入的数据
C从损坏的磁盘读取数据
D不带 WHERE 子句读取数据

16.数据库与 SQL困难

如果 col 中所有值都是 NULL 且表有 10 行，SELECT COUNT(col) FROM t 的结果是什么？

A报错
B10
CNULL
D0

17.计算机网络中等

TLS 为 HTTPS 提供哪些安全特性？

A防御所访问网站上的所有恶意软件和网络钓鱼
B仅加快加载速度
C机密性、完整性和服务器身份认证
D用户匿名性

18.计算机网络困难

为什么 IPv6 不需要用 NAT 来解决地址短缺问题？

A其 128 位地址空间足够大，可以为每台设备分配全局地址
BIPv6 会加密所有地址
CIPv6 不使用地址
DIPv6 只在本地网络中工作，因此地址永远不需要全局共享

19.IPv4 子网划分中等

某部门在一个子网内需要 1998 个主机地址。足够使用的最长前缀 p（最小子网）是多少？

1998 hosts

p =

20.IPv4 子网划分困难

某主机地址为 10.20.237.146/29。其子网广播地址的最后一个数（第四个八位组）x 是多少？

10.20.237.146/29

x =

3溶液

1.数制

答案: U = 243

设置比特位：每一位对应 2 的一个幂（128、64、…、1）。一个十六进制数字恰好是四位，在 8 位补码中最左边的位权重为 −128。按位运算对每个位位置分别进行。

取反加一

13 = 0000 1101

取反后: 1111 0010

+1 → 1111 0011

按无符号数读取

1111 0011₂ = 256 − 13 = 243

答案

U = 243

2.数制

答案: R = 240

逐位计算

XOR 在两位不同时得 1。

0111 0110

XOR 1000 0110

= 1111 0000

结果的值

1111 0000₂ = 240

答案

R = 240

3.命题逻辑与证明

答案: N = 7

真值表：含 n 个不同变量的公式有 2ⁿ 行，每一行对应真值的一种组合（1 = 真，0 = 假）。由内向外进行，给每个子公式单独一列。¬a 把值取反；a ∧ b 只有在两者都为 1 时才为 1；a ∨ b 只有在两者都为 0 时才为 0；a → b 只有在 a = 1 且 b = 0 时才为 0；a ↔ b 在两边相等时为 1。

逐行写出真值表

a = 1, b = 1, c = 1: b ∧ a = 1, ¬c = 0, ¬c ∨ b = 1, ¬(¬c ∨ b) = 0, (b ∧ a) ↔ ¬(¬c ∨ b) = 0, ¬a = 0, c ∨ ¬a = 1, ((b ∧ a) ↔ ¬(¬c ∨ b)) → (c ∨ ¬a) = 1

a = 1, b = 1, c = 0: b ∧ a = 1, ¬c = 1, ¬c ∨ b = 1, ¬(¬c ∨ b) = 0, (b ∧ a) ↔ ¬(¬c ∨ b) = 0, ¬a = 0, c ∨ ¬a = 0, ((b ∧ a) ↔ ¬(¬c ∨ b)) → (c ∨ ¬a) = 1

a = 1, b = 0, c = 1: b ∧ a = 0, ¬c = 0, ¬c ∨ b = 0, ¬(¬c ∨ b) = 1, (b ∧ a) ↔ ¬(¬c ∨ b) = 0, ¬a = 0, c ∨ ¬a = 1, ((b ∧ a) ↔ ¬(¬c ∨ b)) → (c ∨ ¬a) = 1

a = 1, b = 0, c = 0: b ∧ a = 0, ¬c = 1, ¬c ∨ b = 1, ¬(¬c ∨ b) = 0, (b ∧ a) ↔ ¬(¬c ∨ b) = 1, ¬a = 0, c ∨ ¬a = 0, ((b ∧ a) ↔ ¬(¬c ∨ b)) → (c ∨ ¬a) = 0

a = 0, b = 1, c = 1: b ∧ a = 0, ¬c = 0, ¬c ∨ b = 1, ¬(¬c ∨ b) = 0, (b ∧ a) ↔ ¬(¬c ∨ b) = 1, ¬a = 1, c ∨ ¬a = 1, ((b ∧ a) ↔ ¬(¬c ∨ b)) → (c ∨ ¬a) = 1

a = 0, b = 1, c = 0: b ∧ a = 0, ¬c = 1, ¬c ∨ b = 1, ¬(¬c ∨ b) = 0, (b ∧ a) ↔ ¬(¬c ∨ b) = 1, ¬a = 1, c ∨ ¬a = 1, ((b ∧ a) ↔ ¬(¬c ∨ b)) → (c ∨ ¬a) = 1

a = 0, b = 0, c = 1: b ∧ a = 0, ¬c = 0, ¬c ∨ b = 0, ¬(¬c ∨ b) = 1, (b ∧ a) ↔ ¬(¬c ∨ b) = 0, ¬a = 1, c ∨ ¬a = 1, ((b ∧ a) ↔ ¬(¬c ∨ b)) → (c ∨ ¬a) = 1

a = 0, b = 0, c = 0: b ∧ a = 0, ¬c = 1, ¬c ∨ b = 1, ¬(¬c ∨ b) = 0, (b ∧ a) ↔ ¬(¬c ∨ b) = 1, ¬a = 1, c ∨ ¬a = 1, ((b ∧ a) ↔ ¬(¬c ∨ b)) → (c ∨ ¬a) = 1

数出值为 1 的行数

((b ∧ a) ↔ ¬(¬c ∨ b)) → (c ∨ ¬a): 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1

N = 7

答案

N = 7

4.命题逻辑与证明

答案: N = 3

各列

¬b; d ∧ a; ¬b ∧ (d ∧ a); d ∧ c; a ∨ b; (d ∧ c) → (a ∨ b); ¬((d ∧ c) → (a ∨ b)); (¬b ∧ (d ∧ a)) ∨ ¬((d ∧ c) → (a ∨ b))

按 a 拆分

a = 1: 2

a = 0: 1

N = 2 + 1 = 3

答案

N = 3

5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 6

多路选择器：2ⁿ 选 1 多路选择器把其数据输入之一传到输出；选择线按二进制数读取，决定选哪一个。对于选择端 S₁S₀ = AB 的 4 选 1 MUX，F = A′B′·I₀ + A′B·I₁ + AB′·I₂ + AB·I₃。把数据输入接到 0、1、C 或 C′，可使 MUX 产生 A、B、C 的任意函数，这是用一块芯片实现逻辑的常用方法。

输出表达式

F = A′B′ + A′BC + AB′ + ABC

F = 1 的行

ABC = 000, 001, 011, 100, 101, 111

N = 6

答案

N = 6

6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: Q = 15

触发器与计数器：触发器只在时钟的有效边沿改变。D 复制其输入 (Q⁺ = D)；T 在 T = 1 时翻转；JK 在 00 时保持，01 时复位，10 时置位，11 时翻转。n 位二进制计数器有 2ⁿ 个状态，按模 2ⁿ 计数；模 N 计数器依次计 0, 1, …, N − 1 然后回到 0，需要满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n 个触发器。行波计数器的每一级使频率减半，所以模 N 计数器的最后一级输出频率为 f_clk/N。n 个触发器的约翰逊计数器有 2n 个状态，环形计数器有 n 个。

每个边沿之后的状态

0000 → 1000 → 1100 → 1110 → 1111

十进制值

1111₂ = 15

答案

Q = 15

7.数论与模运算

答案: φ(1083) = 684

逆元与同余式：a 模 n 有逆元，当且仅当 gcd(a, n) = 1。扩展欧几里得算法把 1 写成 s·n + t·a，于是 a⁻¹ ≡ t (mod n)。当 gcd(a, n) = 1 时，同余式 a·x ≡ b (mod n) 的解为 x ≡ a⁻¹·b。模数互素的两个同余式 x ≡ r₁ (mod m₁) 和 x ≡ r₂ (mod m₂) 在模 m₁·m₂ 下有唯一解（中国剩余定理）。欧拉函数 φ(n) 表示 1 到 n 中与 n 互素的数的个数：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。

素因数

1083 = 3·19²

欧拉函数值

φ(1083) = φ(361)·φ(3) = 342·2 = 684

答案

φ(1083) = 684

8.数论与模运算

答案: x = 3

除以最大公约数

gcd(15, 18) = 3

5x ≡ 3 (mod 6)

解化简后的同余式

5⁻¹ ≡ 5 (mod 6) → x ≡ 3 (mod 6)

模 18 下的解

x ∈ {3, 9, 15}

度

deg(A) = 1, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 4, deg(F) = 1

奇度顶点

A, F → 2

有欧拉通路，无回路

答案

有欧拉通路，无回路

欧拉通路从一个奇度顶点出发，在另一个奇度顶点结束。

14.图论

答案: d(F) = 24

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

每一行：被确定的顶点、它的最终距离，以及距离得到改进的邻点。

A (0): B: 15, C: 13

C (13): G: 21

B (15): D: 20, G: 16

G (16): E: 28

D (20): F: 24

F (24): E: 26

E (26)

最短路径

A → B → D → F

所需主机位

2¹⁰ − 2 = 1022 < 1998

2¹¹ − 2 = 2046 ≥ 1998 → h = 11

前缀长度

p = 32 − 11 = 21

答案

p = /21

20.IPv4 子网划分

答案: x = 151

块大小

2³ = 8

该主机所在子网

网络: ⌊146/8⌋·8 = 144

广播: 144 + 8 − 1 = 151

可用主机: 145 … 150

答案

x = 151

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