计算机科学导论：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

数制

位权
二进制 2k，八进制 8k，十六进制 16k
转为十进制
Σ dk·bk
从十进制转换
除以基数，余数从下往上读
十六进制 ↔ 二进制
一位十六进制数 = 4 位二进制
二进制补码
按位取反后加 1

命题逻辑与证明

真值表的行数
2ⁿ
蕴涵
p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
蕴涵的否定
¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
双条件
p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
德摩根律
¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
分配律
p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
量词的否定
¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
肯定前件，否定后件
p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

方法

  1. 数一数不同变量的个数：真值表有 2ⁿ 行，从全为 1 的一行开始。
  2. 给每个子公式单独一列，由内向外逐列填写。
  3. 按各联结词的规则计算：→ 只有在 1 → 0 时为 0，↔ 在两边相同时为 1。
  4. 判断等价时，逐行比较最后一列；判断论证时，只看所有前提都为 1 的那些行。
  5. 否定带量词的命题时，把 ¬ 移到内部，交换 ∀ 和 ∃，并否定内部的公式。

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门
A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则
X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律
(X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序
00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈
消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器
F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
触发器
D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器
n 位：2ⁿ 个状态； 模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； fout = fclk/N
行波计数器
fmax = 1/(n·tpd)
环形计数器与约翰逊计数器
n 个和 2n 个状态

方法

  1. 对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
  2. 化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
  3. 用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
  4. 对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

数论与模运算

带余除法
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
欧几里得
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
最小公倍数
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
逆矩阵
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
线性同余方程
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
欧拉函数
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
费马
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

方法

  1. 先把每个数对 n 取模；余数在 0 到 n − 1 之间。
  2. 求最大公约数时，用欧几里得算法反复做除法；最后一个非零余数就是最大公约数。
  3. 求逆元时，运行扩展算法并保留 a 的系数；若为负数则加上 n。
  4. 解 a·x ≡ b 时，两边乘以 a⁻¹；合并两个同余式时，写成 x = r₁ + m₁k。
  5. 求幂时，把指数写成二进制并反复平方；在 RSA 中，d = e⁻¹ mod φ(n)，其中 φ(n) = (p − 1)(q − 1)。

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

IPv4 子网划分

每个子网的主机数
2(32 − prefix) − 2 (/31: 2, /32: 1)
块大小
256 − (mask octet)
网络地址
IP AND 掩码
广播地址
IP OR (NOT 掩码)：主机位全部置 1
借用 n 位得到的子网数
2n

2练习题

1.数制中等
8 位补码0−12806403201608040201

设置各位，使其以 8 位补码存储 −10。按无符号数读取，该位模式的值 U 是多少？

N = −108 bit
U =
2.数制困难
点击各位来设置012806403201608040201

把各位设置为 0111 0110 >> 2 的 8 位结果。该结果的十进制值 R 是多少？

0111 0110>> 2
R =
3.命题逻辑与证明中等
¬b ∧ a¬b ∨ ¬a¬b ∧ ¬a¬b ∨ a

哪个公式与 ¬(b ∧ a) 在逻辑上等价？点选它。

¬(b ∧ a)
  1. 1¬b ∧ a
  2. 2¬b ∨ ¬a
  3. 3¬b ∧ ¬a
  4. 4¬b ∨ a
4.命题逻辑与证明困难
¬qq¬q ∧ pp

已知前提 q → p; ¬p。由它们可以推出哪个结论？点选它。

q → p¬p
  1. 1¬q
  2. 2q
  3. 3¬q ∧ p
  4. 4p
5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等
ABCD000111100001111000111302040507160121131150140819111010

用卡诺图求 F(A, B, C, D) = Σm(1, 3, 6, 9, 11, 13, 15) 的最简和之积 (POS) 形式。它有多少个和项（因子）N？

F(A, B, C, D) = Σm(1, 3, 6, 9, 11, 13, 15)
N =
6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难
CLKJK1234567

一个上升沿触发的 JK 触发器从 Q = 0 开始，接收到所示的输入。点选 Q 第一次从 1 回到 0 的时钟边沿。

Q₀ = 0JK
  1. 1时钟边沿 1
  2. 2时钟边沿 2
  3. 3时钟边沿 3
  4. 4时钟边沿 4
  5. 5时钟边沿 5
  6. 6时钟边沿 6
  7. 7时钟边沿 7
7.数论与模运算中等

求满足 x ≡ 3 (mod 7) 和 x ≡ 7 (mod 10) 的最小正整数 x。

x ≡ 3 (mod 7)x ≡ 7 (mod 10)
x =
8.数论与模运算困难
mc = me​ mod ncm = cd​ mod nm(n, e) = (235, 5)d = ?

某个 RSA 密钥使用素数 p = 5 和 q = 47，公钥指数 e = 5。求私钥指数 d（0 < d < φ(n)）。

p = 5q = 47e = 5
d =
9.算法与复杂度中等

对 n 个元素的数组进行归并排序，递归共有多少层？

  1. A约 n / 2 层
  2. B约 log₂ n 层
  3. C约 n 层
  4. D约 √n 层
10.算法与复杂度困难

下列哪个可满足性问题已知可以在多项式时间内求解？

  1. A电路可满足性问题
  2. B合取范式公式上的一般 SAT
  3. C3-SAT，每个子句恰好有三个文字
  4. D2-SAT，每个子句至多有两个文字
11.数据结构中等

对二叉搜索树进行中序遍历时，访问键的顺序是：

  1. A始终为降序
  2. B插入顺序
  3. C层序
  4. D升序排列
12.数据结构困难

基数树（压缩字典树）相比普通字典树有什么改进？

  1. A它把单子节点链合并为一条以字符串标记的边
  2. B它只保留每个单词的首字母
  3. C它按频率对每个节点的子节点排序
  4. D它把每个单词存储在根处的哈希表中，而不是存储在单独的节点中
13.图论中等

完全图 K5 有多少条不同的哈密顿回路 H？只是起点或方向不同的回路算作同一条。

K5
H =
14.图论困难
12810611114823ABCDEFG

用迪杰斯特拉算法求带权图中从 A 到 D 的最短路径的长度 d(D)。

起点：A终点：D
d(D) =
15.数据库与 SQL中等

哪个查询返回每个部门的最高工资？

  1. ASELECT dept, MAX(salary) FROM emp ORDER BY dept
  2. BSELECT dept, salary FROM emp WHERE salary = MAX(salary)
  3. CSELECT MAX(dept), salary FROM emp GROUP BY salary
  4. DSELECT dept, MAX(salary) FROM emp GROUP BY dept
16.数据库与 SQL困难

SELECT day, SUM(amount) OVER (ORDER BY day) FROM sales 计算的是什么？

  1. A按 day 排序的 amount 累计总和
  2. B每天的平均金额
  3. C每天一行，只有当天的总额
  4. D每一行上所有金额的总和
17.计算机网络中等

一个 /26 的 IPv4 子网有多少个可用主机地址？

  1. A30
  2. B64
  3. C62
  4. D126
18.计算机网络困难

在 SYN 泛洪攻击中，攻击者试图耗尽什么资源？

  1. A交换机的 MAC 地址表
  2. B服务器的半开连接表
  3. C客户端的 DNS 缓存
  4. D服务器的磁盘空间
19.IPv4 子网划分中等
/22 → /2811111111111111111111111111110000网络位主机位

网络 10.192.36.0/22 被划分为前缀为 /28 的等大子网。共有多少个子网 N？

10.192.36.0/22/28
N =
20.IPv4 子网划分困难
最后一个八位组 = 219112816403211618041211网络主机

某主机地址为 10.20.162.219/30。其子网中最后一个可用主机地址的第四个八位组 x 是多少？

10.20.162.219/30
x =

3溶液

1.数制

答案: U = 246

设置比特位：每一位对应 2 的一个幂（128、64、…、1）。一个十六进制数字恰好是四位，在 8 位补码中最左边的位权重为 −128。按位运算对每个位位置分别进行。

取反加一

10 = 0000 1010
取反后: 1111 0101
+1 → 1111 0110

按无符号数读取

1111 0110₂ = 256 − 10 = 246

答案

U = 246
2.数制

答案: R = 29

设置比特位：每一位对应 2 的一个幂（128、64、…、1）。一个十六进制数字恰好是四位，在 8 位补码中最左边的位权重为 −128。按位运算对每个位位置分别进行。

逐位计算

右移 2 位，把每一位向右移动 2 个位置；从右端移出的位丢失，左侧补入 0。

0111 0110 >> 2
= 0001 1101

结果的值

0001 1101₂ = 29

答案

R = 29
3.命题逻辑与证明

答案: ¬b ∨ ¬a

逻辑等价：两个公式在真值表的每一行取值都相同时，它们是等价（≡）的。重言式在每一行都为 1，矛盾式在每一行都为 0，偶然式则两者都不是。常用定律：德摩根律，¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b 和 ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b；a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a（逆否命题）；¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b；以及分配律，a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。

定律

德摩根律：¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b。∧ 变成 ∨，并且两个部分都取否定。
¬(b ∧ a) ≡ ¬b ∨ ¬a

用真值表检验

a = 1, b = 1: 0 | 0 0 0 1
a = 1, b = 0: 1 | 1 1 0 1
a = 0, b = 1: 1 | 0 1 0 0
a = 0, b = 0: 1 | 0 1 1 1

答案

¬b ∨ ¬a

竖线之后的各列是按所示顺序排列的各个选项。

4.命题逻辑与证明

答案: ¬q

量词与论证：¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)，¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)。把否定向内移动，交换它经过的每个量词，并用命题逻辑的定律否定内部的公式，例如 ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b。当所有前提为 1 的每一行中结论也为 1 时，论证是有效的。只要有一行前提为真而结论为假，它就是反例，说明论证无效。

所有前提都为真的行

p = 0, q = 0: ¬q = 1, q = 0, ¬q ∧ p = 0, p = 0

结论

¬q (否定后件式)

答案

¬q
5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 4

卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。

ABCD000111100001111000111302040507160121131150140819111010

圈 0

每个圈都是由 2ᵏ 个格子组成的矩形；边上的格子与对边上的格子相邻。

(C + D)
(B + D)
(A′ + D)
(A + B′ + D′)

最简 POS 形式

F = (C + D)(B + D)(A′ + D)(A + B′ + D′)
N = 4

答案

N = 4
6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: 时钟边沿 3

触发器与计数器：触发器只在时钟的有效边沿改变。D 复制其输入 (Q⁺ = D)；T 在 T = 1 时翻转；JK 在 00 时保持，01 时复位，10 时置位，11 时翻转。n 位二进制计数器有 2ⁿ 个状态，按模 2ⁿ 计数；模 N 计数器依次计 0, 1, …, N − 1 然后回到 0，需要满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n 个触发器。行波计数器的每一级使频率减半，所以模 N 计数器的最后一级输出频率为 fclk/N。n 个触发器的约翰逊计数器有 2n 个状态，环形计数器有 n 个。

每个边沿之后的 Q

JK 触发器：00 保持，01 复位 (Q = 0)，10 置位 (Q = 1)，11 翻转。

1: J = 0, K = 0 → Q = 0
2: J = 1, K = 1 → Q = 1
3: J = 1, K = 1 → Q = 0
4: J = 1, K = 0 → Q = 1
5: J = 1, K = 1 → Q = 0
6: J = 1, K = 0 → Q = 1
7: J = 0, K = 1 → Q = 0

第一次从 1 变为 0

时钟边沿 3

答案

时钟边沿 3
7.数论与模运算

答案: x = 17

逆元与同余式：a 模 n 有逆元，当且仅当 gcd(a, n) = 1。扩展欧几里得算法把 1 写成 s·n + t·a，于是 a⁻¹ ≡ t (mod n)。当 gcd(a, n) = 1 时，同余式 a·x ≡ b (mod n) 的解为 x ≡ a⁻¹·b。模数互素的两个同余式 x ≡ r₁ (mod m₁) 和 x ≡ r₂ (mod m₂) 在模 m₁·m₂ 下有唯一解（中国剩余定理）。欧拉函数 φ(n) 表示 1 到 n 中与 n 互素的数的个数：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。

第一个同余式

x = 3 + 7k

第二个同余式

3 + 7k ≡ 7 (mod 10) → 7k ≡ 4 (mod 10)
k ≡ 3·4 ≡ 2 (mod 10)

结果

x = 3 + 7·2 = 17
x = 17
校核: 17 mod 7 = 3, 17 mod 10 = 7

答案

x = 17
8.数论与模运算

答案: d = 37

模幂与 RSA：用反复平方法计算 aᵏ mod n：把 k 写成二进制，平方，每一步之后取模，并把对应二进制位为 1 的幂相乘。费马：对不整除 a 的素数 p，aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)，所以指数可以对 p − 1 取模。RSA：选取素数 p 和 q，n = p·q，φ(n) = (p − 1)(q − 1)；公钥指数 e 与 φ(n) 互素，私钥指数为 d = e⁻¹ mod φ(n)。用 c = mᵉ mod n 加密，用 m = cᵈ mod n 解密。

模数与欧拉函数值

n = 5·47 = 235
φ(n) = 4·46 = 184

扩展欧几里得算法

r = 184, t = 0
r = 5, q = 36, t = 1
r = 4, q = 1, t = −36
r = 1, q = 4, t = 37

私钥指数

d = 37
校核: 5·37 = 185 = 1·184 + 1

答案

d = 37
9.算法与复杂度

答案: B · 约 log₂ n 层

为什么是这个答案

从 n 减半到 1 大约需要 log₂ n 层，每层做 O(n) 的合并工作，因此总复杂度为 O(n log n)。

答案

B · 约 log₂ n 层
10.算法与复杂度

答案: D · 2-SAT，每个子句至多有两个文字

为什么是这个答案

2-SAT 属于 P（通过强连通分量可在线性时间内求解），而 3-SAT 是 NP 完全的。

答案

D · 2-SAT，每个子句至多有两个文字
11.数据结构

答案: D · 升序排列

为什么是这个答案

先访问左子树，再访问节点，最后访问右子树，可按有序顺序输出 BST 的键。

答案

D · 升序排列
12.数据结构

答案: A · 它把单子节点链合并为一条以字符串标记的边

为什么是这个答案

合并没有分支的路径可以减少节点数和内存占用，同时保留前缀查找功能。

答案

A · 它把单子节点链合并为一条以字符串标记的边
13.图论

答案: H = 12

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

计数

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

答案

H = 12
14.图论

答案: d(D) = 18

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

每一行：被确定的顶点、它的最终距离，以及距离得到改进的邻点。

A (0): B: 12, C: 8
C (8): E: 19
B (12): D: 18, G: 20
D (18): F: 22
E (19)
G (20)
F (22)

最短路径

A → B → D
d(D) = 18

答案

d(D) = 18
15.数据库与 SQL

答案: D · SELECT dept, MAX(salary) FROM emp GROUP BY dept

为什么是这个答案

GROUP BY dept 为每个部门创建一个组，MAX(salary) 选出每组中的最大值。

答案

D · SELECT dept, MAX(salary) FROM emp GROUP BY dept
16.数据库与 SQL

答案: A · 按 day 排序的 amount 累计总和

为什么是这个答案

有 ORDER BY 而没有显式窗口框架时，窗口从第一行一直延伸到当前行（及其并列行），因此得到累计和。

答案

A · 按 day 排序的 amount 累计总和
17.计算机网络

答案: C · 62

为什么是这个答案

/26 有 6 个主机位：2⁶ = 64 个地址，减去网络地址和广播地址，得到 62 个可用主机地址。

答案

C · 62
18.计算机网络

答案: B · 服务器的半开连接表

为什么是这个答案

每个 SYN 都使服务器预留状态并等待一个永远不会到来的 ACK。SYN cookie 可以在握手完成之前避免保存状态。

答案

B · 服务器的半开连接表
19.IPv4 子网划分

答案: N = 64

IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).

借用位

28 − 22 = 6

子网数

N = 26 = 64

答案

N = 64

每个 /28 子网有 24 − 2 = 14 个可用主机。

20.IPv4 子网划分

答案: x = 218

IPv4 子网划分：一个地址有 32 位。前缀 /p 表示前面多少位标识网络；其余 32 − p 位为主机编号。一个子网有 2³²⁻ᵖ 个地址，但第一个（网络地址）和最后一个（广播地址）不能分配给主机，所以可容纳 2³²⁻ᵖ − 2 台主机。 例外：/31（点对点链路，RFC 3021）的 2 个地址都用于主机，/32 只有一个地址（单个主机或环回地址）。

块大小

22 = 4

该主机所在子网

网络: ⌊219/4⌋·4 = 216
广播: 216 + 4 − 1 = 219
可用主机: 217 … 218

答案

x = 218

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