计算机科学导论：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

数制

位权: 二进制 2^k，八进制 8^k，十六进制 16^k
转为十进制: Σ d_k·b^k
从十进制转换: 除以基数，余数从下往上读
十六进制 ↔ 二进制: 一位十六进制数 = 4 位二进制
二进制补码: 按位取反后加 1

命题逻辑与证明

真值表的行数: 2ⁿ
蕴涵: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
蕴涵的否定: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
双条件: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
德摩根律: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
分配律: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
量词的否定: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
肯定前件，否定后件: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

方法

数一数不同变量的个数：真值表有 2ⁿ 行，从全为 1 的一行开始。
给每个子公式单独一列，由内向外逐列填写。
按各联结词的规则计算：→ 只有在 1 → 0 时为 0，↔ 在两边相同时为 1。
判断等价时，逐行比较最后一列；判断论证时，只看所有前提都为 1 的那些行。
否定带量词的命题时，把 ¬ 移到内部，交换 ∀ 和 ∃，并否定内部的公式。

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈: 消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
触发器: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器: n 位：2ⁿ 个状态；模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； f_out = f_clk/N
行波计数器: f_max = 1/(n·t_pd)
环形计数器与约翰逊计数器: n 个和 2n 个状态

方法

对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

数论与模运算

带余除法: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
欧几里得: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
最小公倍数: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
逆矩阵: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
线性同余方程: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
欧拉函数: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
费马: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

方法

先把每个数对 n 取模；余数在 0 到 n − 1 之间。
求最大公约数时，用欧几里得算法反复做除法；最后一个非零余数就是最大公约数。
求逆元时，运行扩展算法并保留 a 的系数；若为负数则加上 n。
解 a·x ≡ b 时，两边乘以 a⁻¹；合并两个同余式时，写成 x = r₁ + m₁k。
求幂时，把指数写成二进制并反复平方；在 RSA 中，d = e⁻¹ mod φ(n)，其中 φ(n) = (p − 1)(q − 1)。

图论

握手引理: Σ deg(v) = 2|E|
完全图: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正则图: |E| = n·k/2
树与森林: |E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉: 回路：所有顶点度数为偶数；通路：恰有 2 个奇度顶点
K_n 中的哈密顿回路: (n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径: (Mᴸ)_ij

方法

写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

IPv4 子网划分

每个子网的主机数: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
块大小: 256 − (mask octet)
网络地址: IP AND 掩码
广播地址: IP OR (NOT 掩码)：主机位全部置 1
借用 n 位得到的子网数: 2ⁿ

2练习题

1.数制中等

设置各位，使其以 8 位补码存储 −16。按无符号数读取，该位模式的值 U 是多少？

N = −168 bit

U =

2.数制困难

一幅未压缩图像为 800 × 600 像素，每像素 8 位。它占用多少内存 M（以 KiB 计，1 KiB = 1024 字节）？

800 × 600 px8 bit/px1 KiB = 1024 B

M = KiB

3.命题逻辑与证明中等

哪个公式与 ¬(a ∧ c) 在逻辑上等价？点选它。

¬(a ∧ c)

1¬a ∧ ¬c
2¬a ∧ c
3¬a ∨ ¬c
4¬a ∨ c

4.命题逻辑与证明困难

把否定完全移到内部之后，哪个命题与 ¬∃x (A(x) ∧ B(x)) 等价？点选它。

¬∃x (A(x) ∧ B(x))

1∀x (A(x) ∧ ¬B(x))
2∀x (A(x) → ¬B(x))
3∃x (A(x) → ¬B(x))
4∃x (¬A(x) ∧ ¬B(x))

5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等

用卡诺图求 F(A, B, C, D) = Σm(1, 4, 10, 11, 14, 15) 的最简积之和 (SOP) 形式。它总共包含多少个文字 L（带撇的变量算一个文字）？

F(A, B, C, D) = Σm(1, 4, 10, 11, 14, 15)

L =

6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难

同步模 7 计数器依次计 0, 1, …, 6，然后回到 0。它从 0 开始。经过 10 个时钟脉冲后，它显示的计数 Q（十进制）是多少？

Q₀ = 010N = 7

Q =

7.数论与模运算中等

求欧拉函数 φ(1125)，即 1 到 1125 中与 1125 互素的整数个数。

n = 1125 = 3²·5³

φ(1125) =

8.数论与模运算困难

在 {0, 1, …, 53} 中，33x ≡ 3 (mod 54) 有多少个解 N？

33x ≡ 3 (mod 54)

N =

9.算法与复杂度中等

递推式 T(n) = 2T(n − 1) + O(1) 的解是什么？

AO(2ⁿ)
BO(n log n)
CO(n²)
DO(n)

10.算法与复杂度困难

关于在无序数组中选择第 k 小的元素，下列哪个说法是正确的？

A快速选择的期望时间为 O(n)，而中位数的中位数法保证最坏情况为 O(n)
B选择只能在 O(n²) 内完成
C选择总是需要 Ω(n log n)，因为必须先排序
D快速选择的最坏情况为 O(log n)，因为它只对枢轴的一侧递归

11.数据结构中等

把键 50、30、70、20、40 按此顺序插入一棵空的二叉搜索树。30 的左子节点是什么？

12.数据结构困难

哪种结构能以总共 O(n) 的时间求出数组中每个大小为 k 的窗口的最大值？

A通过移动元素来更新的有序数组
B由窗口元素组成的单链表
C为每个窗口重建的最小堆
D一个按值递减顺序保存下标的双端队列

13.图论中等

一棵树有 2 个度为 3 的顶点, 2 个度为 5 的顶点, 2 个度为 2 的顶点，其余所有顶点都是叶子（度为 1）。它有多少片叶子 L？

2 × deg 32 × deg 52 × deg 2

L =

14.图论困难

求带权图的最小生成树的总权重 W。

|V| = 7|E| = 9

W =

15.数据库与 SQL中等

哪个 ACID 特性意味着并发事务看不到彼此尚未完成的更改？

A可用性
B原子性
C持久性
D隔离性

16.数据库与 SQL困难

查询 FROM customers c LEFT JOIN orders o ON o.customer_id = c.id WHERE o.status = 'paid' 意外地丢掉了没有订单的客户。为什么？

Astatus 是保留字
B连接应该使用 USING 而不是 ON
CLEFT JOIN 从不保留不匹配的行
D对 o 的 WHERE 条件拒绝了用 NULL 填充的行，使其变成了内连接

17.计算机网络中等

什么能唯一标识互联网上 TCP 连接的一端？

A仅域名
B子网掩码和网关
C仅 MAC 地址
DIP 地址加端口号

18.计算机网络困难

在多次冲突之后，传统以太网站点从一个每次加倍的范围中选择等待时间。为什么？

A让 MAC 地址最大的站点在共享线缆上获得优先权
B使所有站点同步到一个时钟
C在许多站点竞争时降低再次冲突的概率
D使线缆能把信号传得更远

19.IPv4 子网划分中等

网络 10.137.106.0/24 被划分为前缀为 /27 的等大子网。共有多少个子网 N？

10.137.106.0/24/27

N =

20.IPv4 子网划分困难

某主机地址为 10.20.145.234/29。其子网中最后一个可用主机地址的第四个八位组 x 是多少？

10.20.145.234/29

x =

3溶液

1.数制

答案: U = 240

设置比特位：每一位对应 2 的一个幂（128、64、…、1）。一个十六进制数字恰好是四位，在 8 位补码中最左边的位权重为 −128。按位运算对每个位位置分别进行。

取反加一

16 = 0001 0000

取反后: 1110 1111

+1 → 1111 0000

按无符号数读取

1111 0000₂ = 256 − 16 = 240

答案

U = 240

2.数制

答案: M = 468.8 KiB

位置计数制：每个数位的值等于该数字乘以基数的某次幂。二进制各位的权为 1、2、4、8、16、……；十六进制为 1、16、256、……，A–F 代表 10–15。在 8 位补码中，最左边一位的权是 −128 而不是 +128，负数就是这样存储的。

位和字节

800·600·8 = 3840000 bit = 480000 B

换算为 KiB

480000/1024 = 468.75 KiB

答案

M = 468.75 KiB

3.命题逻辑与证明

答案: ¬a ∨ ¬c

逻辑等价：两个公式在真值表的每一行取值都相同时，它们是等价（≡）的。重言式在每一行都为 1，矛盾式在每一行都为 0，偶然式则两者都不是。常用定律：德摩根律，¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b 和 ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b；a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a（逆否命题）；¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b；以及分配律，a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。

定律

德摩根律：¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b。∧ 变成 ∨，并且两个部分都取否定。

¬(a ∧ c) ≡ ¬a ∨ ¬c

用真值表检验

a = 1, c = 1: 0 | 0 0 0 1

a = 1, c = 0: 1 | 0 0 1 0

a = 0, c = 1: 1 | 0 1 1 1

a = 0, c = 0: 1 | 1 0 1 1

答案

¬a ∨ ¬c

竖线之后的各列是按所示顺序排列的各个选项。

4.命题逻辑与证明

答案: ∀x (A(x) → ¬B(x))

量词与论证：¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)，¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)。把否定向内移动，交换它经过的每个量词，并用命题逻辑的定律否定内部的公式，例如 ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b。当所有前提为 1 的每一行中结论也为 1 时，论证是有效的。只要有一行前提为真而结论为假，它就是反例，说明论证无效。

把否定移到内部

¬∃x (A(x) ∧ B(x)) ≡ ∀x (A(x) → ¬B(x))

答案

∀x (A(x) → ¬B(x))

其他选项要么保持某个量词不变，要么改变了量词的顺序，要么错误地否定了内部的公式。

5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: L = 10

卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。

圈 1

每个圈都是由 2ᵏ 个格子组成的矩形；边上的格子与对边上的格子相邻。

A′B′C′D

A′BC′D′

最简 SOP 形式

F = AC + A′B′C′D + A′BC′D′

L = 10

答案

L = 10

6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: Q = 3

触发器与计数器：触发器只在时钟的有效边沿改变。D 复制其输入 (Q⁺ = D)；T 在 T = 1 时翻转；JK 在 00 时保持，01 时复位，10 时置位，11 时翻转。n 位二进制计数器有 2ⁿ 个状态，按模 2ⁿ 计数；模 N 计数器依次计 0, 1, …, N − 1 然后回到 0，需要满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n 个触发器。行波计数器的每一级使频率减半，所以模 N 计数器的最后一级输出频率为 f_clk/N。n 个触发器的约翰逊计数器有 2n 个状态，环形计数器有 n 个。

完整循环

每 7 个脉冲使计数器回到相同的状态。

10 = 1·7 + 3

剩余脉冲之后的计数

Q = (0 + 3) mod 7 = 3

Q = 011₂

答案

Q = 3

7.数论与模运算

答案: φ(1125) = 600

逆元与同余式：a 模 n 有逆元，当且仅当 gcd(a, n) = 1。扩展欧几里得算法把 1 写成 s·n + t·a，于是 a⁻¹ ≡ t (mod n)。当 gcd(a, n) = 1 时，同余式 a·x ≡ b (mod n) 的解为 x ≡ a⁻¹·b。模数互素的两个同余式 x ≡ r₁ (mod m₁) 和 x ≡ r₂ (mod m₂) 在模 m₁·m₂ 下有唯一解（中国剩余定理）。欧拉函数 φ(n) 表示 1 到 n 中与 n 互素的数的个数：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。

素因数

1125 = 3²·5³

欧拉函数值

φ(1125) = φ(125)·φ(9) = 100·6 = 600

答案

φ(1125) = 600

8.数论与模运算

答案: N = 3

除以最大公约数

gcd(33, 54) = 3

11x ≡ 1 (mod 18)

解化简后的同余式

11⁻¹ ≡ 5 (mod 18) → x ≡ 5 (mod 18)

模 54 下的解

x ∈ {5, 23, 41}

树的握手引理

L + 20 = 2(L + 6) − 2

L = 10

答案

L = 10

捷径：L = 2 + Σ (d − 2)，对度 d ≥ 3 的顶点求和。

14.图论

答案: W = 56

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

克鲁斯卡尔算法

GE (2): 取

GD (4): 取

DE (5): 跳过，会形成圈

DF (9): 取

CE (10): 取

C · 在许多站点竞争时降低再次冲突的概率

19.IPv4 子网划分

答案: N = 8

IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).

借用位

27 − 24 = 3

子网数

N = 2³ = 8

答案

N = 8

每个 /27 子网有 2⁵ − 2 = 30 个可用主机。

20.IPv4 子网划分

答案: x = 238

IPv4 子网划分：一个地址有 32 位。前缀 /p 表示前面多少位标识网络；其余 32 − p 位为主机编号。一个子网有 2³²⁻ᵖ 个地址，但第一个（网络地址）和最后一个（广播地址）不能分配给主机，所以可容纳 2³²⁻ᵖ − 2 台主机。例外：/31（点对点链路，RFC 3021）的 2 个地址都用于主机，/32 只有一个地址（单个主机或环回地址）。

块大小

2³ = 8

该主机所在子网

网络: ⌊234/8⌋·8 = 232

广播: 232 + 8 − 1 = 239

可用主机: 233 … 238

答案

x = 238

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