数制
- 位权
- 二进制 2k，八进制 8k，十六进制 16k
- 转为十进制
- Σ dk·bk
- 从十进制转换
- 除以基数，余数从下往上读
- 十六进制 ↔ 二进制
- 一位十六进制数 = 4 位二进制
- 二进制补码
- 按位取反后加 1
计算机科学导论：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
命题逻辑与证明
- 真值表的行数
- 2ⁿ
- 蕴涵
- p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
- 蕴涵的否定
- ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
- 双条件
- p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
- 德摩根律
- ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
- 分配律
- p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
- 量词的否定
- ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
- 肯定前件，否定后件
- p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p
方法
- 数一数不同变量的个数：真值表有 2ⁿ 行，从全为 1 的一行开始。
- 给每个子公式单独一列，由内向外逐列填写。
- 按各联结词的规则计算：→ 只有在 1 → 0 时为 0，↔ 在两边相同时为 1。
- 判断等价时，逐行比较最后一列；判断论证时，只看所有前提都为 1 的那些行。
- 否定带量词的命题时，把 ¬ 移到内部，交换 ∀ 和 ∃，并否定内部的公式。
数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器
- 基本逻辑门
- A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
- 布尔规则
- X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
- 德摩根律
- (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
- 卡诺图的顺序
- 00, 01, 11, 10 (Gray code)
- 由 2ᵏ 个格子组成的圈
- 消去 k 个变量
- 4 选 1 多路选择器
- F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
- 触发器
- D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
- 计数器
- n 位：2ⁿ 个状态； 模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； fout = fclk/N
- 行波计数器
- fmax = 1/(n·tpd)
- 环形计数器与约翰逊计数器
- n 个和 2n 个状态
方法
- 对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
- 化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
- 用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
- 对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。
数论与模运算
- 带余除法
- a = q·n + r, 0 ≤ r < n
- 欧几里得
- gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
- 最小公倍数
- lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
- 逆矩阵
- a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
- 线性同余方程
- a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
- 欧拉函数
- φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
- 费马
- aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
- RSA
- n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
方法
- 先把每个数对 n 取模；余数在 0 到 n − 1 之间。
- 求最大公约数时，用欧几里得算法反复做除法；最后一个非零余数就是最大公约数。
- 求逆元时，运行扩展算法并保留 a 的系数；若为负数则加上 n。
- 解 a·x ≡ b 时，两边乘以 a⁻¹；合并两个同余式时，写成 x = r₁ + m₁k。
- 求幂时，把指数写成二进制并反复平方；在 RSA 中，d = e⁻¹ mod φ(n)，其中 φ(n) = (p − 1)(q − 1)。
图论
- 握手引理
- Σ deg(v) = 2|E|
- 完全图
- |E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
- 正则图
- |E| = n·k/2
- 树与森林
- |E| = n − 1, |E| = n − c
- 树的叶子
- L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
- 欧拉
- 回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
- Kn 中的哈密顿回路
- (n − 1)!/2
- 迪杰斯特拉更新
- d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
- 长度为 L 的途径
- (Mᴸ)ij
方法
- 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
- 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
- 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
- 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
- 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。
IPv4 子网划分
- 每个子网的主机数
- 2(32 − prefix) − 2 (/31: 2, /32: 1)
- 块大小
- 256 − (mask octet)
- 网络地址
- IP AND 掩码
- 广播地址
- IP OR (NOT 掩码)：主机位全部置 1
- 借用 n 位得到的子网数
- 2n
2练习题
1.数制中等
把 −25 写成 8 位补码模式。再把该模式当作无符号二进制数读出：它的十进制值 U 是多少？
N = −258 bit
U =
2.数制困难
某系统要为 2591 个项目中的每一个分配一个长度相同的独立二进制编码。最少需要多少位 b？
2591
b = bit
3.命题逻辑与证明中等
哪个公式与 ¬(p ∨ q) 在逻辑上等价？点选它。
¬(p ∨ q)
- 1¬p ∧ ¬q
- 2¬p ∧ q
- 3¬p ∨ ¬q
- 4p ∨ ¬q
4.命题逻辑与证明困难
真值表的 16 行中，有多少行使 ¬(((¬r ↔ p) ∧ (s ∧ r)) → (q ∧ (q ↔ ¬p))) 为真？把这个数记作 N。
¬(((¬r ↔ p) ∧ (s ∧ r)) → (q ∧ (q ↔ ¬p)))
N =
5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等
用卡诺图求 F(A, B, C, D) = Σm(0, 3, 4, 7, 8, 9, 10, 11, 14) 的最简和之积 (POS) 形式。它有多少个和项（因子）N？
F(A, B, C, D) = Σm(0, 3, 4, 7, 8, 9, 10, 11, 14)
N =
6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难
求 F(A, B, C, D) = Σm(1, 2, 7, 13) + d(6, 9, 12) 的最简 SOP 形式，其中 d 表示无关项。它有多少个乘积项 N？
F(A, B, C, D) = Σm(1, 2, 7, 13) + d(6, 9, 12)
N =
7.数论与模运算中等
解 53x ≡ 22 (mod 95)。给出满足 0 < x < 95 的解 x。
53x ≡ 22 (mod 95)
x =
8.数论与模运算困难
某个 RSA 密钥使用 p = 13，q = 29，e = 5。解密密文 c = 167：求消息 m。
p = 13q = 29e = 5c = 167
m =
9.算法与复杂度中等
在一个有序数组中，你从两端各放一个指针向内移动，寻找和为目标值的两个元素。时间复杂度是多少？
- AO(n)
- BO(n log n)
- CO(log n)
- DO(n²)
10.算法与复杂度困难
拓扑排序只适用于：
- A完全图
- B有向无环图（DAG）
- C带负权重的图
- D无向图
11.数据结构中等
循环缓冲区（环形缓冲区）通常用于实现：
- A固定大小的队列
- B二叉搜索树
- C图的遍历
- D哈希函数
12.数据结构困难
把键 5、3、8、1 按此顺序插入一个空的基于数组的二叉最小堆。最终的数组是什么？
- A[3, 1, 8, 5]
- B[1, 3, 5, 8]
- C[1, 3, 8, 5]
- D[1, 5, 8, 3]
13.图论中等
一个连通图有 9 个顶点和 16 条边。必须去掉多少条边 k 才能剩下一棵生成树？
|V| = 9|E| = 16
k =
14.图论困难
长度为 2 且起点和终点都是 A 的闭途径有多少条？途径可以重复顶点和边。把这个数记作 N。
M = 邻接矩阵L = 2
N =
15.数据库与 SQL中等
什么是脏读？
- A不带 WHERE 子句读取数据
- B两次读取同一行并得到相同的值
- C读取另一个尚未提交的事务所写入的数据
- D从损坏的磁盘读取数据
16.数据库与 SQL困难
要在深度未知的组织树中找出某位经理下属的所有员工，哪种 SQL 功能最合适？
- A基于 manager_id 对 employees 表做一次自连接
- B对 manager_id 进行 GROUP BY
- C在 manager_id 上加 UNIQUE 约束
- D递归公用表表达式（WITH RECURSIVE）
17.计算机网络中等
ARP 的作用是什么？
- A当主机加入本地网络时自动为其分配 IP 地址
- B解析域名
- C在本地网络中查找某个 IP 地址对应的 MAC 地址
- D在互联网上路由数据包
18.计算机网络困难
根据香农定理，信噪比为 255 的 1 MHz 信道容量是多少？
- A8 Mbit/s
- B1 Mbit/s
- C255 Mbit/s
- D2 Mbit/s
19.IPv4 子网划分中等
网络 192.168.185.0/24 被划分为若干 /29 子网，从最低地址起编号为 1、2、3、…（子网 1 从 .0 开始）。子网 2 的广播地址的第四个八位组 x 是多少？
192.168.185.0/24/29子网 2 (子网 1 从 .0 开始)
x =
20.IPv4 子网划分困难
网络 192.168.34.0/24 用 VLSM 划分给以下局域网：A: 122 主机, B: 13 主机, C: 41 主机, D: 6 主机。子网从 .0 开始向上分配，主机最多的局域网先分配，每个局域网分配能容纳它的最小子网。局域网 D 的网络地址第四个八位组 x 是多少？
A: 122B: 13C: 41D: 6
x =
3溶液
1.数制
答案: U = 231
位置计数制：每个数位的值等于该数字乘以基数的某次幂。二进制各位的权为 1、2、4、8、16、……；十六进制为 1、16、256、……，A–F 代表 10–15。在 8 位补码中，最左边一位的权是 −128 而不是 +128，负数就是这样存储的。
取反加一
25 = 0001 1001
取反后: 1110 0110
+1 → 1110 0111
按无符号数读取
1110 0111₂ = 256 − 25 = 231
答案
U = 231
2.数制
答案: b = 12 bit
位置计数制：每个数位的值等于该数字乘以基数的某次幂。二进制各位的权为 1、2、4、8、16、……；十六进制为 1、16、256、……，A–F 代表 10–15。在 8 位补码中，最左边一位的权是 −128 而不是 +128，负数就是这样存储的。
2 的幂
211 = 2048 < 2591
212 = 4096 ≥ 2591
答案
b = 12
3.命题逻辑与证明
答案: ¬p ∧ ¬q
逻辑等价：两个公式在真值表的每一行取值都相同时，它们是等价（≡）的。重言式在每一行都为 1，矛盾式在每一行都为 0，偶然式则两者都不是。常用定律：德摩根律，¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b 和 ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b；a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a（逆否命题）；¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b；以及分配律，a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。
定律
德摩根律：¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b。∨ 变成 ∧，并且两个部分都取否定。
¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
用真值表检验
p = 1, q = 1: 0 | 0 0 0 1
p = 1, q = 0: 0 | 0 0 1 1
p = 0, q = 1: 0 | 0 1 1 0
p = 0, q = 0: 1 | 1 0 1 1
答案
¬p ∧ ¬q
竖线之后的各列是按所示顺序排列的各个选项。
4.命题逻辑与证明
答案: N = 1
真值表：含 n 个不同变量的公式有 2ⁿ 行，每一行对应真值的一种组合（1 = 真，0 = 假）。由内向外进行，给每个子公式单独一列。¬a 把值取反；a ∧ b 只有在两者都为 1 时才为 1；a ∨ b 只有在两者都为 0 时才为 0；a → b 只有在 a = 1 且 b = 0 时才为 0；a ↔ b 在两边相等时为 1。
各列
¬r; ¬r ↔ p; s ∧ r; (¬r ↔ p) ∧ (s ∧ r); ¬p; q ↔ ¬p; q ∧ (q ↔ ¬p); ((¬r ↔ p) ∧ (s ∧ r)) → (q ∧ (q ↔ ¬p)); ¬(((¬r ↔ p) ∧ (s ∧ r)) → (q ∧ (q ↔ ¬p)))
按 p 拆分
p = 1: 0
p = 0: 1
N = 0 + 1 = 1
答案
N = 1
5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器
答案: N = 4
卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。
圈 0
每个圈都是由 2ᵏ 个格子组成的矩形；边上的格子与对边上的格子相邻。
(A + C + D′)
(A + C′ + D)
(A′ + B′ + D′)
(A′ + B′ + C)
最简 POS 形式
F = (A + C + D′)(A + C′ + D)(A′ + B′ + D′)(A′ + B′ + C)
N = 4
答案
N = 4
6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器
答案: N = 4
卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。
质蕴涵项
由 1 和 X 能够构成的最大的圈。
B′C′D, A′CD′, AC′D, A′BC, ABC′
最小覆盖
F = B′C′D + A′CD′ + AC′D + A′BC
N = 4
答案
N = 4
还存在另一种大小相同的圈法；它的项数和文字数相同。
7.数论与模运算
答案: x = 4
逆元与同余式：a 模 n 有逆元，当且仅当 gcd(a, n) = 1。扩展欧几里得算法把 1 写成 s·n + t·a，于是 a⁻¹ ≡ t (mod n)。当 gcd(a, n) = 1 时，同余式 a·x ≡ b (mod n) 的解为 x ≡ a⁻¹·b。模数互素的两个同余式 x ≡ r₁ (mod m₁) 和 x ≡ r₂ (mod m₂) 在模 m₁·m₂ 下有唯一解（中国剩余定理）。欧拉函数 φ(n) 表示 1 到 n 中与 n 互素的数的个数：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。
53 的逆元
r = 95, t = 0
r = 53, q = 1, t = 1
r = 42, q = 1, t = −1
r = 11, q = 3, t = 2
r = 9, q = 1, t = −7
r = 2, q = 4, t = 9
r = 1, q = 2, t = −43
53−1 ≡ 52 (mod 95)
求解
x ≡ 52·22 = 1144 ≡ 4 (mod 95)
校核: 53·4 = 212 ≡ 22 (mod 95)
答案
x = 4
8.数论与模运算
答案: m = 150
模幂与 RSA：用反复平方法计算 aᵏ mod n：把 k 写成二进制，平方，每一步之后取模，并把对应二进制位为 1 的幂相乘。费马：对不整除 a 的素数 p，aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)，所以指数可以对 p − 1 取模。RSA：选取素数 p 和 q，n = p·q，φ(n) = (p − 1)(q − 1)；公钥指数 e 与 φ(n) 互素，私钥指数为 d = e⁻¹ mod φ(n)。用 c = mᵉ mod n 加密，用 m = cᵈ mod n 解密。
私钥指数
n = 377, φ(n) = 336
d = 5−1 mod 336 = 269
用反复平方法解密
269 = 256 + 8 + 4 + 1
1671 ≡ 167 (mod 377)
1672 ≡ 368 (mod 377)
1674 ≡ 81 (mod 377)
1678 ≡ 152 (mod 377)
16716 ≡ 107 (mod 377)
16732 ≡ 139 (mod 377)
16764 ≡ 94 (mod 377)
167128 ≡ 165 (mod 377)
167256 ≡ 81 (mod 377)
167269 ≡ 167·81·152·81 ≡ 150 (mod 377)
消息
m = 150
校核: 1505 mod 377 = 167
答案
m = 150
9.算法与复杂度
答案: A · O(n)
为什么是这个答案
如果和太小，左指针右移；如果和太大，右指针左移，因此最多 n 步。
答案
A · O(n)
10.算法与复杂度
答案: B · 有向无环图（DAG）
为什么是这个答案
当且仅当有向图中没有环时才存在拓扑序；可以用 DFS 或 Kahn 算法在 O(V + E) 内求出。
答案
B · 有向无环图（DAG）
11.数据结构
答案: A · 固定大小的队列
为什么是这个答案
环形缓冲区使用可回绕的头索引和尾索引，在固定内存中实现 O(1) 的 enqueue 和 dequeue。
答案
A · 固定大小的队列
12.数据结构
答案: C · [1, 3, 8, 5]
为什么是这个答案
插入 5、3、8 之后数组为 [3, 5, 8]；1 放到下标 3，先与父节点 5 交换，再与 3 交换，得到 [1, 3, 8, 5]。
答案
C · [1, 3, 8, 5]
13.图论
答案: k = 8
欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。
生成树的边数
9 − 1 = 8
要去掉的边数
k = 16 − 8 = 8
答案
k = 8
14.图论
答案: N = 1
度：顶点的度是与它相连的边的条数。每条边有两个端点，所以度数之和等于边数的两倍：Σ deg(v) = 2|E|（握手引理）。因此奇度顶点的个数是偶数。Kn 有 n(n − 1)/2 条边，n 个顶点的 k-正则图有 nk/2 条边，n 个顶点的树有 n − 1 条边。
邻接矩阵
A: 0 0 1 0 0 0
B: 0 0 1 1 0 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 0 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0
公共邻点
(M²)AA = 0·0 + 0·0 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 0·0 = 1
答案
N = 1
15.数据库与 SQL
答案: C · 读取另一个尚未提交的事务所写入的数据
为什么是这个答案
脏读看到的是可能被撤销的未提交更改；只有在 read uncommitted 级别下才可能发生。
答案
C · 读取另一个尚未提交的事务所写入的数据
16.数据库与 SQL
答案: D · 递归公用表表达式（WITH RECURSIVE）
为什么是这个答案
递归 CTE 从一个锚点查询开始，反复把上一步的结果与表连接，因此能处理任意深度的层次结构。
答案
D · 递归公用表表达式（WITH RECURSIVE）
17.计算机网络
答案: C · 在本地网络中查找某个 IP 地址对应的 MAC 地址
为什么是这个答案
ARP 广播“谁拥有这个 IP？”，拥有者回复其 MAC 地址，从而可以在本地传送帧。
答案
C · 在本地网络中查找某个 IP 地址对应的 MAC 地址
18.计算机网络
答案: A · 8 Mbit/s
为什么是这个答案
C = 10⁶ × log₂(256) = 10⁶ × 8 = 8 Mbit/s。这是有噪声信道上无差错数据速率的上限。
答案
A · 8 Mbit/s
19.IPv4 子网划分
答案: x = 15
IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).
块大小
23 = 8
第 2 个子网
网络: (2 − 1)·8 = 8
广播: 8 + 8 − 1 = 15
答案
x = 15
20.IPv4 子网划分
答案: x = 208
VLSM：每个局域网分配满足 2ʰ − 2 ≥ 其主机数的最小子网，即前缀 32 − h。先分配最大的子网，可使每个块都对齐在其自身大小的倍数上，因此网络地址就是各块大小依次相加的结果。
每个局域网的块大小
A: 122 主机 → 27 = 128 (/25)
C: 41 主机 → 26 = 64 (/26)
B: 13 主机 → 24 = 16 (/28)
D: 6 主机 → 23 = 8 (/29)
分配顺序，从大到小
A: .0 – .127
C: .128 – .191
B: .192 – .207
D: .208 – .215
答案
x = 208
局域网 D：192.168.34.208/29。
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