数制
- 位权
- 二进制 2k，八进制 8k，十六进制 16k
- 转为十进制
- Σ dk·bk
- 从十进制转换
- 除以基数，余数从下往上读
- 十六进制 ↔ 二进制
- 一位十六进制数 = 4 位二进制
- 二进制补码
- 按位取反后加 1
计算机科学导论：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
命题逻辑与证明
- 真值表的行数
- 2ⁿ
- 蕴涵
- p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
- 蕴涵的否定
- ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
- 双条件
- p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
- 德摩根律
- ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
- 分配律
- p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
- 量词的否定
- ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
- 肯定前件，否定后件
- p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p
方法
- 数一数不同变量的个数：真值表有 2ⁿ 行，从全为 1 的一行开始。
- 给每个子公式单独一列，由内向外逐列填写。
- 按各联结词的规则计算：→ 只有在 1 → 0 时为 0，↔ 在两边相同时为 1。
- 判断等价时，逐行比较最后一列；判断论证时，只看所有前提都为 1 的那些行。
- 否定带量词的命题时，把 ¬ 移到内部，交换 ∀ 和 ∃，并否定内部的公式。
数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器
- 基本逻辑门
- A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
- 布尔规则
- X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
- 德摩根律
- (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
- 卡诺图的顺序
- 00, 01, 11, 10 (Gray code)
- 由 2ᵏ 个格子组成的圈
- 消去 k 个变量
- 4 选 1 多路选择器
- F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
- 触发器
- D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
- 计数器
- n 位：2ⁿ 个状态； 模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； fout = fclk/N
- 行波计数器
- fmax = 1/(n·tpd)
- 环形计数器与约翰逊计数器
- n 个和 2n 个状态
方法
- 对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
- 化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
- 用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
- 对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。
数论与模运算
- 带余除法
- a = q·n + r, 0 ≤ r < n
- 欧几里得
- gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
- 最小公倍数
- lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
- 逆矩阵
- a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
- 线性同余方程
- a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
- 欧拉函数
- φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
- 费马
- aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
- RSA
- n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
方法
- 先把每个数对 n 取模；余数在 0 到 n − 1 之间。
- 求最大公约数时，用欧几里得算法反复做除法；最后一个非零余数就是最大公约数。
- 求逆元时，运行扩展算法并保留 a 的系数；若为负数则加上 n。
- 解 a·x ≡ b 时，两边乘以 a⁻¹；合并两个同余式时，写成 x = r₁ + m₁k。
- 求幂时，把指数写成二进制并反复平方；在 RSA 中，d = e⁻¹ mod φ(n)，其中 φ(n) = (p − 1)(q − 1)。
图论
- 握手引理
- Σ deg(v) = 2|E|
- 完全图
- |E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
- 正则图
- |E| = n·k/2
- 树与森林
- |E| = n − 1, |E| = n − c
- 树的叶子
- L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
- 欧拉
- 回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
- Kn 中的哈密顿回路
- (n − 1)!/2
- 迪杰斯特拉更新
- d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
- 长度为 L 的途径
- (Mᴸ)ij
方法
- 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
- 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
- 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
- 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
- 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。
IPv4 子网划分
- 每个子网的主机数
- 2(32 − prefix) − 2 (/31: 2, /32: 1)
- 块大小
- 256 − (mask octet)
- 网络地址
- IP AND 掩码
- 广播地址
- IP OR (NOT 掩码)：主机位全部置 1
- 借用 n 位得到的子网数
- 2n
2练习题
1.数制中等
设置各位，使其以 8 位补码存储 −78。按无符号数读取，该位模式的值 U 是多少？
N = −788 bit
U =
2.数制困难
把各位设置为 1010 0111 << 1 的 8 位结果。该结果的十进制值 R 是多少？
1010 0111<< 1
R =
3.命题逻辑与证明中等
哪个公式与 ¬(q → p) 在逻辑上等价？点选它。
¬(q → p)
- 1q ∧ ¬p
- 2¬q ∨ ¬p
- 3q → ¬p
- 4¬q → ¬p
4.命题逻辑与证明困难
真值表的 16 行中，有多少行使 ¬(((¬b ∨ a) ∨ (d ∧ b)) ∧ ¬((c → d) ∧ ¬c)) 为真？把这个数记作 N。
¬(((¬b ∨ a) ∨ (d ∧ b)) ∧ ¬((c → d) ∧ ¬c))
N =
5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等
一个 4 选 1 多路选择器的选择输入为 S₁ = A 和 S₀ = B，数据输入分别接 I₀ = C，I₁ = 1，I₂ = 1，I₃ = 0。在 A、B、C 的 8 种组合中，有多少种使输出 F = 1？求 N。
I₀ = CI₁ = 1I₂ = 1I₃ = 0
N =
6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难
一个上升沿触发的 JK 触发器从 Q = 0 开始，在 6 个时钟上升沿接收到所示的输入。Q 改变状态的次数 N 是多少？
Q₀ = 0JK
N =
7.数论与模运算中等
求 58 模 77 的逆元：满足 0 < x < 77 且 58·x ≡ 1 (mod 77) 的数 x。
a = 58n = 77
58−1 mod 77 =
8.数论与模运算困难
某个 RSA 密钥使用素数 p = 7 和 q = 37，公钥指数 e = 11。求私钥指数 d（0 < d < φ(n)）。
p = 7q = 37e = 11
d =
9.算法与复杂度中等
当问题具有以下特征时，动态规划（dynamic programming）很有用：
- A重叠子问题和最优子结构
- B只有一个循环
- C只有随机输入
- D完全没有子问题，因此一步就能解决
10.算法与复杂度困难
关于 little-o 记号，下列哪个说法是正确的？
- An² = o(n)
- Bn = o(n)，因为每个函数都是自身的 little-o
- C2n = o(n)，因为 2n 增长得慢
- Dn = o(n²)，但 n 不是 o(n)
11.数据结构中等
在存储于容量为 n 的数组中的循环队列里，下标 i 之后的下一个位置如何计算？
- A(i + 1) mod n
- B2i + 1
- C(i − 1) mod n
- Di + 1
12.数据结构困难
要使哈希表正确工作，哈希与相等性必须遵守哪条规则？
- A哈希值相等意味着键相等
- B不同的键必须具有不同的哈希值
- C哈希值必须是素数
- D相等的键必须具有相等的哈希值
13.图论中等
一棵树有 2 个度为 3 的顶点, 4 个度为 4 的顶点, 2 个度为 5 的顶点, 2 个度为 2 的顶点，其余所有顶点都是叶子（度为 1）。它有多少片叶子 L？
2 × deg 34 × deg 42 × deg 52 × deg 2
L =
14.图论困难
克鲁斯卡尔算法构造最小生成树。点选它加入的第 4 条边；被跳过的边不计。
k = 4
- 1边 AB
- 2边 AC
- 3边 BC
- 4边 BD
- 5边 CE
- 6边 DE
- 7边 BE
15.数据库与 SQL中等
一个表在每一行订单上都存储了客户地址。只修改其中一行的地址而不修改其他行，这是哪种情况的例子？
- A插入异常
- B更新异常
- C幻读
- D删除异常
16.数据库与 SQL困难
两名值班医生各自检查对方是否仍在值班，然后两人同时下班签退。快照隔离在这里仍可能允许哪种异常？
- A同一事务内的不可重复读
- B脏读
- C脏写
- D写偏斜（write skew）
17.计算机网络中等
信号以约 2 × 10⁸ m/s 的速度在光纤中传播 2000 km。传播时延是多少？
- A100 ms
- B1 ms
- C10 ms
- D0.1 ms
18.计算机网络困难
在滑动窗口协议中，丢失一个帧后，回退 N 帧（Go-Back-N）与选择重传（Selective Repeat）有何不同？
- A回退 N 帧重发丢失的帧及其后的所有帧；选择重传只重发丢失的帧
- B回退 N 帧只重发丢失的帧；选择重传重发该帧及其后的所有帧
- C两者都从头重发整个窗口
- D两者都从不重发丢失的帧
19.IPv4 子网划分中等
一个子网使用掩码 255.255.240.0。它有多少个可用主机地址 H？
255.255.240.0
H =
20.IPv4 子网划分困难
某主机地址为 10.20.43.78/27。其子网中最后一个可用主机地址的第四个八位组 x 是多少？
10.20.43.78/27
x =
3溶液
1.数制
答案: U = 178
设置比特位：每一位对应 2 的一个幂（128、64、…、1）。一个十六进制数字恰好是四位，在 8 位补码中最左边的位权重为 −128。按位运算对每个位位置分别进行。
取反加一
78 = 0100 1110
取反后: 1011 0001
+1 → 1011 0010
按无符号数读取
1011 0010₂ = 256 − 78 = 178
答案
U = 178
2.数制
答案: R = 78
设置比特位：每一位对应 2 的一个幂（128、64、…、1）。一个十六进制数字恰好是四位，在 8 位补码中最左边的位权重为 −128。按位运算对每个位位置分别进行。
逐位计算
左移 1 位，把每一位向左移动 1 个位置；从左端移出的位丢失，右侧补入 0。
1010 0111 << 1
= 0100 1110
结果的值
0100 1110₂ = 78
答案
R = 78
3.命题逻辑与证明
答案: q ∧ ¬p
逻辑等价：两个公式在真值表的每一行取值都相同时，它们是等价（≡）的。重言式在每一行都为 1，矛盾式在每一行都为 0，偶然式则两者都不是。常用定律：德摩根律，¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b 和 ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b；a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a（逆否命题）；¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b；以及分配律，a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。
定律
¬(a → b) ≡ ¬(¬a ∨ b) ≡ a ∧ ¬b：这是蕴涵不成立的唯一一行。
¬(q → p) ≡ q ∧ ¬p
用真值表检验
p = 1, q = 1: 0 | 0 0 0 1
p = 1, q = 0: 0 | 0 1 1 0
p = 0, q = 1: 1 | 1 1 1 1
p = 0, q = 0: 0 | 0 1 1 1
答案
q ∧ ¬p
竖线之后的各列是按所示顺序排列的各个选项。
4.命题逻辑与证明
答案: N = 9
真值表：含 n 个不同变量的公式有 2ⁿ 行，每一行对应真值的一种组合（1 = 真，0 = 假）。由内向外进行，给每个子公式单独一列。¬a 把值取反；a ∧ b 只有在两者都为 1 时才为 1；a ∨ b 只有在两者都为 0 时才为 0；a → b 只有在 a = 1 且 b = 0 时才为 0；a ↔ b 在两边相等时为 1。
各列
¬b; ¬b ∨ a; d ∧ b; (¬b ∨ a) ∨ (d ∧ b); c → d; ¬c; (c → d) ∧ ¬c; ¬((c → d) ∧ ¬c); ((¬b ∨ a) ∨ (d ∧ b)) ∧ ¬((c → d) ∧ ¬c); ¬(((¬b ∨ a) ∨ (d ∧ b)) ∧ ¬((c → d) ∧ ¬c))
按 a 拆分
a = 1: 4
a = 0: 5
N = 4 + 5 = 9
答案
N = 9
5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器
答案: N = 5
多路选择器：2ⁿ 选 1 多路选择器把其数据输入之一传到输出；选择线按二进制数读取，决定选哪一个。对于选择端 S₁S₀ = AB 的 4 选 1 MUX，F = A′B′·I₀ + A′B·I₁ + AB′·I₂ + AB·I₃。把数据输入接到 0、1、C 或 C′，可使 MUX 产生 A、B、C 的任意函数，这是用一块芯片实现逻辑的常用方法。
输出表达式
F = A′B′C + A′B + AB′
F = 1 的行
ABC = 001, 010, 011, 100, 101
N = 5
答案
N = 5
6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器
答案: N = 3
触发器与计数器：触发器只在时钟的有效边沿改变。D 复制其输入 (Q⁺ = D)；T 在 T = 1 时翻转；JK 在 00 时保持，01 时复位，10 时置位，11 时翻转。n 位二进制计数器有 2ⁿ 个状态，按模 2ⁿ 计数；模 N 计数器依次计 0, 1, …, N − 1 然后回到 0，需要满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n 个触发器。行波计数器的每一级使频率减半，所以模 N 计数器的最后一级输出频率为 fclk/N。n 个触发器的约翰逊计数器有 2n 个状态，环形计数器有 n 个。
每个边沿之后的 Q
JK 触发器：00 保持，01 复位 (Q = 0)，10 置位 (Q = 1)，11 翻转。
1: J = 0, K = 0 → Q = 0
2: J = 0, K = 1 → Q = 0
3: J = 1, K = 1 → Q = 1
4: J = 1, K = 1 → Q = 0
5: J = 0, K = 1 → Q = 0
6: J = 1, K = 0 → Q = 1
数出变化的次数
0 → 0 → 0 → 1 → 0 → 0 → 1
N = 3
答案
N = 3
7.数论与模运算
答案: 58−1 mod 77 = 4
逆元与同余式：a 模 n 有逆元，当且仅当 gcd(a, n) = 1。扩展欧几里得算法把 1 写成 s·n + t·a，于是 a⁻¹ ≡ t (mod n)。当 gcd(a, n) = 1 时，同余式 a·x ≡ b (mod n) 的解为 x ≡ a⁻¹·b。模数互素的两个同余式 x ≡ r₁ (mod m₁) 和 x ≡ r₂ (mod m₂) 在模 m₁·m₂ 下有唯一解（中国剩余定理）。欧拉函数 φ(n) 表示 1 到 n 中与 n 互素的数的个数：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。
扩展欧几里得算法
每个余数 r 都写成 r ≡ t·58 (mod 77)。
r = 77, t = 0
r = 58, q = 1, t = 1
r = 19, q = 3, t = −1
r = 1, q = 19, t = 4
逆矩阵
1 ≡ 4·58 (mod 77)
x = 4
校核: 58·4 = 232 = 3·77 + 1
答案
58−1 mod 77 = 4
8.数论与模运算
答案: d = 59
模幂与 RSA：用反复平方法计算 aᵏ mod n：把 k 写成二进制，平方，每一步之后取模，并把对应二进制位为 1 的幂相乘。费马：对不整除 a 的素数 p，aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)，所以指数可以对 p − 1 取模。RSA：选取素数 p 和 q，n = p·q，φ(n) = (p − 1)(q − 1)；公钥指数 e 与 φ(n) 互素，私钥指数为 d = e⁻¹ mod φ(n)。用 c = mᵉ mod n 加密，用 m = cᵈ mod n 解密。
模数与欧拉函数值
n = 7·37 = 259
φ(n) = 6·36 = 216
扩展欧几里得算法
r = 216, t = 0
r = 11, q = 19, t = 1
r = 7, q = 1, t = −19
r = 4, q = 1, t = 20
r = 3, q = 1, t = −39
r = 1, q = 3, t = 59
私钥指数
d = 59
校核: 11·59 = 649 = 3·216 + 1
答案
d = 59
9.算法与复杂度
答案: A · 重叠子问题和最优子结构
为什么是这个答案
存储重叠子问题的结果（记忆化或制表）可以避免重复计算，把指数时间算法变成多项式时间算法。
答案
A · 重叠子问题和最优子结构
10.算法与复杂度
答案: D · n = o(n²)，但 n 不是 o(n)
为什么是这个答案
f = o(g) 表示 f(n) / g(n) 趋于 0；n / n² 趋于 0，而 n / n = 1 则不然。
答案
D · n = o(n²)，但 n 不是 o(n)
11.数据结构
答案: A · (i + 1) mod n
为什么是这个答案
取模运算把下标 n − 1 回绕到 0，因此数组可以被重复使用而无需移动元素。
答案
A · (i + 1) mod n
12.数据结构
答案: D · 相等的键必须具有相等的哈希值
为什么是这个答案
如果两个相等的键哈希值不同，它们就会被存储在不同的桶中，查找就会失败；不相等的键仍然可以共用一个哈希值。
答案
D · 相等的键必须具有相等的哈希值
13.图论
答案: L = 18
欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。
树的握手引理
L + 36 = 2(L + 10) − 2
L = 18
答案
L = 18
捷径：L = 2 + Σ (d − 2)，对度 d ≥ 3 的顶点求和。
14.图论
答案: 边 DE
最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。
克鲁斯卡尔算法
1. AB (1)
2. CE (2)
3. BC (3)
4. DE (5)
边的序号 4
DE
答案
边 DE
15.数据库与 SQL
答案: B · 更新异常
为什么是这个答案
冗余存储意味着一次更改必须在许多行中进行；漏改一些就会使数据不一致，而规范化可以防止这种情况。
答案
B · 更新异常
16.数据库与 SQL
答案: D · 写偏斜（write skew）
为什么是这个答案
在快照隔离下，两个事务都看到旧状态并修改不同的行，因此检测不到写冲突；可串行化隔离可以防止这种情况。
答案
D · 写偏斜（write skew）
17.计算机网络
答案: C · 10 ms
为什么是这个答案
2 × 10⁶ m / 2 × 10⁸ m/s = 0.01 s = 10 ms。传播时延取决于距离和介质，而不是数据包大小。
答案
C · 10 ms
18.计算机网络
答案: A · 回退 N 帧重发丢失的帧及其后的所有帧；选择重传只重发丢失的帧
为什么是这个答案
回退 N 帧的接收方丢弃乱序帧，因此发送方必须重发丢失点之后的所有帧。选择重传会缓存乱序帧，只请求丢失的那一帧。
答案
A · 回退 N 帧重发丢失的帧及其后的所有帧；选择重传只重发丢失的帧
19.IPv4 子网划分
答案: H = 4094
IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).
前缀长度
255.255.240.0 = /20
可用主机数
212 − 2 = 4094
答案
H = 4094
20.IPv4 子网划分
答案: x = 94
IPv4 子网划分：一个地址有 32 位。前缀 /p 表示前面多少位标识网络；其余 32 − p 位为主机编号。一个子网有 2³²⁻ᵖ 个地址，但第一个（网络地址）和最后一个（广播地址）不能分配给主机，所以可容纳 2³²⁻ᵖ − 2 台主机。 例外：/31（点对点链路，RFC 3021）的 2 个地址都用于主机，/32 只有一个地址（单个主机或环回地址）。
块大小
25 = 32
该主机所在子网
网络: ⌊78/32⌋·32 = 64
广播: 64 + 32 − 1 = 95
可用主机: 65 … 94
答案
x = 94
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