计算机科学导论：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

数制

位权: 二进制 2^k，八进制 8^k，十六进制 16^k
转为十进制: Σ d_k·b^k
从十进制转换: 除以基数，余数从下往上读
十六进制 ↔ 二进制: 一位十六进制数 = 4 位二进制
二进制补码: 按位取反后加 1

命题逻辑与证明

真值表的行数: 2ⁿ
蕴涵: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
蕴涵的否定: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
双条件: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
德摩根律: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
分配律: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
量词的否定: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
肯定前件，否定后件: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

方法

数一数不同变量的个数：真值表有 2ⁿ 行，从全为 1 的一行开始。
给每个子公式单独一列，由内向外逐列填写。
按各联结词的规则计算：→ 只有在 1 → 0 时为 0，↔ 在两边相同时为 1。
判断等价时，逐行比较最后一列；判断论证时，只看所有前提都为 1 的那些行。
否定带量词的命题时，把 ¬ 移到内部，交换 ∀ 和 ∃，并否定内部的公式。

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈: 消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
触发器: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器: n 位：2ⁿ 个状态；模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； f_out = f_clk/N
行波计数器: f_max = 1/(n·t_pd)
环形计数器与约翰逊计数器: n 个和 2n 个状态

方法

对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

数论与模运算

带余除法: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
欧几里得: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
最小公倍数: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
逆矩阵: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
线性同余方程: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
欧拉函数: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
费马: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

方法

先把每个数对 n 取模；余数在 0 到 n − 1 之间。
求最大公约数时，用欧几里得算法反复做除法；最后一个非零余数就是最大公约数。
求逆元时，运行扩展算法并保留 a 的系数；若为负数则加上 n。
解 a·x ≡ b 时，两边乘以 a⁻¹；合并两个同余式时，写成 x = r₁ + m₁k。
求幂时，把指数写成二进制并反复平方；在 RSA 中，d = e⁻¹ mod φ(n)，其中 φ(n) = (p − 1)(q − 1)。

图论

握手引理: Σ deg(v) = 2|E|
完全图: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正则图: |E| = n·k/2
树与森林: |E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉: 回路：所有顶点度数为偶数；通路：恰有 2 个奇度顶点
K_n 中的哈密顿回路: (n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径: (Mᴸ)_ij

方法

写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

IPv4 子网划分

每个子网的主机数: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
块大小: 256 − (mask octet)
网络地址: IP AND 掩码
广播地址: IP OR (NOT 掩码)：主机位全部置 1
借用 n 位得到的子网数: 2ⁿ

2练习题

1.数制中等

设置各位，使其以 8 位补码存储 −48。按无符号数读取，该位模式的值 U 是多少？

N = −488 bit

U =

2.数制困难

某系统要为 165 个项目中的每一个分配一个长度相同的独立二进制编码。最少需要多少位 b？

165

b = bit

3.命题逻辑与证明中等

哪个公式与 (p ∨ r) → q 在逻辑上等价？点选它。

(p ∨ r) → q

1(p → q) ∧ (r → q)
2(p → q) ∨ (r → q)
3(p ∧ r) → q
4p ∨ (r → q)

4.命题逻辑与证明困难

真值表的 16 行中，有多少行使 (q ↔ (p → r)) ∧ (¬q ↔ s) 为真？把这个数记作 N。

(q ↔ (p → r)) ∧ (¬q ↔ s)

N =

5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等

一个 4 选 1 多路选择器的选择输入为 S₁ = A 和 S₀ = B，数据输入分别接 I₀ = C′，I₁ = C，I₂ = C，I₃ = 1。在 A、B、C 的 8 种组合中，有多少种使输出 F = 1？求 N。

I₀ = C′I₁ = CI₂ = CI₃ = 1

N =

6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难

对于 F(A, B, C, D) = Σm(5, 7, 9, 10, 14) + d(3, 6, 15)（其中 d 表示无关项），求必要质蕴涵项的个数 N。

F(A, B, C, D) = Σm(5, 7, 9, 10, 14) + d(3, 6, 15)

N =

7.数论与模运算中等

求 11 模 41 的逆元：满足 0 < x < 41 且 11·x ≡ 1 (mod 41) 的数 x。

a = 11n = 41

11⁻¹ mod 41 =

8.数论与模运算困难

用 RSA 公钥 (n, e) = (85, 19) 加密消息 m = 24。求密文 c。

n = 85e = 19m = 24

c =

9.算法与复杂度中等

用自底向上的表格计算第 n 个斐波那契数，时间复杂度是多少？

AO(log n)
BO(n)
CO(2ⁿ)
DO(n²)

10.算法与复杂度困难

Strassen 算法在矩阵乘法中对半尺寸的分块只做 7 次而不是 8 次递归乘法。它的运行时间是多少？

AΘ(n^{log₂ 7})，约为 n^2.81
BΘ(n²)
CΘ(n² log n)
DΘ(n³)

11.数据结构中等

检查 "{[()]}" 中的括号是否匹配，使用哪种数据结构？

A哈希表
B队列
C栈
D二叉搜索树

12.数据结构困难

对于数组中的每个元素，你想以总共 O(n) 的时间求出其右侧的下一个更大元素。哪种结构有帮助？

A一个包含所有元素的哈希表
B一棵为每个元素重建的二叉搜索树
C一个保存每一对元素的队列
D一个保存尚在等待答案的元素的栈

13.图论中等

这个连通图有欧拉回路、有不是回路的欧拉通路，还是两者都没有？点选你的答案。

|V| = 7|E| = 9

1欧拉回路
2有欧拉通路，无回路
3都不是

14.图论困难

长度为 2 且起点和终点都是 B 的闭途径有多少条？途径可以重复顶点和边。把这个数记作 N。

M = 邻接矩阵L = 2

N =

15.数据库与 SQL中等

SELECT name, CASE WHEN grade >= 5.5 THEN 'pass' ELSE 'fail' END FROM results 返回什么？

A只返回及格的学生
B每个姓名以及根据成绩得到的标签 'pass' 或 'fail'
C及格和不及格的学生人数
D报错，因为 SELECT 中不允许使用 CASE

16.数据库与 SQL困难

并发事务的调度在什么情况下被称为可串行化的？

A事务只在一个 CPU 上运行
B其效果等价于这些事务的某种串行执行
C任何事务都从不读取数据
D每个事务都被分配一个序列号

17.计算机网络中等

一个 /24 的 IPv4 网络有多少个可用主机地址？

A252
B256
C254
D255

18.计算机网络困难

为什么先关闭 TCP 连接的一方要在 TIME_WAIT 状态停留两倍的最大报文段寿命？

A保留加密密钥以便日后重用
B等待 DNS 缓存过期
C让延迟的段消亡，并在最后的 ACK 丢失时能够重发
D让沿途的路由器为下一次连接更新其路由表

19.IPv4 子网划分中等

一个子网使用掩码 255.255.252.0。它有多少个可用主机地址 H？

255.255.252.0

H =

20.IPv4 子网划分困难

网络 192.168.45.0/24 用 VLSM 划分给以下局域网：A: 57 主机, B: 3 主机, C: 98 主机, D: 9 主机。子网从 .0 开始向上分配，主机最多的局域网先分配，每个局域网分配能容纳它的最小子网。局域网 B 的网络地址第四个八位组 x 是多少？

A: 57B: 3C: 98D: 9

x =

3溶液

1.数制

答案: U = 208

设置比特位：每一位对应 2 的一个幂（128、64、…、1）。一个十六进制数字恰好是四位，在 8 位补码中最左边的位权重为 −128。按位运算对每个位位置分别进行。

取反加一

48 = 0011 0000

取反后: 1100 1111

+1 → 1101 0000

按无符号数读取

1101 0000₂ = 256 − 48 = 208

答案

U = 208

2.数制

答案: b = 8 bit

位置计数制：每个数位的值等于该数字乘以基数的某次幂。二进制各位的权为 1、2、4、8、16、……；十六进制为 1、16、256、……，A–F 代表 10–15。在 8 位补码中，最左边一位的权是 −128 而不是 +128，负数就是这样存储的。

2 的幂

2⁷ = 128 < 165

2⁸ = 256 ≥ 165

答案

b = 8

3.命题逻辑与证明

答案: (p → q) ∧ (r → q)

逻辑等价：两个公式在真值表的每一行取值都相同时，它们是等价（≡）的。重言式在每一行都为 1，矛盾式在每一行都为 0，偶然式则两者都不是。常用定律：德摩根律，¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b 和 ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b；a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a（逆否命题）；¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b；以及分配律，a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。

定律

(a ∨ b) → c 要求只要 a 或 b 成立就必须有 c：(a → c) ∧ (b → c)。

(p ∨ r) → q ≡ (p → q) ∧ (r → q)

用真值表检验

p = 1, q = 1, r = 1: 1 | 1 1 1 1

p = 1, q = 1, r = 0: 1 | 1 1 1 1

p = 1, q = 0, r = 1: 0 | 0 0 0 1

p = 1, q = 0, r = 0: 0 | 0 1 1 1

p = 0, q = 1, r = 1: 1 | 1 1 1 1

p = 0, q = 1, r = 0: 1 | 1 1 1 1

p = 0, q = 0, r = 1: 0 | 0 1 1 0

p = 0, q = 0, r = 0: 1 | 1 1 1 1

答案

(p → q) ∧ (r → q)

竖线之后的各列是按所示顺序排列的各个选项。

4.命题逻辑与证明

答案: N = 4

真值表：含 n 个不同变量的公式有 2ⁿ 行，每一行对应真值的一种组合（1 = 真，0 = 假）。由内向外进行，给每个子公式单独一列。¬a 把值取反；a ∧ b 只有在两者都为 1 时才为 1；a ∨ b 只有在两者都为 0 时才为 0；a → b 只有在 a = 1 且 b = 0 时才为 0；a ↔ b 在两边相等时为 1。

各列

p → r; q ↔ (p → r); ¬q; ¬q ↔ s; (q ↔ (p → r)) ∧ (¬q ↔ s)

按 p 拆分

p = 1: 2

p = 0: 2

N = 2 + 2 = 4

答案

N = 4

5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 5

多路选择器：2ⁿ 选 1 多路选择器把其数据输入之一传到输出；选择线按二进制数读取，决定选哪一个。对于选择端 S₁S₀ = AB 的 4 选 1 MUX，F = A′B′·I₀ + A′B·I₁ + AB′·I₂ + AB·I₃。把数据输入接到 0、1、C 或 C′，可使 MUX 产生 A、B、C 的任意函数，这是用一块芯片实现逻辑的常用方法。

输出表达式

F = A′B′C′ + A′BC + AB′C + AB

F = 1 的行

ABC = 000, 011, 101, 110, 111

N = 5

答案

N = 5

6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 3

卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。

质蕴涵项

由 1 和 X 能够构成的最大的圈。

BC, A′CD, ACD′, A′BD, AB′C′D

必要质蕴涵项

ACD′, A′BD, AB′C′D

N = 3

答案

N = 3

7.数论与模运算

答案: 11⁻¹ mod 41 = 15

逆元与同余式：a 模 n 有逆元，当且仅当 gcd(a, n) = 1。扩展欧几里得算法把 1 写成 s·n + t·a，于是 a⁻¹ ≡ t (mod n)。当 gcd(a, n) = 1 时，同余式 a·x ≡ b (mod n) 的解为 x ≡ a⁻¹·b。模数互素的两个同余式 x ≡ r₁ (mod m₁) 和 x ≡ r₂ (mod m₂) 在模 m₁·m₂ 下有唯一解（中国剩余定理）。欧拉函数 φ(n) 表示 1 到 n 中与 n 互素的数的个数：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。

扩展欧几里得算法

每个余数 r 都写成 r ≡ t·11 (mod 41)。

r = 41, t = 0

r = 11, q = 3, t = 1

r = 8, q = 1, t = −3

r = 3, q = 2, t = 4

r = 2, q = 1, t = −11

r = 1, q = 2, t = 15

逆矩阵

1 ≡ 15·11 (mod 41)

x = 15

校核: 11·15 = 165 = 4·41 + 1

答案

11⁻¹ mod 41 = 15

8.数论与模运算

答案: c = 54

模幂与 RSA：用反复平方法计算 aᵏ mod n：把 k 写成二进制，平方，每一步之后取模，并把对应二进制位为 1 的幂相乘。费马：对不整除 a 的素数 p，aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)，所以指数可以对 p − 1 取模。RSA：选取素数 p 和 q，n = p·q，φ(n) = (p − 1)(q − 1)；公钥指数 e 与 φ(n) 互素，私钥指数为 d = e⁻¹ mod φ(n)。用 c = mᵉ mod n 加密，用 m = cᵈ mod n 解密。

反复平方

19 = 16 + 2 + 1

24¹ ≡ 24 (mod 85)

24² ≡ 66 (mod 85)

24⁴ ≡ 21 (mod 85)

D · 一个保存尚在等待答案的元素的栈

13.图论

答案: 有欧拉通路，无回路

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；K_n 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

度

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 4, deg(D) = 2, deg(E) = 4, deg(F) = 1, deg(G) = 2

奇度顶点

B, F → 2

有欧拉通路，无回路

答案

有欧拉通路，无回路

欧拉通路从一个奇度顶点出发，在另一个奇度顶点结束。

14.图论

答案: N = 4

度：顶点的度是与它相连的边的条数。每条边有两个端点，所以度数之和等于边数的两倍：Σ deg(v) = 2|E|（握手引理）。因此奇度顶点的个数是偶数。K_n 有 n(n − 1)/2 条边，n 个顶点的 k-正则图有 nk/2 条边，n 个顶点的树有 n − 1 条边。

邻接矩阵

A: 0 1 1 0 0

B: 1 0 1 1 1

C · 让延迟的段消亡，并在最后的 ACK 丢失时能够重发

19.IPv4 子网划分

答案: H = 1022

IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).

前缀长度

255.255.252.0 = /22

可用主机数

2¹⁰ − 2 = 1022

答案

H = 1022

20.IPv4 子网划分

答案: x = 208

VLSM：每个局域网分配满足 2ʰ − 2 ≥ 其主机数的最小子网，即前缀 32 − h。先分配最大的子网，可使每个块都对齐在其自身大小的倍数上，因此网络地址就是各块大小依次相加的结果。

每个局域网的块大小

C: 98 主机 → 2⁷ = 128 (/25)

A: 57 主机 → 2⁶ = 64 (/26)

D: 9 主机 → 2⁴ = 16 (/28)

B: 3 主机 → 2³ = 8 (/29)

分配顺序，从大到小

C: .0 – .127

A: .128 – .191

D: .192 – .207

B: .208 – .215

答案

x = 208

局域网 B：192.168.45.208/29。

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