数制
- 位权
- 二进制 2k，八进制 8k，十六进制 16k
- 转为十进制
- Σ dk·bk
- 从十进制转换
- 除以基数，余数从下往上读
- 十六进制 ↔ 二进制
- 一位十六进制数 = 4 位二进制
- 二进制补码
- 按位取反后加 1
计算机科学导论：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
命题逻辑与证明
- 真值表的行数
- 2ⁿ
- 蕴涵
- p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
- 蕴涵的否定
- ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
- 双条件
- p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
- 德摩根律
- ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
- 分配律
- p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
- 量词的否定
- ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
- 肯定前件，否定后件
- p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p
方法
- 数一数不同变量的个数：真值表有 2ⁿ 行，从全为 1 的一行开始。
- 给每个子公式单独一列，由内向外逐列填写。
- 按各联结词的规则计算：→ 只有在 1 → 0 时为 0，↔ 在两边相同时为 1。
- 判断等价时，逐行比较最后一列；判断论证时，只看所有前提都为 1 的那些行。
- 否定带量词的命题时，把 ¬ 移到内部，交换 ∀ 和 ∃，并否定内部的公式。
数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器
- 基本逻辑门
- A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
- 布尔规则
- X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
- 德摩根律
- (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
- 卡诺图的顺序
- 00, 01, 11, 10 (Gray code)
- 由 2ᵏ 个格子组成的圈
- 消去 k 个变量
- 4 选 1 多路选择器
- F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
- 触发器
- D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
- 计数器
- n 位：2ⁿ 个状态； 模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； fout = fclk/N
- 行波计数器
- fmax = 1/(n·tpd)
- 环形计数器与约翰逊计数器
- n 个和 2n 个状态
方法
- 对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
- 化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
- 用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
- 对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。
数论与模运算
- 带余除法
- a = q·n + r, 0 ≤ r < n
- 欧几里得
- gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
- 最小公倍数
- lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
- 逆矩阵
- a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
- 线性同余方程
- a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
- 欧拉函数
- φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
- 费马
- aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
- RSA
- n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
方法
- 先把每个数对 n 取模；余数在 0 到 n − 1 之间。
- 求最大公约数时，用欧几里得算法反复做除法；最后一个非零余数就是最大公约数。
- 求逆元时，运行扩展算法并保留 a 的系数；若为负数则加上 n。
- 解 a·x ≡ b 时，两边乘以 a⁻¹；合并两个同余式时，写成 x = r₁ + m₁k。
- 求幂时，把指数写成二进制并反复平方；在 RSA 中，d = e⁻¹ mod φ(n)，其中 φ(n) = (p − 1)(q − 1)。
图论
- 握手引理
- Σ deg(v) = 2|E|
- 完全图
- |E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
- 正则图
- |E| = n·k/2
- 树与森林
- |E| = n − 1, |E| = n − c
- 树的叶子
- L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
- 欧拉
- 回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
- Kn 中的哈密顿回路
- (n − 1)!/2
- 迪杰斯特拉更新
- d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
- 长度为 L 的途径
- (Mᴸ)ij
方法
- 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
- 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
- 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
- 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
- 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。
IPv4 子网划分
- 每个子网的主机数
- 2(32 − prefix) − 2 (/31: 2, /32: 1)
- 块大小
- 256 − (mask octet)
- 网络地址
- IP AND 掩码
- 广播地址
- IP OR (NOT 掩码)：主机位全部置 1
- 借用 n 位得到的子网数
- 2n
2练习题
1.数制中等
设置各位，使其以 8 位补码存储 −102。按无符号数读取，该位模式的值 U 是多少？
N = −1028 bit
U =
2.数制困难
某系统要为 2031 个项目中的每一个分配一个长度相同的独立二进制编码。最少需要多少位 b？
2031
b = bit
3.命题逻辑与证明中等
你想用逆否证明来证明 ¬p → r。你要改为证明哪个蕴涵？点选它。
¬p → r
- 1¬r → ¬¬p
- 2¬¬p → ¬r
- 3¬p ∧ ¬r
- 4r → ¬p
4.命题逻辑与证明困难
前提为 p → (r ∨ q); p、结论为 r 的论证是无效的。点选真值表中作为反例的那一行。
p → (r ∨ q)p∴ r
- 1p = 1, q = 1, r = 1
- 2p = 1, q = 1, r = 0
- 3p = 1, q = 0, r = 1
- 4p = 1, q = 0, r = 0
- 5p = 0, q = 1, r = 1
- 6p = 0, q = 1, r = 0
- 7p = 0, q = 0, r = 1
- 8p = 0, q = 0, r = 0
5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等
一个 4 选 1 多路选择器的选择输入为 S₁ = A 和 S₀ = B，数据输入分别接 I₀ = C，I₁ = C，I₂ = C′，I₃ = C。在 A、B、C 的 8 种组合中，有多少种使输出 F = 1？求 N。
I₀ = CI₁ = CI₂ = C′I₃ = C
N =
6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难
一个 4 位环形计数器 Q₃Q₂Q₁Q₀ 从 1001 开始。每个时钟边沿，各位向右移动一位（Q₃ → Q₂ → Q₁ → Q₀），Q₃ 接收 Q₀。给出 3 个时钟边沿之后的状态 Q = Q₃Q₂Q₁Q₀，用十进制数表示。
Q₃Q₂Q₁Q₀ = 10013
Q =
7.数论与模运算中等
求满足 x ≡ 4 (mod 6) 和 x ≡ 2 (mod 7) 的最小正整数 x。
x ≡ 4 (mod 6)x ≡ 2 (mod 7)
x =
8.数论与模运算困难
用 RSA 公钥 (n, e) = (323, 19) 加密消息 m = 110。求密文 c。
n = 323e = 19m = 110
c =
9.算法与复杂度中等
递推式 T(n) = 2T(n/2) + O(n) 的解是：
- AO(n)
- BO(log n)
- CO(n log n)
- DO(n²)
10.算法与复杂度困难
递推式 T(n) = 2T(n/2) + n log n 的解是什么？
- AΘ(n²)
- BΘ(n log² n)
- CΘ(n log n)
- DΘ(n)
11.数据结构中等
AVL 树在每个节点上维持什么平衡条件？
- A左右子树的高度之差至多为 1
- B每个节点都被着成红色或黑色
- C所有叶子都恰好位于同一深度
- D每个节点的两棵子树包含完全相同数量的节点
12.数据结构困难
与有序链表相比，跳表（skip list）的主要优势是什么？
- A利用多层前向指针，实现期望 O(log n) 的查找
- B它不占用额外内存
- C保证 O(1) 的查找，因为每个节点都存有指向其他所有节点的指针
- D它以无序方式存储键
13.图论中等
一棵树有 2 个度为 4 的顶点, 2 个度为 5 的顶点，其余所有顶点都是叶子（度为 1）。它有多少片叶子 L？
2 × deg 42 × deg 5
L =
14.图论困难
用迪杰斯特拉算法求带权图中从 A 到 F 的最短路径的长度 d(F)。
起点：A终点：F
d(F) =
15.数据库与 SQL中等
哪个查询返回每个客户的订单数量？
- ASELECT customer_id, COUNT(*) FROM orders ORDER BY customer_id
- BSELECT customer_id, COUNT(*) FROM orders GROUP BY customer_id
- CSELECT customer_id FROM orders WHERE COUNT(*) > 0
- DSELECT DISTINCT COUNT(*) FROM orders
16.数据库与 SQL困难
为什么在生产查询中使用 NATURAL JOIN 被认为有风险？
- A它忽略主键和外键，只保留 NULL 行
- B没有任何数据库支持它
- C它总是返回笛卡尔积
- D它在所有同名列上连接，因此新增一列可能悄无声息地改变结果
17.计算机网络中等
TLS 为 HTTPS 提供哪些安全特性？
- A防御所访问网站上的所有恶意软件和网络钓鱼
- B用户匿名性
- C机密性、完整性和服务器身份认证
- D仅加快加载速度
18.计算机网络困难
为什么 TCP 为每个连接选择一个不可预测的初始序列号？
- A避免与旧的段混淆，并使伪造的段更难被注入
- B加密每个段的净荷
- C更有效地压缩数据
- D为该连接的各个报文段选择到达目的地的最佳路由
19.IPv4 子网划分中等
一个子网使用掩码 255.255.255.240。它有多少个可用主机地址 H？
255.255.255.240
H =
20.IPv4 子网划分困难
某主机地址为 10.20.127.115/26。其子网中最后一个可用主机地址的第四个八位组 x 是多少？
10.20.127.115/26
x =
3溶液
1.数制
答案: U = 154
设置比特位：每一位对应 2 的一个幂（128、64、…、1）。一个十六进制数字恰好是四位，在 8 位补码中最左边的位权重为 −128。按位运算对每个位位置分别进行。
取反加一
102 = 0110 0110
取反后: 1001 1001
+1 → 1001 1010
按无符号数读取
1001 1010₂ = 256 − 102 = 154
答案
U = 154
2.数制
答案: b = 11 bit
位置计数制：每个数位的值等于该数字乘以基数的某次幂。二进制各位的权为 1、2、4、8、16、……；十六进制为 1、16、256、……，A–F 代表 10–15。在 8 位补码中，最左边一位的权是 −128 而不是 +128，负数就是这样存储的。
2 的幂
210 = 1024 < 2031
211 = 2048 ≥ 2031
答案
b = 11
3.命题逻辑与证明
答案: ¬r → ¬¬p
逻辑等价：两个公式在真值表的每一行取值都相同时，它们是等价（≡）的。重言式在每一行都为 1，矛盾式在每一行都为 0，偶然式则两者都不是。常用定律：德摩根律，¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b 和 ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b；a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a（逆否命题）；¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b；以及分配律，a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。
蕴涵的各个部分
a = ¬p, b = r
逆否命题
¬b → ¬a = ¬r → ¬¬p
答案
¬r → ¬¬p
逆否命题与原命题等价，所以证明了它就证明了原命题。
4.命题逻辑与证明
答案: p = 1, q = 1, r = 0
量词与论证：¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)，¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)。把否定向内移动，交换它经过的每个量词，并用命题逻辑的定律否定内部的公式，例如 ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b。当所有前提为 1 的每一行中结论也为 1 时，论证是有效的。只要有一行前提为真而结论为假，它就是反例，说明论证无效。
逐行列出前提与结论
p = 1, q = 1, r = 1: 1 1 | 1
p = 1, q = 1, r = 0: 1 1 | 0
p = 1, q = 0, r = 1: 1 1 | 1
p = 1, q = 0, r = 0: 0 1 | 0
p = 0, q = 1, r = 1: 1 0 | 1
p = 0, q = 1, r = 0: 1 0 | 0
p = 0, q = 0, r = 1: 1 0 | 1
p = 0, q = 0, r = 0: 1 0 | 0
反例
p = 1, q = 1, r = 0
答案
p = 1, q = 1, r = 0
这种形式的论证看起来像有效的规则，但只要有一行就足以说明它并不有效。
5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器
答案: N = 4
多路选择器：2ⁿ 选 1 多路选择器把其数据输入之一传到输出；选择线按二进制数读取，决定选哪一个。对于选择端 S₁S₀ = AB 的 4 选 1 MUX，F = A′B′·I₀ + A′B·I₁ + AB′·I₂ + AB·I₃。把数据输入接到 0、1、C 或 C′，可使 MUX 产生 A、B、C 的任意函数，这是用一块芯片实现逻辑的常用方法。
输出表达式
F = A′B′C + A′BC + AB′C′ + ABC
F = 1 的行
ABC = 001, 011, 100, 111
N = 4
答案
N = 4
6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器
答案: Q = 3
触发器与计数器：触发器只在时钟的有效边沿改变。D 复制其输入 (Q⁺ = D)；T 在 T = 1 时翻转；JK 在 00 时保持，01 时复位，10 时置位，11 时翻转。n 位二进制计数器有 2ⁿ 个状态，按模 2ⁿ 计数；模 N 计数器依次计 0, 1, …, N − 1 然后回到 0，需要满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n 个触发器。行波计数器的每一级使频率减半，所以模 N 计数器的最后一级输出频率为 fclk/N。n 个触发器的约翰逊计数器有 2n 个状态，环形计数器有 n 个。
每个边沿之后的状态
1001 → 1100 → 0110 → 0011
十进制值
0011₂ = 3
答案
Q = 3
7.数论与模运算
答案: x = 16
逆元与同余式：a 模 n 有逆元，当且仅当 gcd(a, n) = 1。扩展欧几里得算法把 1 写成 s·n + t·a，于是 a⁻¹ ≡ t (mod n)。当 gcd(a, n) = 1 时，同余式 a·x ≡ b (mod n) 的解为 x ≡ a⁻¹·b。模数互素的两个同余式 x ≡ r₁ (mod m₁) 和 x ≡ r₂ (mod m₂) 在模 m₁·m₂ 下有唯一解（中国剩余定理）。欧拉函数 φ(n) 表示 1 到 n 中与 n 互素的数的个数：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。
第一个同余式
x = 4 + 6k
第二个同余式
4 + 6k ≡ 2 (mod 7) → 6k ≡ 5 (mod 7)
k ≡ 6·5 ≡ 2 (mod 7)
结果
x = 4 + 6·2 = 16
x = 16
校核: 16 mod 6 = 4, 16 mod 7 = 2
答案
x = 16
8.数论与模运算
答案: c = 53
模幂与 RSA：用反复平方法计算 aᵏ mod n：把 k 写成二进制，平方，每一步之后取模，并把对应二进制位为 1 的幂相乘。费马：对不整除 a 的素数 p，aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)，所以指数可以对 p − 1 取模。RSA：选取素数 p 和 q，n = p·q，φ(n) = (p − 1)(q − 1)；公钥指数 e 与 φ(n) 互素，私钥指数为 d = e⁻¹ mod φ(n)。用 c = mᵉ mod n 加密，用 m = cᵈ mod n 解密。
反复平方
19 = 16 + 2 + 1
1101 ≡ 110 (mod 323)
1102 ≡ 149 (mod 323)
1104 ≡ 237 (mod 323)
1108 ≡ 290 (mod 323)
11016 ≡ 120 (mod 323)
11019 ≡ 110·149·120 ≡ 53 (mod 323)
密文
c = 53
答案
c = 53
9.算法与复杂度
答案: C · O(n log n)
为什么是这个答案
根据主定理（master theorem）（a = 2, b = 2, f(n) = n），T(n) = Θ(n log n)。
答案
C · O(n log n)
10.算法与复杂度
答案: B · Θ(n log² n)
为什么是这个答案
第 k 层的工作量约为 n log(n / 2ᵏ)，对 log n 层求和得到 Θ(n log² n)，这是主定理第二种情况的推广形式。
答案
B · Θ(n log² n)
11.数据结构
答案: A · 左右子树的高度之差至多为 1
为什么是这个答案
平衡因子（左子树高度 − 右子树高度）必须为 −1、0 或 1；插入和删除之后通过旋转来恢复平衡。
答案
A · 左右子树的高度之差至多为 1
12.数据结构
答案: A · 利用多层前向指针，实现期望 O(log n) 的查找
为什么是这个答案
随机化的层级使查找能够跳过许多节点，从而使查找、插入和删除的期望时间为 O(log n)。
答案
A · 利用多层前向指针，实现期望 O(log n) 的查找
13.图论
答案: L = 12
欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。
树的握手引理
L + 18 = 2(L + 4) − 2
L = 12
答案
L = 12
捷径：L = 2 + Σ (d − 2)，对度 d ≥ 3 的顶点求和。
14.图论
答案: d(F) = 15
最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。
迪杰斯特拉算法逐轮过程
每一行：被确定的顶点、它的最终距离，以及距离得到改进的邻点。
A (0): B: 10
B (10): C: 25, D: 11, G: 22
D (11): F: 15, G: 12
G (12): C: 13, E: 20
C (13)
F (15)
E (20)
最短路径
A → B → D → F
d(F) = 15
答案
d(F) = 15
15.数据库与 SQL
答案: B · SELECT customer_id, COUNT(*) FROM orders GROUP BY customer_id
为什么是这个答案
GROUP BY customer_id 为每个客户生成一个分组，COUNT(*) 统计每个分组中的行数。
答案
B · SELECT customer_id, COUNT(*) FROM orders GROUP BY customer_id
16.数据库与 SQL
答案: D · 它在所有同名列上连接，因此新增一列可能悄无声息地改变结果
为什么是这个答案
自然连接匹配所有同名的列，例如无关的 "name" 或 "created_at"；显式的 ON 或 USING 子句更安全。
答案
D · 它在所有同名列上连接，因此新增一列可能悄无声息地改变结果
17.计算机网络
答案: C · 机密性、完整性和服务器身份认证
为什么是这个答案
TLS 加密流量、检测篡改，并通过证书认证服务器（也可选择认证客户端）。
答案
C · 机密性、完整性和服务器身份认证
18.计算机网络
答案: A · 避免与旧的段混淆，并使伪造的段更难被注入
为什么是这个答案
随机的初始序列号能防止旧连接中延迟到达的段被接受，并使不在路径上的攻击者难以伪造有效的段。
答案
A · 避免与旧的段混淆，并使伪造的段更难被注入
19.IPv4 子网划分
答案: H = 14
IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).
前缀长度
255.255.255.240 = /28
可用主机数
24 − 2 = 14
答案
H = 14
20.IPv4 子网划分
答案: x = 126
IPv4 子网划分：一个地址有 32 位。前缀 /p 表示前面多少位标识网络；其余 32 − p 位为主机编号。一个子网有 2³²⁻ᵖ 个地址，但第一个（网络地址）和最后一个（广播地址）不能分配给主机，所以可容纳 2³²⁻ᵖ − 2 台主机。 例外：/31（点对点链路，RFC 3021）的 2 个地址都用于主机，/32 只有一个地址（单个主机或环回地址）。
块大小
26 = 64
该主机所在子网
网络: ⌊115/64⌋·64 = 64
广播: 64 + 64 − 1 = 127
可用主机: 65 … 126
答案
x = 126
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