计算机科学导论：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

数制

位权
二进制 2k，八进制 8k，十六进制 16k
转为十进制
Σ dk·bk
从十进制转换
除以基数，余数从下往上读
十六进制 ↔ 二进制
一位十六进制数 = 4 位二进制
二进制补码
按位取反后加 1

命题逻辑与证明

真值表的行数
2ⁿ
蕴涵
p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
蕴涵的否定
¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
双条件
p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
德摩根律
¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
分配律
p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
量词的否定
¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
肯定前件，否定后件
p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

方法

  1. 数一数不同变量的个数：真值表有 2ⁿ 行，从全为 1 的一行开始。
  2. 给每个子公式单独一列，由内向外逐列填写。
  3. 按各联结词的规则计算：→ 只有在 1 → 0 时为 0，↔ 在两边相同时为 1。
  4. 判断等价时，逐行比较最后一列；判断论证时，只看所有前提都为 1 的那些行。
  5. 否定带量词的命题时，把 ¬ 移到内部，交换 ∀ 和 ∃，并否定内部的公式。

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门
A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则
X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律
(X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序
00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈
消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器
F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
触发器
D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器
n 位：2ⁿ 个状态； 模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； fout = fclk/N
行波计数器
fmax = 1/(n·tpd)
环形计数器与约翰逊计数器
n 个和 2n 个状态

方法

  1. 对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
  2. 化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
  3. 用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
  4. 对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

数论与模运算

带余除法
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
欧几里得
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
最小公倍数
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
逆矩阵
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
线性同余方程
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
欧拉函数
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
费马
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

方法

  1. 先把每个数对 n 取模；余数在 0 到 n − 1 之间。
  2. 求最大公约数时，用欧几里得算法反复做除法；最后一个非零余数就是最大公约数。
  3. 求逆元时，运行扩展算法并保留 a 的系数；若为负数则加上 n。
  4. 解 a·x ≡ b 时，两边乘以 a⁻¹；合并两个同余式时，写成 x = r₁ + m₁k。
  5. 求幂时，把指数写成二进制并反复平方；在 RSA 中，d = e⁻¹ mod φ(n)，其中 φ(n) = (p − 1)(q − 1)。

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

IPv4 子网划分

每个子网的主机数
2(32 − prefix) − 2 (/31: 2, /32: 1)
块大小
256 − (mask octet)
网络地址
IP AND 掩码
广播地址
IP OR (NOT 掩码)：主机位全部置 1
借用 n 位得到的子网数
2n

2练习题

1.数制中等
8 位补码0−12806403201608040201

设置各位，使其以 8 位补码存储 −67。按无符号数读取，该位模式的值 U 是多少？

N = −678 bit
U =
2.数制困难
点击各位来设置012806403201608040201

把各位设置为 1011 0000 << 1 的 8 位结果。该结果的十进制值 R 是多少？

1011 0000<< 1
R =
3.命题逻辑与证明中等
¬a ∨ ¬ba ∧ ¬ba ↔ ¬b¬a ↔ ¬b

哪个公式与 ¬(a ↔ b) 在逻辑上等价？点选它。

¬(a ↔ b)
  1. 1¬a ∨ ¬b
  2. 2a ∧ ¬b
  3. 3a ↔ ¬b
  4. 4¬a ↔ ¬b
4.命题逻辑与证明困难
∀x (¬P(x) ∧ ¬Q(x))∃x (¬P(x) ∨ ¬Q(x))∀x (¬P(x) ∨ ¬Q(x))∃x (¬P(x) ∧ ¬Q(x))

把否定完全移到内部之后，哪个命题与 ¬∀x (P(x) ∨ Q(x)) 等价？点选它。

¬∀x (P(x) ∨ Q(x))
  1. 1∀x (¬P(x) ∧ ¬Q(x))
  2. 2∃x (¬P(x) ∨ ¬Q(x))
  3. 3∀x (¬P(x) ∨ ¬Q(x))
  4. 4∃x (¬P(x) ∧ ¬Q(x))
5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等
ABCD0001111000011110111111

在这个卡诺图中，恰有一个 1 没有相邻的 1，所以它在最简 SOP 形式中仍是单个格子的圈（含四个文字的完整最小项）。跨越卡诺图边界的相邻关系也要计入。点选该格子。

F = Σm(2, 4, 6, 8, 10, 13)
  1. 1AB = 00, CD = 00
  2. 2AB = 00, CD = 01
  3. 3AB = 00, CD = 11
  4. 4AB = 00, CD = 10
  5. 5AB = 01, CD = 00
  6. 6AB = 01, CD = 01
  7. 7AB = 01, CD = 11
  8. 8AB = 01, CD = 10
  9. 9AB = 11, CD = 00
  10. 10AB = 11, CD = 01
  11. 11AB = 11, CD = 11
  12. 12AB = 11, CD = 10
  13. 13AB = 10, CD = 00
  14. 14AB = 10, CD = 01
  15. 15AB = 10, CD = 11
  16. 16AB = 10, CD = 10
6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难
TQ0​Q0​TQ1​Q1​TQ2​Q2​CLKMOD-6

同步模 6 计数器依次计 0, 1, …, 5，然后回到 0。它从 4 开始。经过 23 个时钟脉冲后，它显示的计数 Q（十进制）是多少？

Q0 = 423N = 6
Q =
7.数论与模运算中等

求 47 模 59 的逆元：满足 0 < x < 59 且 47·x ≡ 1 (mod 59) 的数 x。

a = 47n = 59
47−1 mod 59 =
8.数论与模运算困难
343c = me​ mod n?m = cd​ mod nm(n, e) = (407, 7)d

用 RSA 公钥 (n, e) = (407, 7) 加密消息 m = 343。求密文 c。

n = 407e = 7m = 343
c =
9.算法与复杂度中等

简单的递归阶乘函数 fact(n) = n × fact(n − 1) 使用多少栈空间？

  1. AO(n²)
  2. BO(1)
  3. CO(n)
  4. DO(log n)
10.算法与复杂度困难

为什么在有序数组中任何基于比较的查找在最坏情况下都需要 Ω(log n) 次比较？

  1. A有 n 种可能结果的决策树，其深度至少为 log₂ n
  2. B二分查找是唯一可能的算法，它需要 log₂ n 次比较
  3. C每次比较都需要对数时间
  4. D每个元素都必须至少比较一次
11.数据结构中等

哪种冲突解决方法将发生冲突的键存储在同一个桶的列表中？

  1. A双重哈希（Double hashing）
  2. B线性探测（Linear probing）
  3. C拉链法（Separate chaining）
  4. D二次探测（Quadratic probing）
12.数据结构困难

在二叉堆中（已知元素位置），decrease-key 操作的时间复杂度是：

  1. AO(n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(log n)
  4. DO(1)
13.图论中等

一棵树有 2 个度为 3 的顶点, 2 个度为 4 的顶点, 2 个度为 5 的顶点, 3 个度为 2 的顶点，其余所有顶点都是叶子（度为 1）。它有多少片叶子 L？

2 × deg 32 × deg 42 × deg 53 × deg 2
L =
14.图论困难
ABCDEF

从 D 到 E 的长度为 2 的途径有多少条？途径可以重复顶点和边。把这个数记作 N。

M = 邻接矩阵L = 2
N =
15.数据库与 SQL中等

ACID 中的 "A" 代表什么？

  1. A可用性（Availability）
  2. B聚合性（Aggregation）
  3. C原子性（Atomicity）
  4. D准确性（Accuracy）
16.数据库与 SQL困难

把 R 分解为 R1 和 R2 在什么情况下保证是无损的？

  1. AR 的每个属性都同时出现在 R1 和 R2 中时
  2. BR1 和 R2 没有公共属性时
  3. CR1 和 R2 的列数相同时
  4. DR1 和 R2 的公共属性构成 R1 或 R2 的超键时
17.计算机网络中等

分布式拒绝服务（DDoS）攻击的特征是什么？

  1. A大量被攻陷的机器用流量淹没一个目标
  2. B一种病毒删除一台 PC 上的文件
  3. C一个攻击者猜测用户的密码
  4. D攻击者从附近的汽车里读取未加密的 Wi-Fi 流量
18.计算机网络困难

在具有冗余交换机链路的网络中，哪种机制可以防止广播环路？

  1. ANAT
  2. BDHCP 监听（DHCP snooping）
  3. CARP 缓存
  4. D生成树协议（Spanning Tree Protocol）
19.IPv4 子网划分中等
/24 → /2611111111111111111111111111000000网络位主机位

网络 10.28.193.0/24 被划分为前缀为 /26 的等大子网。共有多少个子网 N？

10.28.193.0/24/26
N =
20.IPv4 子网划分困难
第三个八位组 184 … 190112806413211618040201相同不同

一台路由器有到以下网络的路由：10.252.184.0/24, 10.252.185.0/24, 10.252.186.0/24, 10.252.187.0/24, 10.252.188.0/24, 10.252.189.0/24, 10.252.190.0/24。能覆盖所有这些网络的单条汇总路由，其最长前缀长度 p 是多少？

10.252.184.0/24 … 10.252.190.0/24
p =

3溶液

1.数制

答案: U = 189

设置比特位：每一位对应 2 的一个幂（128、64、…、1）。一个十六进制数字恰好是四位，在 8 位补码中最左边的位权重为 −128。按位运算对每个位位置分别进行。

取反加一

67 = 0100 0011
取反后: 1011 1100
+1 → 1011 1101

按无符号数读取

1011 1101₂ = 256 − 67 = 189

答案

U = 189
2.数制

答案: R = 96

设置比特位：每一位对应 2 的一个幂（128、64、…、1）。一个十六进制数字恰好是四位，在 8 位补码中最左边的位权重为 −128。按位运算对每个位位置分别进行。

逐位计算

左移 1 位，把每一位向左移动 1 个位置；从左端移出的位丢失，右侧补入 0。

1011 0000 << 1
= 0110 0000

结果的值

0110 0000₂ = 96

答案

R = 96
3.命题逻辑与证明

答案: a ↔ ¬b

逻辑等价：两个公式在真值表的每一行取值都相同时，它们是等价（≡）的。重言式在每一行都为 1，矛盾式在每一行都为 0，偶然式则两者都不是。常用定律：德摩根律，¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b 和 ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b；a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a（逆否命题）；¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b；以及分配律，a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。

定律

¬(a ↔ b) 恰好在 a 和 b 不同时为 1，即 a ↔ ¬b。
¬(a ↔ b) ≡ a ↔ ¬b

用真值表检验

a = 1, b = 1: 0 | 0 0 0 1
a = 1, b = 0: 1 | 1 1 1 0
a = 0, b = 1: 1 | 1 0 1 0
a = 0, b = 0: 0 | 1 0 0 1

答案

a ↔ ¬b

竖线之后的各列是按所示顺序排列的各个选项。

4.命题逻辑与证明

答案: ∃x (¬P(x) ∧ ¬Q(x))

量词与论证：¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)，¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)。把否定向内移动，交换它经过的每个量词，并用命题逻辑的定律否定内部的公式，例如 ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b。当所有前提为 1 的每一行中结论也为 1 时，论证是有效的。只要有一行前提为真而结论为假，它就是反例，说明论证无效。

把否定移到内部

¬∀x (P(x) ∨ Q(x)) ≡ ∃x (¬P(x) ∧ ¬Q(x))

答案

∃x (¬P(x) ∧ ¬Q(x))

其他选项要么保持某个量词不变，要么改变了量词的顺序，要么错误地否定了内部的公式。

5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: AB = 11, CD = 01

卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。

每个 1 的邻格

有相邻 1 的 1 可以加入由两个或更多格子组成的圈。

m13: m12, m15, m9, m5 → 0
ABCD0001111000011110111111

孤立的 1

m13 = ABC′D → AB = 11, CD = 01

答案

AB = 11, CD = 01
6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: Q = 3

触发器与计数器：触发器只在时钟的有效边沿改变。D 复制其输入 (Q⁺ = D)；T 在 T = 1 时翻转；JK 在 00 时保持，01 时复位，10 时置位，11 时翻转。n 位二进制计数器有 2ⁿ 个状态，按模 2ⁿ 计数；模 N 计数器依次计 0, 1, …, N − 1 然后回到 0，需要满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n 个触发器。行波计数器的每一级使频率减半，所以模 N 计数器的最后一级输出频率为 fclk/N。n 个触发器的约翰逊计数器有 2n 个状态，环形计数器有 n 个。

完整循环

每 6 个脉冲使计数器回到相同的状态。

23 = 3·6 + 5

剩余脉冲之后的计数

Q = (4 + 5) mod 6 = 3
Q = 011₂

答案

Q = 3
7.数论与模运算

答案: 47−1 mod 59 = 54

逆元与同余式：a 模 n 有逆元，当且仅当 gcd(a, n) = 1。扩展欧几里得算法把 1 写成 s·n + t·a，于是 a⁻¹ ≡ t (mod n)。当 gcd(a, n) = 1 时，同余式 a·x ≡ b (mod n) 的解为 x ≡ a⁻¹·b。模数互素的两个同余式 x ≡ r₁ (mod m₁) 和 x ≡ r₂ (mod m₂) 在模 m₁·m₂ 下有唯一解（中国剩余定理）。欧拉函数 φ(n) 表示 1 到 n 中与 n 互素的数的个数：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。

扩展欧几里得算法

每个余数 r 都写成 r ≡ t·47 (mod 59)。

r = 59, t = 0
r = 47, q = 1, t = 1
r = 12, q = 3, t = −1
r = 11, q = 1, t = 4
r = 1, q = 11, t = −5

逆矩阵

1 ≡ −5·47 (mod 59)
x = 54
校核: 47·54 = 2538 = 43·59 + 1

答案

47−1 mod 59 = 54
8.数论与模运算

答案: c = 84

模幂与 RSA：用反复平方法计算 aᵏ mod n：把 k 写成二进制，平方，每一步之后取模，并把对应二进制位为 1 的幂相乘。费马：对不整除 a 的素数 p，aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)，所以指数可以对 p − 1 取模。RSA：选取素数 p 和 q，n = p·q，φ(n) = (p − 1)(q − 1)；公钥指数 e 与 φ(n) 互素，私钥指数为 d = e⁻¹ mod φ(n)。用 c = mᵉ mod n 加密，用 m = cᵈ mod n 解密。

反复平方

7 = 4 + 2 + 1
3431 ≡ 343 (mod 407)
3432 ≡ 26 (mod 407)
3434 ≡ 269 (mod 407)
3437 ≡ 343·26·269 ≡ 84 (mod 407)

密文

c = 84

答案

c = 84
9.算法与复杂度

答案: C · O(n)

为什么是这个答案

在任何调用返回之前，递归深度达到 n 层，每次调用都需要一个栈帧，因此使用 O(n) 的空间。

答案

C · O(n)
10.算法与复杂度

答案: A · 有 n 种可能结果的决策树，其深度至少为 log₂ n

为什么是这个答案

每次比较至多把剩余的可能性减半，因此要区分 n 个位置至少需要 log₂ n 次比较。

答案

A · 有 n 种可能结果的决策树，其深度至少为 log₂ n
11.数据结构

答案: C · 拉链法（Separate chaining）

为什么是这个答案

拉链法为每个桶维护一个链表（或其他结构）；开放寻址法则在表内寻找另一个空槽。

答案

C · 拉链法（Separate chaining）
12.数据结构

答案: C · O(log n)

为什么是这个答案

减小键值后，元素最多上浮（sift up）堆的高度那么多层。斐波那契堆可实现均摊 O(1) 的 decrease-key。

答案

C · O(log n)
13.图论

答案: L = 14

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

树的握手引理

L + 30 = 2(L + 9) − 2
L = 14

答案

L = 14

捷径：L = 2 + Σ (d − 2)，对度 d ≥ 3 的顶点求和。

14.图论

答案: N = 2

度：顶点的度是与它相连的边的条数。每条边有两个端点，所以度数之和等于边数的两倍：Σ deg(v) = 2|E|（握手引理）。因此奇度顶点的个数是偶数。Kn 有 n(n − 1)/2 条边，n 个顶点的 k-正则图有 nk/2 条边，n 个顶点的树有 n − 1 条边。

邻接矩阵

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 0 1 1 0
C: 1 0 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

公共邻点

(M²)DE = 0·0 + 1·1 + 0·1 + 0·1 + 1·0 + 1·1 = 2

答案

N = 2
15.数据库与 SQL

答案: C · 原子性（Atomicity）

为什么是这个答案

ACID：atomicity、consistency、isolation、durability。原子性指事务要么完全执行，要么完全不执行。

答案

C · 原子性（Atomicity）
16.数据库与 SQL

答案: D · R1 和 R2 的公共属性构成 R1 或 R2 的超键时

为什么是这个答案

如果共享属性决定了 R1 或 R2 的所有属性，把它们连接回来就恰好得到原来的行，不会产生多余的元组。

答案

D · R1 和 R2 的公共属性构成 R1 或 R2 的超键时
17.计算机网络

答案: A · 大量被攻陷的机器用流量淹没一个目标

为什么是这个答案

在 DDoS 攻击中，许多来源压垮服务器或链路，使合法用户无法得到服务。来源众多使简单的封堵很难奏效。

答案

A · 大量被攻陷的机器用流量淹没一个目标
18.计算机网络

答案: D · 生成树协议（Spanning Tree Protocol）

为什么是这个答案

STP 选举根桥并阻塞冗余路径，当活动链路故障时再解除阻塞。

答案

D · 生成树协议（Spanning Tree Protocol）
19.IPv4 子网划分

答案: N = 4

IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).

借用位

26 − 24 = 2

子网数

N = 22 = 4

答案

N = 4

每个 /26 子网有 26 − 2 = 62 个可用主机。

20.IPv4 子网划分

答案: p = 21

路由汇总：汇总路由 a.b.c.0/p 覆盖前 p 位相同的所有网络。把第一个和最后一个网络中不同的那个八位组写成二进制；相同的前导位数加上它前面各八位组的位数，就是最长的汇总前缀。

比较各位

184 = 10111000
190 = 10111110
相同的前导位：5

前缀长度

p = 16 + 5 = 21

答案

p = /21

汇总路由：10.252.184.0/21 （它还覆盖了列表中没有的 1 个网络）。

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