计算机科学导论：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

数制

位权: 二进制 2^k，八进制 8^k，十六进制 16^k
转为十进制: Σ d_k·b^k
从十进制转换: 除以基数，余数从下往上读
十六进制 ↔ 二进制: 一位十六进制数 = 4 位二进制
二进制补码: 按位取反后加 1

命题逻辑与证明

真值表的行数: 2ⁿ
蕴涵: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
蕴涵的否定: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
双条件: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
德摩根律: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
分配律: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
量词的否定: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
肯定前件，否定后件: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

方法

数一数不同变量的个数：真值表有 2ⁿ 行，从全为 1 的一行开始。
给每个子公式单独一列，由内向外逐列填写。
按各联结词的规则计算：→ 只有在 1 → 0 时为 0，↔ 在两边相同时为 1。
判断等价时，逐行比较最后一列；判断论证时，只看所有前提都为 1 的那些行。
否定带量词的命题时，把 ¬ 移到内部，交换 ∀ 和 ∃，并否定内部的公式。

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈: 消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
触发器: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器: n 位：2ⁿ 个状态；模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； f_out = f_clk/N
行波计数器: f_max = 1/(n·t_pd)
环形计数器与约翰逊计数器: n 个和 2n 个状态

方法

对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

数论与模运算

带余除法: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
欧几里得: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
最小公倍数: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
逆矩阵: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
线性同余方程: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
欧拉函数: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
费马: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

方法

先把每个数对 n 取模；余数在 0 到 n − 1 之间。
求最大公约数时，用欧几里得算法反复做除法；最后一个非零余数就是最大公约数。
求逆元时，运行扩展算法并保留 a 的系数；若为负数则加上 n。
解 a·x ≡ b 时，两边乘以 a⁻¹；合并两个同余式时，写成 x = r₁ + m₁k。
求幂时，把指数写成二进制并反复平方；在 RSA 中，d = e⁻¹ mod φ(n)，其中 φ(n) = (p − 1)(q − 1)。

图论

握手引理: Σ deg(v) = 2|E|
完全图: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正则图: |E| = n·k/2
树与森林: |E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉: 回路：所有顶点度数为偶数；通路：恰有 2 个奇度顶点
K_n 中的哈密顿回路: (n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径: (Mᴸ)_ij

方法

写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

IPv4 子网划分

每个子网的主机数: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
块大小: 256 − (mask octet)
网络地址: IP AND 掩码
广播地址: IP OR (NOT 掩码)：主机位全部置 1
借用 n 位得到的子网数: 2ⁿ

2练习题

1.数制中等

8 位模式 1001 0010 以补码形式存储一个有符号整数。它的十进制值 N 是多少？

1001 00108 bit

N =

2.数制困难

16 位能容纳的最大无符号整数 N 是多少？

16 bit

N =

3.命题逻辑与证明中等

哪个公式与 (p ∨ q) → r 在逻辑上等价？点选它。

(p ∨ q) → r

1(p → r) ∧ (q → r)
2(p → r) ∨ (q → r)
3(p ∧ q) → r
4p ∨ (q → r)

4.命题逻辑与证明困难

已知前提 p → q; q → r。由它们可以推出哪个结论？点选它。

p → qq → r

1p → r
2p ∧ r
3r → p
4¬p → ¬r

5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等

在这个卡诺图中，恰有一个 1 没有相邻的 1，所以它在最简 SOP 形式中仍是单个格子的圈（含四个文字的完整最小项）。跨越卡诺图边界的相邻关系也要计入。点选该格子。

F = Σm(0, 3, 4, 5, 7, 9, 10, 13)

1AB = 00, CD = 00
2AB = 00, CD = 01
3AB = 00, CD = 11
4AB = 00, CD = 10
5AB = 01, CD = 00
6AB = 01, CD = 01
7AB = 01, CD = 11
8AB = 01, CD = 10
9AB = 11, CD = 00
10AB = 11, CD = 01
11AB = 11, CD = 11
12AB = 11, CD = 10
13AB = 10, CD = 00
14AB = 10, CD = 01
15AB = 10, CD = 11
16AB = 10, CD = 10

6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难

对于 F(A, B, C, D) = Σm(1, 3, 13, 14) + d(0, 4, 9, 11)（其中 d 表示无关项），求必要质蕴涵项的个数 N。

F(A, B, C, D) = Σm(1, 3, 13, 14) + d(0, 4, 9, 11)

N =

7.数论与模运算中等

求 6 模 83 的逆元：满足 0 < x < 83 且 6·x ≡ 1 (mod 83) 的数 x。

a = 6n = 83

6⁻¹ mod 83 =

8.数论与模运算困难

用 RSA 公钥 (n, e) = (391, 19) 加密消息 m = 273。求密文 c。

n = 391e = 19m = 273

c =

9.算法与复杂度中等

在包含 1,000,000 个元素的有序数组上，二分查找在最坏情况下大约需要多少次比较？

A约 1,000 次
B约 100 次
C约 500,000 次
D约 20 次

10.算法与复杂度困难

要证明一个判定问题 X 是 NP 完全的，必须证明哪两点？

AX 属于 P，并且 X 能归约到 SAT
BX 能归约到 P 中的某个问题，并且 X 属于 NP
CX 没有多项式算法，并且 X 是可判定的
DX 属于 NP，并且某个已知的 NP 完全问题能在多项式时间内归约到 X

11.数据结构中等

AVL 树在每个节点上维持什么平衡条件？

A每个节点的两棵子树包含完全相同数量的节点
B左右子树的高度之差至多为 1
C所有叶子都恰好位于同一深度
D每个节点都被着成红色或黑色

12.数据结构困难

在使用开放寻址法的哈希表中，为什么删除操作常用"墓碑"（tombstone）标记？

A出于安全考虑，被删除的键必须永久保留，因此槽位永远不能重用
B清空槽位可能会破坏其他键的探测序列
C墓碑可以加快哈希计算
D它能使表变得有序

13.图论中等

这个连通图有欧拉回路、有不是回路的欧拉通路，还是两者都没有？点选你的答案。

|V| = 7|E| = 7

1欧拉回路
2有欧拉通路，无回路
3都不是

14.图论困难

克鲁斯卡尔算法构造最小生成树。点选它加入的第 3 条边；被跳过的边不计。

k = 3

1边 AB
2边 AC
3边 BC
4边 BD
5边 CE
6边 DE
7边 BE

15.数据库与 SQL中等

在两个 SELECT 查询之间使用 INTERSECT 时返回什么？

A在第一个结果中但不在第二个中的行
B同时出现在两个结果中的行
C两个结果的笛卡尔积
D两个结果中的所有行

16.数据库与 SQL困难

为什么许多 DBMS 使用严格两阶段锁，把排他锁一直持有到提交？

A它使死锁不可能发生
B它允许事务安全地读取脏数据
C它免去了事务日志
D它能防止级联中止，因为没有人能读到未提交的写入

17.计算机网络中等

子网掩码 255.255.255.0 对应的 CIDR 表示法是什么？

A/24
B/16
C/32
D/8

18.计算机网络困难

根据奈奎斯特公式，使用 4 个信号电平的无噪声 3 kHz 信道的最大比特率是多少？

A24 kbit/s
B12 kbit/s
C6 kbit/s
D3 kbit/s

19.IPv4 子网划分中等

网络 10.117.248.0/24 被划分为前缀为 /29 的等大子网。共有多少个子网 N？

10.117.248.0/24/29

N =

20.IPv4 子网划分困难

某主机地址为 10.20.26.25/25。其子网中最后一个可用主机地址的第四个八位组 x 是多少？

10.20.26.25/25

x =

3溶液

1.数制

答案: N = −110

位置计数制：每个数位的值等于该数字乘以基数的某次幂。二进制各位的权为 1、2、4、8、16、……；十六进制为 1、16、256、……，A–F 代表 10–15。在 8 位补码中，最左边一位的权是 −128 而不是 +128，负数就是这样存储的。

位权相加

其余各位保持正常的正权值。

−128 + 16 + 2 = −110

答案

N = −110

2.数制

答案: N = 65535

最大值

2¹⁶ − 1 = 65535

答案

N = 65535

3.命题逻辑与证明

答案: (p → r) ∧ (q → r)

逻辑等价：两个公式在真值表的每一行取值都相同时，它们是等价（≡）的。重言式在每一行都为 1，矛盾式在每一行都为 0，偶然式则两者都不是。常用定律：德摩根律，¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b 和 ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b；a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a（逆否命题）；¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b；以及分配律，a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。

定律

(a ∨ b) → c 要求只要 a 或 b 成立就必须有 c：(a → c) ∧ (b → c)。

(p ∨ q) → r ≡ (p → r) ∧ (q → r)

用真值表检验

p = 1, q = 1, r = 1: 1 | 1 1 1 1

p = 1, q = 1, r = 0: 0 | 0 0 0 1

p = 1, q = 0, r = 1: 1 | 1 1 1 1

p = 1, q = 0, r = 0: 0 | 0 1 1 1

p = 0, q = 1, r = 1: 1 | 1 1 1 1

p = 0, q = 1, r = 0: 0 | 0 1 1 0

p = 0, q = 0, r = 1: 1 | 1 1 1 1

p = 0, q = 0, r = 0: 1 | 1 1 1 1

答案

(p → r) ∧ (q → r)

竖线之后的各列是按所示顺序排列的各个选项。

4.命题逻辑与证明

答案: p → r

量词与论证：¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)，¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)。把否定向内移动，交换它经过的每个量词，并用命题逻辑的定律否定内部的公式，例如 ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b。当所有前提为 1 的每一行中结论也为 1 时，论证是有效的。只要有一行前提为真而结论为假，它就是反例，说明论证无效。

所有前提都为真的行

p = 1, q = 1, r = 1: p → r = 1, p ∧ r = 1, r → p = 1, ¬p → ¬r = 1

p = 0, q = 1, r = 1: p → r = 1, p ∧ r = 0, r → p = 0, ¬p → ¬r = 0

p = 0, q = 0, r = 1: p → r = 1, p ∧ r = 0, r → p = 0, ¬p → ¬r = 0

p = 0, q = 0, r = 0: p → r = 1, p ∧ r = 0, r → p = 1, ¬p → ¬r = 1

结论

p → r (假言三段论)

答案

p → r

5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: AB = 10, CD = 10

卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。

每个 1 的邻格

有相邻 1 的 1 可以加入由两个或更多格子组成的圈。

m10: m11, m8, m14, m2 → 0

孤立的 1

m10 = AB′CD′ → AB = 10, CD = 10

答案

AB = 10, CD = 10

6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 3

质蕴涵项

由 1 和 X 能够构成的最大的圈。

B′D, AC′D, A′B′C′, ABCD′

必要质蕴涵项

B′D, AC′D, ABCD′

N = 3

答案

N = 3

7.数论与模运算

答案: 6⁻¹ mod 83 = 14

逆元与同余式：a 模 n 有逆元，当且仅当 gcd(a, n) = 1。扩展欧几里得算法把 1 写成 s·n + t·a，于是 a⁻¹ ≡ t (mod n)。当 gcd(a, n) = 1 时，同余式 a·x ≡ b (mod n) 的解为 x ≡ a⁻¹·b。模数互素的两个同余式 x ≡ r₁ (mod m₁) 和 x ≡ r₂ (mod m₂) 在模 m₁·m₂ 下有唯一解（中国剩余定理）。欧拉函数 φ(n) 表示 1 到 n 中与 n 互素的数的个数：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。

扩展欧几里得算法

每个余数 r 都写成 r ≡ t·6 (mod 83)。

r = 83, t = 0

r = 6, q = 13, t = 1

r = 5, q = 1, t = −13

r = 1, q = 5, t = 14

逆矩阵

1 ≡ 14·6 (mod 83)

x = 14

校核: 6·14 = 84 = 1·83 + 1

答案

6⁻¹ mod 83 = 14

8.数论与模运算

答案: c = 86

模幂与 RSA：用反复平方法计算 aᵏ mod n：把 k 写成二进制，平方，每一步之后取模，并把对应二进制位为 1 的幂相乘。费马：对不整除 a 的素数 p，aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)，所以指数可以对 p − 1 取模。RSA：选取素数 p 和 q，n = p·q，φ(n) = (p − 1)(q − 1)；公钥指数 e 与 φ(n) 互素，私钥指数为 d = e⁻¹ mod φ(n)。用 c = mᵉ mod n 加密，用 m = cᵈ mod n 解密。

反复平方

19 = 16 + 2 + 1

273¹ ≡ 273 (mod 391)

273² ≡ 239 (mod 391)

273⁴ ≡ 35 (mod 391)

B · 清空槽位可能会破坏其他键的探测序列

13.图论

答案: 有欧拉通路，无回路

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；K_n 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

度

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 1, deg(D) = 3, deg(E) = 2, deg(F) = 2, deg(G) = 2

奇度顶点

C, D → 2

有欧拉通路，无回路

答案

有欧拉通路，无回路

欧拉通路从一个奇度顶点出发，在另一个奇度顶点结束。

14.图论

答案: 边 AC

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

克鲁斯卡尔算法

1. AB (4)

2. CE (5)

3. AC (8)

4. BD (14)

2 × 3000 × log₂ 4 = 2 × 3000 × 2 = 12,000 bit/s。更多的电平能提高速率，但噪声限制了可以区分的电平数。

答案

B · 12 kbit/s

19.IPv4 子网划分

答案: N = 32

IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).

借用位

29 − 24 = 5

子网数

N = 2⁵ = 32

答案

N = 32

每个 /29 子网有 2³ − 2 = 6 个可用主机。

20.IPv4 子网划分

答案: x = 126

IPv4 子网划分：一个地址有 32 位。前缀 /p 表示前面多少位标识网络；其余 32 − p 位为主机编号。一个子网有 2³²⁻ᵖ 个地址，但第一个（网络地址）和最后一个（广播地址）不能分配给主机，所以可容纳 2³²⁻ᵖ − 2 台主机。例外：/31（点对点链路，RFC 3021）的 2 个地址都用于主机，/32 只有一个地址（单个主机或环回地址）。

块大小

2⁷ = 128

该主机所在子网

网络: ⌊25/128⌋·128 = 0

广播: 0 + 128 − 1 = 127

可用主机: 1 … 126

答案

x = 126

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