公司金融：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

盈亏平衡分析

边际贡献: CM = p − v
盈亏平衡销量: Q_BE = FC/(p − v)
目标利润: Q = (FC + profit)/(p − v)
利润: π = (p − v)·Q − FC
安全边际: (Q − Q_BE)/Q

2练习题

1.货币的时间价值中等

一处房产预计明年获得 €2 000 的净租金。租金预计每年永久增长 1.5%。要求回报率为每年 5.5%。求该房产今天的价值 PV。

C₁ = €2 000g = 1.5%r = 5.5%

PV = €

2.货币的时间价值困难

你在 17 年内每月月末存入 €50。账户年利率 3.6%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。

A = €503.6% / 12N = 204

FV = €

3.NPV 与 IRR中等

一台机器今天花费 €30 000，使用 7 年，每年运行费用为 €3 000（每年年末支付）。资本成本为 8%。求其等值年成本 EAC。

C₀ = €30 000M = €3 000n = 7r = 8%

EAC = €

4.NPV 与 IRR困难

一个项目需投入 €25 000，在第 1 年到第 3 年的每年年末回报 €11 500, €15 000, €10 500。现金流可按 10% 的资本成本再投资。求修正内部收益率 MIRR，以百分比表示。

r = 10%CF₀ = −25 000CF₁ = 11 500CF₂ = 15 000CF₃ = 10 500

MIRR = %

5.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 8%，每半年付息一次，5 年后到期。到期收益率为每年 6%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 8%YTM = 6%n = 5

P = €

6.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 6% 的债券 7 年后到期，售价为 €895。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 6%n = 7P = €895

YTM = %

7.CAPM 与 WACC中等

一家公司的融资由价值 €10 000 000 的普通股、价值 €2 000 000 的优先股和价值 €3 000 000 的债务构成。股权资本成本为 11%，优先股成本为 6%，税前债务成本为 4.5%。税率为 30%。求 WACC。

E = €10 000 000P_s = €2 000 000D = €3 000 000r_e = 11%r_p = 6%r_d = 4.5%T = 30%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

一家公司股票在当前负债权益比 0.4 下的贝塔为 1.2。公司计划把负债权益比提高到 0.6。税率为 21%，无风险利率为 3%，市场风险溢价为 4%。求变化后的股权资本成本 r_e。

β_L = 1.2D/E₁ = 0.4D/E₂ = 0.6T = 21%r_f = 3%r_m − r_f = 4%

r_e = %

9.盈亏平衡分析中等

一种产品售价 €18，单位变动成本为 €15。固定成本为每月 €3 600，利润按 20% 征税。每月必须售出多少件 Q 才能获得税后 €1 500？

p = €18v = €15F = €3 600T = 20%税后利润 = €1 500

Q = 件

10.盈亏平衡分析困难

某产品售价每件 €14，单位变动成本 €12，每年固定成本 €5 000。预算销量为 3 000 件。求安全边际 MS，以占预算销量的百分比表示。

F = €5 000p = €14v = €12预算 = 3 000

MS = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 50000 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

增长型永续年金

PV = C₁/(r − g) = 2 000/(0.055 − 0.015) = 2 000/0.04 = €50 000.00

答案

PV = €50 000.00

2.货币的时间价值

答案: FV = 14040 €

月利率和存款次数

i = 0.036000000000000004/12 = 0.003

N = 12·17 = 204

存款的终值

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 50·(1.842 − 1)/0.003 = €14 040.45

答案

FV = €14 040.45

你自己存入了 €10 200；其余是利息。

3.NPV 与 IRR

答案: EAC = 8762 €

等值年成本：把所有成本的现值在寿命期内分摊为每年相等的金额（一份年金）：EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ)。它可以用来比较寿命不同的机器。

年金系数

(1 − 1.08⁻⁷)/0.08 = 5.206

年化购置价格

30 000/5.206 = 5 762.17

EAC

EAC = 5 762.17 + 3 000 = €8 762.17

答案

EAC = €8 762.17

4.NPV 与 IRR

答案: MIRR = 17.85 %

修正 IRR：把每笔流入按再投资利率（通常为资本成本）复利到项目结束，得到终值 TV。MIRR 是把初始投资变为 TV 的利率：MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1。

流入的终值

11 500·1.1² = 13 915.00

15 000·1.1¹ = 16 500.00

10 500·1.1⁰ = 10 500.00

TV = 40 915.00

MIRR

MIRR = (40 915.00/25 000)^1/3 − 1 = 17.85%

答案

MIRR = 17.85%

5.债券定价与收益率

答案: P = 1085 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €40.00, i = 0.03, N = 10

票息的现值

€40.00·(1 − 0.7441)/0.03 = €341.21

面值的现值

€1 000·0.7441 = €744.09

价格

P = €1 085.30

答案

P = €1 085.30

收益率低于票面利率，所以债券溢价出售。

6.债券定价与收益率

答案: YTM = 8.018 %

收益率方程

€895 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷

数值求解

P(8%) = €895.87, P(9%) = €849.01

YTM = 8.018%

答案

YTM = 8.018%

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 8.763 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = 10 000 000 + 2 000 000 + 3 000 000 = €15 000 000

E/V = 0.6667, P_s/V = 0.1333, D/V = 0.2

WACC

WACC = 0.6667·11% + 0.1333·6% + 0.2·4.5%·(1 − 0.3) = 8.763%

答案

WACC = 8.763%

8.CAPM 与 WACC

答案: r_e = 8.376 %

有杠杆贝塔（哈马达公式）：负债使股权风险增大。β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E)，其中 β_U 是无负债时业务的贝塔。要把贝塔转换到另一种资本结构，先去杠杆，再按新的 D/E 加杠杆。

对贝塔去杠杆

β_U = 1.2/(1 + 0.79·0.4) = 0.9119

按新的 D/E 重新加杠杆

β_L = 0.9119·(1 + 0.79·0.6) = 1.344

股权成本（CAPM）

r_e = 3% + 1.344·4% = 8.376%

答案

r_e = 8.376%

9.盈亏平衡分析

答案: Q = 1825 件

本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。

所需的税前利润

1 500/(1 − 0.2) = €1 875

所需销量

Q = (3 600 + 1 875)/3 = 1 825

答案

Q = 1 825 件

10.盈亏平衡分析

答案: MS = 16.67 %

盈亏平衡销量

Q = F/(p − v) = 5 000/2 = 2 500

安全边际

MS = (3 000 − 2 500)/3 000·100 = 16.67%

答案

MS = 16.67%

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