货币的时间价值
- 终值
- FV = PV·(1 + i)n
- 现值
- PV = FV/(1 + i)n
- 每年多个计息期
- i = r/m, N = m·n
- 年金现值
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金终值
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
方法
- 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
- 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
- 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
- 检查答案的符号和数量级。
公司金融：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
NPV 与 IRR
- 净现值
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 等额现金流
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部收益率
- 使 NPV = 0 的 r
- 决策
- NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受
方法
- 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
- 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
- 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
- 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。
债券定价与收益率
- 债券价格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年付息
- C/2、y/2 和 2n 期
- 当期收益率
- C/P
- 价格与收益率
- 收益率上升 → 价格下降
方法
- 求每期票息和每期收益率。
- 价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
- 半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
- 检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。
CAPM 与 WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企业价值
- V = E + D
盈亏平衡分析
- 边际贡献
- CM = p − v
- 盈亏平衡销量
- QBE = FC/(p − v)
- 目标利润
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利润
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全边际
- (Q − QBE)/Q
2练习题
1.货币的时间价值中等
你在 6 年后需要 €40 000。某账户年利率 6%，按季度复利。今天需要存入多少？求现值 PV。
FV = €40 0006% / 4n = 6
PV = €
2.货币的时间价值困难
你在每年年初存入 €3 000，共 25 年，第一笔今天存入。账户年利率为 6%。第 25 年年末账户里有多少钱？求 FV。
A = €3 000i = 6%n = 25
FV = €
3.NPV 与 IRR中等
一项 €60 000 的投资在第 1 年至第 3 年年末带来以下现金流：€23 000, €18 000, €14 000。资本成本为 12%。求净现值 NPV。
r = 12%CF0 = −60 000CF1 = 23 000CF2 = 18 000CF3 = 14 000
NPV = €
4.NPV 与 IRR困难
一个项目需投入 €20 000，在第 1 年到第 3 年的每年年末回报 €11 500, €9 000, €8 500。现金流可按 10% 的资本成本再投资。求修正内部收益率 MIRR，以百分比表示。
r = 10%CF0 = −20 000CF1 = 11 500CF2 = 9 000CF3 = 8 500
MIRR = %
5.债券定价与收益率中等
一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 3%，每半年付息一次，11 年后到期。到期收益率为每年 8%。 求该债券的价格 P。
F = €1 000票面利率 = 3%YTM = 8%n = 11
P = €
6.债券定价与收益率困难
一只面值为 €1 000 的债券每年支付 5% 的票息，分两次半年支付，4 年后到期。其售价为 €982。求其到期收益率 YTM（以年利率表示，即半年收益率的两倍），以百分比表示。
F = €1 000票面利率 = 5% (2×)n = 4P = €982
YTM = %
7.CAPM 与 WACC中等
某公司有价值 €6 000 000 的股权和价值 €6 000 000 的债务。其股权成本为 13%，税前债务成本为 3.5%，税率为 21%。求 WACC。
E = €6 000 000D = €6 000 000re = 13%rd = 3.5%T = 21%
WACC = %
8.CAPM 与 WACC困难
一家公司有 2 000 000 股股票，股价为 €41.50；其股权账面价值为 €41 500 000。公司刚支付了每股 €1.70 的股利，股利每年增长 2%。其债务市场价值为 €24 900 000，税前成本为 4%。税率为 30%。用股利增长模型计算股权资本成本，求 WACC。
N = 2 000 000P0 = €41.50股权账面价值 = €41 500 000D0 = €1.70g = 2%D = €24 900 000rd = 4%T = 30%
WACC = %
9.盈亏平衡分析中等
一种产品售价 €40，单位变动成本为 €20。固定成本为每月 €40 000，利润按 25% 征税。每月必须售出多少件 Q 才能获得税后 €12 000？
p = €40v = €20F = €40 000T = 25%税后利润 = €12 000
Q = 件
10.盈亏平衡分析困难
某产品售价每件 €12，单位变动成本 €4，每年固定成本 €8 000。预算销量为 1 150 件。求安全边际 MS，以占预算销量的百分比表示。
F = €8 000p = €12v = €4预算 = 1 150
MS = %
3溶液
1.货币的时间价值
答案: PV = 27982 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
利率和期数
i = 0.06/4 = 0.015
N = 4·6 = 24
现值
PV = FV/(1 + i)N = 40 000/1.43 = €27 981.76
答案
PV = €27 981.76
2.货币的时间价值
答案: FV = 174469 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
普通年金系数
((1 + 0.06)25 − 1)/0.06 = 54.86
先付年金
每笔存款都多投资一年。
FV = 3 000·54.86·1.06 = €174 469.15
答案
FV = €174 469.15
3.NPV 与 IRR
答案: NPV = −15150 €
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
各笔现金流的现值
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0.12)1 = 23 000/1.12 = 20 535.71
CF2/(1 + 0.12)2 = 18 000/1.254 = 14 349.49
CF3/(1 + 0.12)3 = 14 000/1.405 = 9 964.92
相加
NPV = €−15 149.87
答案
NPV = €−15 149.87
NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。
4.NPV 与 IRR
答案: MIRR = 17.34 %
修正 IRR：把每笔流入按再投资利率（通常为资本成本）复利到项目结束，得到终值 TV。MIRR 是把初始投资变为 TV 的利率：MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1。
流入的终值
11 500·1.12 = 13 915.00
9 000·1.11 = 9 900.00
8 500·1.10 = 8 500.00
TV = 32 315.00
MIRR
MIRR = (32 315.00/20 000)1/3 − 1 = 17.34%
答案
MIRR = 17.34%
5.债券定价与收益率
答案: P = 638.7 €
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
每期
C = €15.00, i = 0.04, N = 22
票息的现值
€15.00·(1 − 0.422)/0.04 = €216.77
面值的现值
€1 000·0.422 = €421.96
价格
P = €638.72
答案
P = €638.72
收益率高于票面利率，所以债券折价出售。
6.债券定价与收益率
答案: YTM = 5.508 %
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
每期
C = €25.00, N = 8
数值求解
i = 2.754% 每半年
YTM
YTM = 2·2.754% = 5.508%
答案
YTM = 5.508%
7.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 7.883 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
权重
V = €12 000 000, E/V = 0.5, D/V = 0.5
WACC
WACC = 0.5·13% + 0.5·3.5%·(1 − 0.21) = 7.883%
答案
WACC = 7.883%
8.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 5.399 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
股权成本
D1 = 1.7·1.02 = €1.73
re = 1.734/41.5 + 0.02 = 6.178%
市场价值
E = 2 000 000·€41.50 = €83 000 000
V = €107 900 000, E/V = 0.7692, D/V = 0.2308
WACC
WACC = 0.7692·6.178% + 0.2308·4%·(1 − 0.3) = 5.399%
答案
WACC = 5.399%
9.盈亏平衡分析
答案: Q = 2800 件
本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。
所需的税前利润
12 000/(1 − 0.25) = €16 000
所需销量
Q = (40 000 + 16 000)/20 = 2 800
答案
Q = 2 800 件
10.盈亏平衡分析
答案: MS = 13.04 %
本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。
盈亏平衡销量
Q = F/(p − v) = 8 000/8 = 1 000
安全边际
MS = (1 150 − 1 000)/1 150·100 = 13.04%
答案
MS = 13.04%
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