公司金融：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值
FV = PV·(1 + i)n
现值
PV = FV/(1 + i)n
每年多个计息期
i = r/m, N = m·n
年金现值
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
年金终值
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i

方法

  1. 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
  2. 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
  3. 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
  4. 检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
等额现金流
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
内部收益率
使 NPV = 0 的 r
决策
NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

  1. 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
  2. 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
  3. 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
  4. 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
半年付息
C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率
C/P
价格与收益率
收益率上升 → 价格下降

方法

  1. 求每期票息和每期收益率。
  2. 价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
  3. 半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
  4. 检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
企业价值
V = E + D

盈亏平衡分析

边际贡献
CM = p − v
盈亏平衡销量
QBE = FC/(p − v)
目标利润
Q = (FC + profit)/(p − v)
利润
π = (p − v)·Q − FC
安全边际
(Q − QBE)/Q

2练习题

1.货币的时间价值中等
年0123…9PV = ?€12 000+1.5%+1.5%…r = 3.5%

一处房产预计明年获得 €12 000 的净租金。租金预计每年永久增长 1.5%。要求回报率为每年 3.5%。求该房产今天的价值 PV。

C1 = €12 000g = 1.5%r = 3.5%
PV = €
2.货币的时间价值困难
月0123…36€12 000A?AAA

一笔 €12 000 的贷款在 3 年内以等额月供偿还。年利率 2.4%，按月复利。求月供 A。

P = €12 0002.4% / 12N = 36
A = €
3.NPV 与 IRR中等
年0123…9−200 00013 000+2%+2%…r = 9%, NPV = ?

一个项目今天需投入 €200 000。它在第一年年末产生 €13 000，之后现金流每年永久增长 2%。资本成本为 9%。求净现值 NPV。

C0 = €200 000CF1 = €13 000g = 2%r = 9%
NPV = €
4.NPV 与 IRR困难
年0123−50 00032 50030 00019 500

某项目投入 €50 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €32 500, €30 000, €19 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF0 = −50 000CF1 = 32 500CF2 = 30 000CF3 = 19 500
IRR = %
5.债券定价与收益率中等
半年0123…18€15€15€15 + €1 000P = ?

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 3%，每半年付息一次，9 年后到期。到期收益率为每年 3.5%。 求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 3%YTM = 3.5%n = 9
P = €
6.债券定价与收益率困难
年012345P€30€30€30 + €1 000

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 3% 的票息，5 年后到期。到期收益率为 5.5%。求麦考利久期 D，以年表示。

F = €1 000票面利率 = 3%n = 5YTM = 5.5%
D = 年
7.CAPM 与 WACC中等
WACC = 11.2%所有者权益€4 000 000re​ = ?债务€1 000 000rd​ = 5%T = 20%

一家公司的股权价值为 €4 000 000，债务价值为 €1 000 000。其 WACC 为 11.2%，税前债务成本为 5%，税率为 20%。求股权资本成本 re。

E = €4 000 000D = €1 000 000WACC = 11.2%rd = 5%T = 20%
re = %
8.CAPM 与 WACC困难
rf​ = 3%, rm​ − rf​ = 4.5%D/E = 0.4所有者权益βL​ = 0.9债务D/E = 0.6所有者权益re​ = ?债务T = 30%

一家公司股票在当前负债权益比 0.4 下的贝塔为 0.9。公司计划把负债权益比提高到 0.6。税率为 30%，无风险利率为 3%，市场风险溢价为 4.5%。求变化后的股权资本成本 re。

βL = 0.9D/E1 = 0.4D/E2 = 0.6T = 30%rf = 3%rm − rf = 4.5%
re = %
9.盈亏平衡分析中等
Q€收入总成本固定成本Q = ?

某产品售价每件 €26，单位变动成本 €6。每月固定成本为 €80 000。每月需卖出多少件 Q 才能实现利润 €2 000？

F = €80 000p = €26v = €6利润 = €2 000
Q = 件
10.盈亏平衡分析困难
Q€收入总成本固定成本BE

某产品售价每件 €35，单位变动成本 €20，每年固定成本 €60 000。预算销量为 4 800 件。求安全边际 MS，以占预算销量的百分比表示。

F = €60 000p = €35v = €20预算 = 4 800
MS = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 600000 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

增长型永续年金

PV = C1/(r − g) = 12 000/(0.035 − 0.015) = 12 000/0.02 = €600 000.00

答案

PV = €600 000.00
2.货币的时间价值

答案: A = 345.8 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

月利率和还款期数

i = 0.024/12 = 0.002
N = 12·3 = 36

每期还款

N 笔等额付款 A 的现值为 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i。令其等于贷款额，解出 A。

(1 + i)−N = 0.9306
A = 12 000·0.002/(1 − 0.9306) = €345.81

答案

A = €345.81
3.NPV 与 IRR

答案: NPV = −14286 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

现金流的价值

PV = 13 000/(0.09 − 0.02) = 185 714.29

NPV

NPV = 185 714.29 − 200 000 = −€14 285.71

答案

NPV = −€14 285.71

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 32.5 %

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(30%) = 1 627.22
NPV(35%) = −1 539.40

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 30 + 5·1 627.22/(1 627.22 − (−1 539.40)) = 32.57%
精确: NPV(32.5%) = 0 → IRR = 32.5%

答案

IRR = 32.5%
5.债券定价与收益率

答案: P = 961.7 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €15.00, i = 0.0175, N = 18

票息的现值

€15.00·(1 − 0.7318)/0.0175 = €229.90

面值的现值

€1 000·0.7318 = €731.78

价格

P = €961.68

答案

P = €961.68

收益率高于票面利率，所以债券折价出售。

6.债券定价与收益率

答案: D = 4.698 年

久期：麦考利久期是债券支付各笔现金流的加权平均时间，以各笔现金流的现值为权重：D = Σ t·PVₜ/P。修正久期 D/(1 + y) 用于估计收益率小幅变化时价格变化的百分比：%ΔP ≈ −Dmod·Δy。

各笔现金流的现值

t = 1: 30/1.055 = 28.44, t·PV = 28.44
t = 2: 30/1.113 = 26.95, t·PV = 53.91
t = 3: 30/1.174 = 25.55, t·PV = 76.65
t = 4: 30/1.239 = 24.22, t·PV = 96.87
t = 5: 1030/1.307 = 788.09, t·PV = 3 940.44

久期

P = 893.24
D = 4 196.30/893.24 = 4.698

答案

D = 4.698 年
7.CAPM 与 WACC

答案: re = 13 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €5 000 000, E/V = 0.8, D/V = 0.2

WACC 中的债务部分

0.2·5%·(1 − 0.2) = 0.8%

股权成本

re = (11.2% − 0.8%)/0.8 = 13%

答案

re = 13%
8.CAPM 与 WACC

答案: re = 7.493 %

有杠杆贝塔（哈马达公式）：负债使股权风险增大。βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E)，其中 βU 是无负债时业务的贝塔。要把贝塔转换到另一种资本结构，先去杠杆，再按新的 D/E 加杠杆。

对贝塔去杠杆

βU = 0.9/(1 + 0.7·0.4) = 0.7031

按新的 D/E 重新加杠杆

βL = 0.7031·(1 + 0.7·0.6) = 0.9984

股权成本（CAPM）

re = 3% + 0.9984·4.5% = 7.493%

答案

re = 7.493%
9.盈亏平衡分析

答案: Q = 4100 件

本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。

单位边际贡献

p − v = 26 − 6 = €20

实现目标利润的销量

Q = (F + 利润)/(p − v) = (80 000 + 2 000)/20 = 4 100

答案

Q = 4 100 件
10.盈亏平衡分析

答案: MS = 16.67 %

本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。

盈亏平衡销量

Q = F/(p − v) = 60 000/15 = 4 000

安全边际

MS = (4 800 − 4 000)/4 800·100 = 16.67%

答案

MS = 16.67%

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