货币的时间价值
- 终值
- FV = PV·(1 + i)n
- 现值
- PV = FV/(1 + i)n
- 每年多个计息期
- i = r/m, N = m·n
- 年金现值
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金终值
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
方法
- 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
- 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
- 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
- 检查答案的符号和数量级。
公司金融：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
NPV 与 IRR
- 净现值
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 等额现金流
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部收益率
- 使 NPV = 0 的 r
- 决策
- NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受
方法
- 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
- 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
- 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
- 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。
债券定价与收益率
- 债券价格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年付息
- C/2、y/2 和 2n 期
- 当期收益率
- C/P
- 价格与收益率
- 收益率上升 → 价格下降
方法
- 求每期票息和每期收益率。
- 价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
- 半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
- 检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。
CAPM 与 WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企业价值
- V = E + D
盈亏平衡分析
- 边际贡献
- CM = p − v
- 盈亏平衡销量
- QBE = FC/(p − v)
- 目标利润
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利润
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全边际
- (Q − QBE)/Q
2练习题
1.货币的时间价值中等
你在 5 年后需要 €25 000。某账户年利率 2%，按月复利。今天需要存入多少？求现值 PV。
FV = €25 0002% / 12n = 5
PV = €
2.货币的时间价值困难
一笔 €150 000 的抵押贷款在 25 年内按月等额偿还，年利率 6%，按月复利。在第 9 年年末那次还款之后，还欠多少？求未偿余额 B。
P = €150 0006% / 12N = 300k = 108
B = €
3.NPV 与 IRR中等
一项 €75 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€30 000, €29 000, €27 000, €34 000。资本成本为 5%。求净现值 NPV。
r = 5%CF0 = −75 000CF1 = 30 000CF2 = 29 000CF3 = 27 000CF4 = 34 000
NPV = €
4.NPV 与 IRR困难
某项目投入 €20 000，在第 1 年至第 2 年年末每年回收 €9 000, €14 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。
CF0 = −20 000CF1 = 9 000CF2 = 14 500
IRR = %
5.债券定价与收益率中等
一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 2%，每半年付息一次，12 年后到期。到期收益率为每年 7%。 求该债券的价格 P。
F = €1 000票面利率 = 2%YTM = 7%n = 12
P = €
6.债券定价与收益率困难
一张面值为 €1 000、年票面利率为 5% 的债券 7 年后到期，售价为 €1 090。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。
F = €1 000票面利率 = 5%n = 7P = €1 090
YTM = %
7.CAPM 与 WACC中等
某公司有价值 €10 000 000 的股权和价值 €1 000 000 的债务。其股权成本为 11%，税前债务成本为 3%，税率为 25%。求 WACC。
E = €10 000 000D = €1 000 000re = 11%rd = 3%T = 25%
WACC = %
8.CAPM 与 WACC困难
一家公司有 2 000 000 股股票，股价为 €48.00；其股权账面价值为 €48 000 000。公司刚支付了每股 €2.80 的股利，股利每年增长 3%。其债务市场价值为 €57 600 000，税前成本为 6%。税率为 20%。用股利增长模型计算股权资本成本，求 WACC。
N = 2 000 000P0 = €48.00股权账面价值 = €48 000 000D0 = €2.80g = 3%D = €57 600 000rd = 6%T = 20%
WACC = %
9.盈亏平衡分析中等
一种产品可以用两种方法生产。方法 A 每年固定成本为 €15 000，单位变动成本为 €12。自动化程度更高的方法 B 每年固定成本为 €23 000，单位变动成本为 €8。年产量 Q 为多少时两种方法成本相同？
FA = €15 000vA = €12FB = €23 000vB = €8
Q = 件
10.盈亏平衡分析困难
某产品售价每件 €18，单位变动成本 €15，每年固定成本 €7 500。预算销量为 3 750 件。求安全边际 MS，以占预算销量的百分比表示。
F = €7 500p = €18v = €15预算 = 3 750
MS = %
3溶液
1.货币的时间价值
答案: PV = 22623 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
利率和期数
i = 0.02/12 = 0.001667
N = 12·5 = 60
现值
PV = FV/(1 + i)N = 25 000/1.105 = €22 622.82
答案
PV = €22 622.82
2.货币的时间价值
答案: B = 119104 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
月供
i = 0.005, N = 300
A = 150 000·0.005/(1 − (1 + 0.005)−300) = €966.45
剩余还款的现值
尚欠的金额必须恰好由剩余的还款还清。
N − k = 300 − 108 = 192
B = 966.5·(1 − (1 + 0.005)−192)/0.005 = €119 103.65
答案
B = €119 103.65
3.NPV 与 IRR
答案: NPV = 31171 €
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
各笔现金流的现值
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0.05)1 = 30 000/1.05 = 28 571.43
CF2/(1 + 0.05)2 = 29 000/1.103 = 26 303.85
CF3/(1 + 0.05)3 = 27 000/1.158 = 23 323.62
CF4/(1 + 0.05)4 = 34 000/1.216 = 27 971.88
相加
NPV = €31 170.78
答案
NPV = €31 170.78
NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。
4.NPV 与 IRR
答案: IRR = 10.57 %
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
夹逼 IRR
利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。
NPV(10%) = 165.29
NPV(15%) = −1 209.83
缩小范围
线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。
IRR ≈ 10 + 5·165.29/(165.29 − (−1 209.83)) = 10.6%
精确: NPV(10.57%) = 0 → IRR = 10.57%
答案
IRR = 10.57%
5.债券定价与收益率
答案: P = 598.5 €
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
每期
C = €10.00, i = 0.035, N = 24
票息的现值
€10.00·(1 − 0.438)/0.035 = €160.58
面值的现值
€1 000·0.438 = €437.96
价格
P = €598.54
答案
P = €598.54
收益率高于票面利率，所以债券折价出售。
6.债券定价与收益率
答案: YTM = 3.527 %
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
收益率方程
€1 090 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷
数值求解
P(3%) = €1 124.61, P(4%) = €1 060.02
YTM = 3.527%
答案
YTM = 3.527%
7.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 10.2 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
权重
V = €11 000 000, E/V = 0.9091, D/V = 0.09091
WACC
WACC = 0.9091·11% + 0.09091·3%·(1 − 0.25) = 10.2%
答案
WACC = 10.2%
8.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 7.43 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
股权成本
D1 = 2.8·1.03 = €2.88
re = 2.884/48 + 0.03 = 9.008%
市场价值
E = 2 000 000·€48.00 = €96 000 000
V = €153 600 000, E/V = 0.625, D/V = 0.375
WACC
WACC = 0.625·9.008% + 0.375·6%·(1 − 0.2) = 7.43%
答案
WACC = 7.43%
9.盈亏平衡分析
答案: Q = 2000 件
本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。
总成本相等
15 000 + 12Q = 23 000 + 8Q
求 Q
Q = (23 000 − 15 000)/(12 − 8) = 2 000
答案
Q = 2 000 件
产量低于此值时方法 A 更便宜；高于此值时自动化的方法 B 更便宜。
10.盈亏平衡分析
答案: MS = 33.33 %
本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。
盈亏平衡销量
Q = F/(p − v) = 7 500/3 = 2 500
安全边际
MS = (3 750 − 2 500)/3 750·100 = 33.33%
答案
MS = 33.33%
ExamProblems · examproblems.com/courses/corporate-finance