公司金融：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

盈亏平衡分析

边际贡献: CM = p − v
盈亏平衡销量: Q_BE = FC/(p − v)
目标利润: Q = (FC + profit)/(p − v)
利润: π = (p − v)·Q − FC
安全边际: (Q − Q_BE)/Q

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以名义年利率 4% 投资 €1 000，按月复利。求 10 年后的投资价值 FV。

PV = €1 0004% / 12n = 10

FV = €

2.货币的时间价值困难

一笔 €150 000 的贷款在 25 年内以等额月供偿还。年利率 6%，按月复利。求月供 A。

P = €150 0006% / 12N = 300

A = €

3.NPV 与 IRR中等

一台机器今天花费 €50 000，使用 8 年，每年运行费用为 €1 500（每年年末支付）。资本成本为 10%。求其等值年成本 EAC。

C₀ = €50 000M = €1 500n = 8r = 10%

EAC = €

4.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €40 000，在第 1 年至第 2 年年末每年回收 €26 500, €21 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −40 000CF₁ = 26 500CF₂ = 21 000

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 6% 的票息，10 年后到期。其到期收益率从 5.5% 变为 5%。债券价格变化多少 ΔP？

F = €1 000票面利率 = 6%n = 10y₁ = 5.5%y₂ = 5%

ΔP = €

6.债券定价与收益率困难

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 5% 的票息，5 年后到期。到期收益率为 4%。求麦考利久期 D，以年表示。

F = €1 000票面利率 = 5%n = 5YTM = 4%

D = 年

7.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €3 000 000 的股权和价值 €6 000 000 的债务。其股权成本为 10%，税前债务成本为 5%，税率为 20%。求 WACC。

E = €3 000 000D = €6 000 000r_e = 10%r_d = 5%T = 20%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

某公司有2 000 000 股、每股 €58.00 的股票，以及 20 000 张、每张市价 €1 000 的债券。税前债务成本为 3%，税率为 20%。股票的 β 系数为 1.8，无风险利率为 2.5%，市场回报率为 9%。求 WACC。

β = 1.8r_f = 2.5%r_m = 9%r_d = 3%T = 20%

WACC = %

9.盈亏平衡分析中等

一种产品售价 €42，单位变动成本为 €30。固定成本为每月 €24 000，利润按 20% 征税。每月必须售出多少件 Q 才能获得税后 €12 000？

p = €42v = €30F = €24 000T = 20%税后利润 = €12 000

Q = 件

10.盈亏平衡分析困难

一家公司销售两种产品。产品 A 售价 €23，变动成本 €15；产品 B 售价 €40，变动成本 €25。两者按固定组合销售，每销售 2 件 A 就销售 1 件 B。固定成本为每月 €9 300。求达到盈亏平衡所需的总件数 Q（A 和 B 合计）。

p_A = €23, v_A = €15p_B = €40, v_B = €25A : B = 2 : 1F = €9 300

Q = 件

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 1491 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = r/m = 0.04/12 = 0.003333

N = m·n = 12·10 = 120

终值

FV = 1 000·(1 + 0.003333)¹²⁰ = 1 000·1.491 = €1 490.83

答案

FV = €1 490.83

2.货币的时间价值

答案: A = 966.5 €

月利率和还款期数

i = 0.06/12 = 0.005

N = 12·25 = 300

每期还款

N 笔等额付款 A 的现值为 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i。令其等于贷款额，解出 A。

(1 + i)^−N = 0.224

A = 150 000·0.005/(1 − 0.224) = €966.45

答案

A = €966.45

3.NPV 与 IRR

答案: EAC = 10872 €

等值年成本：把所有成本的现值在寿命期内分摊为每年相等的金额（一份年金）：EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ)。它可以用来比较寿命不同的机器。

年金系数

(1 − 1.1⁻⁸)/0.1 = 5.335

年化购置价格

50 000/5.335 = 9 372.20

EAC

EAC = 9 372.20 + 1 500 = €10 872.20

答案

EAC = €10 872.20

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 12.79 %

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(10%) = 1 446.28

NPV(15%) = −1 077.50

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 10 + 5·1 446.28/(1 446.28 − (−1 077.50)) = 12.87%

精确: NPV(12.79%) = 0 → IRR = 12.79%

答案

IRR = 12.79%

5.债券定价与收益率

答案: ΔP = 39.53 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

按原收益率计算的价格

C = €60.00, i = 0.055, N = 10

€60.00·(1 − 0.5854)/0.055 + €1 000·0.5854 = €452.26 + €585.43 = €1 037.69

按新收益率计算的价格

C = €60.00, i = 0.05, N = 10

€60.00·(1 − 0.6139)/0.05 + €1 000·0.6139 = €463.30 + €613.91 = €1 077.22

变化

ΔP = 1 077.22 − 1 037.69 = €39.53

答案

ΔP = €39.53

6.债券定价与收益率

答案: D = 4.557 年

久期：麦考利久期是债券支付各笔现金流的加权平均时间，以各笔现金流的现值为权重：D = Σ t·PVₜ/P。修正久期 D/(1 + y) 用于估计收益率小幅变化时价格变化的百分比：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

各笔现金流的现值

t = 1: 50/1.04 = 48.08, t·PV = 48.08

t = 2: 50/1.082 = 46.23, t·PV = 92.46

t = 3: 50/1.125 = 44.45, t·PV = 133.35

t = 4: 50/1.17 = 42.74, t·PV = 170.96

t = 5: 1050/1.217 = 863.02, t·PV = 4 315.12

久期

P = 1 044.52

D = 4 759.96/1 044.52 = 4.557

答案

D = 4.557 年

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 6 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €9 000 000, E/V = 0.3333, D/V = 0.6667

WACC

WACC = 0.3333·10% + 0.6667·5%·(1 − 0.2) = 6%

答案

WACC = 6%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 12.46 %

市场价值

E = 2 000 000·€58.00 = €116 000 000

D = 20 000·€1 000 = €20 000 000

股权成本（CAPM）

r_e = 2.5% + 1.8·6.5% = 14.2%

权重

V = €136 000 000, E/V = 0.8529, D/V = 0.1471

WACC

WACC = 0.8529·14.2% + 0.1471·3%·(1 − 0.2) = 12.46%

答案

WACC = 12.46%

9.盈亏平衡分析

答案: Q = 3250 件

本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。

所需的税前利润

12 000/(1 − 0.2) = €15 000

所需销量

Q = (24 000 + 15 000)/12 = 3 250

答案

Q = 3 250 件

10.盈亏平衡分析

答案: Q = 900 件

有销售组合时的盈亏平衡：当产品按固定比例销售时，使用加权平均边际贡献：把每种产品的 p − v 按其件数所占份额加权。盈亏平衡件数 = F/（加权边际贡献），再按组合比例分配。

边际贡献

cm_A = €8, cm_B = €15

加权边际贡献

(2·8 + 1·15)/3 = €10.33

盈亏平衡件数

Q = 9 300/10.33 = 900

A: 600, B: 300

答案

Q = 900 件

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