货币的时间价值
- 终值
- FV = PV·(1 + i)n
- 现值
- PV = FV/(1 + i)n
- 每年多个计息期
- i = r/m, N = m·n
- 年金现值
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金终值
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
方法
- 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
- 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
- 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
- 检查答案的符号和数量级。
公司金融：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
NPV 与 IRR
- 净现值
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 等额现金流
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部收益率
- 使 NPV = 0 的 r
- 决策
- NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受
方法
- 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
- 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
- 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
- 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。
债券定价与收益率
- 债券价格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年付息
- C/2、y/2 和 2n 期
- 当期收益率
- C/P
- 价格与收益率
- 收益率上升 → 价格下降
方法
- 求每期票息和每期收益率。
- 价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
- 半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
- 检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。
CAPM 与 WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企业价值
- V = E + D
盈亏平衡分析
- 边际贡献
- CM = p − v
- 盈亏平衡销量
- QBE = FC/(p − v)
- 目标利润
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利润
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全边际
- (Q − QBE)/Q
2练习题
1.货币的时间价值中等
你以名义年利率 6% 投资 €5 000，按月复利。求 3 年后的投资价值 FV。
PV = €5 0006% / 12n = 3
FV = €
2.货币的时间价值困难
你以每年 4.8% 的利率借入 €12 000，按月复利，每月月末偿还 €375。需要多少个月才能还清贷款（最后一笔还款可以较少）？给出还款次数 N。
P = €12 000A = €3754.8% / 12
N = 次还款
3.NPV 与 IRR中等
一项 €20 000 的投资在第 1 年至第 3 年年末带来以下现金流：€7 000, €6 000, €5 000。资本成本为 8%。求净现值 NPV。
r = 8%CF0 = −20 000CF1 = 7 000CF2 = 6 000CF3 = 5 000
NPV = €
4.NPV 与 IRR困难
某项目投入 €25 000，在第 1 年至第 2 年年末每年回收 €15 500, €12 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。
CF0 = −25 000CF1 = 15 500CF2 = 12 500
IRR = %
5.债券定价与收益率中等
一只面值为 €1 000 的债券每年支付 3% 的票息，13 年后到期。其到期收益率从 8% 变为 6.5%。债券价格变化多少 ΔP？
F = €1 000票面利率 = 3%n = 13y1 = 8%y2 = 6.5%
ΔP = €
6.债券定价与收益率困难
一张面值为 €1 000、年票面利率为 3% 的债券 9 年后到期，售价为 €860。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。
F = €1 000票面利率 = 3%n = 9P = €860
YTM = %
7.CAPM 与 WACC中等
一家公司的负债权益比（按市场价值）为 0.5。其股权资本成本为 13%，税前债务成本为 4%，税率为 21%。求 WACC。
D/E = 0.5re = 13%rd = 4%T = 21%
WACC = %
8.CAPM 与 WACC困难
某公司有5 000 000 股、每股 €36.00 的股票，以及 10 000 张、每张市价 €1 020 的债券。税前债务成本为 3%，税率为 28%。股票的 β 系数为 0.8，无风险利率为 2%，市场回报率为 7%。求 WACC。
β = 0.8rf = 2%rm = 7%rd = 3%T = 28%
WACC = %
9.盈亏平衡分析中等
某产品售价每件 €38，单位变动成本 €18。每月固定成本为 €20 000。每月需卖出多少件 Q 才能实现利润 €6 000？
F = €20 000p = €38v = €18利润 = €6 000
Q = 件
10.盈亏平衡分析困难
某产品售价每件 €29，单位变动成本 €25，每年固定成本 €4 800。预算销量为 1 500 件。求安全边际 MS，以占预算销量的百分比表示。
F = €4 800p = €29v = €25预算 = 1 500
MS = %
3溶液
1.货币的时间价值
答案: FV = 5983 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
利率和期数
i = r/m = 0.06/12 = 0.005
N = m·n = 12·3 = 36
终值
FV = 5 000·(1 + 0.005)36 = 5 000·1.197 = €5 983.40
答案
FV = €5 983.40
2.货币的时间价值
答案: N = 35 次还款
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
将年金公式变形
i = 0.004
(1 + i)−N = 1 − 12 000·0.004/375 = 0.872
用对数求解
N = −ln(0.872)/ln(1.004) = 34.31
向上取整到整次还款
34 次全额还款后还剩少量余额，由最后一笔较少的还款还清。
N = 35
答案
N = 35 次还款
3.NPV 与 IRR
答案: NPV = −4405 €
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
各笔现金流的现值
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0.08)1 = 7 000/1.08 = 6 481.48
CF2/(1 + 0.08)2 = 6 000/1.166 = 5 144.03
CF3/(1 + 0.08)3 = 5 000/1.26 = 3 969.16
相加
NPV = €−4 405.32
答案
NPV = €−4 405.32
NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。
4.NPV 与 IRR
答案: IRR = 8.208 %
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
夹逼 IRR
利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。
NPV(5%) = 1 099.77
NPV(10%) = −578.51
缩小范围
线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。
IRR ≈ 5 + 5·1 099.77/(1 099.77 − (−578.51)) = 8.276%
精确: NPV(8.208%) = 0 → IRR = 8.208%
答案
IRR = 8.208%
5.债券定价与收益率
答案: ΔP = 94.2 €
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
按原收益率计算的价格
C = €30.00, i = 0.08, N = 13
€30.00·(1 − 0.3677)/0.08 + €1 000·0.3677 = €237.11 + €367.70 = €604.81
按新收益率计算的价格
C = €30.00, i = 0.065, N = 13
€30.00·(1 − 0.441)/0.065 + €1 000·0.441 = €257.99 + €441.02 = €699.01
变化
ΔP = 699.01 − 604.81 = €94.20
答案
ΔP = €94.20
6.债券定价与收益率
答案: YTM = 4.967 %
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
收益率方程
€860 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹
数值求解
P(4%) = €925.65, P(5%) = €857.84
YTM = 4.967%
答案
YTM = 4.967%
7.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 9.72 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
由 D/E 求权重
E/V = 1/(1 + 0.5) = 0.6667
D/V = 0.5/(1 + 0.5) = 0.3333
WACC
WACC = 0.6667·13% + 0.3333·4%·(1 − 0.21) = 9.72%
答案
WACC = 9.72%
8.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 5.794 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
市场价值
E = 5 000 000·€36.00 = €180 000 000
D = 10 000·€1 020 = €10 200 000
股权成本（CAPM）
re = 2% + 0.8·5% = 6%
权重
V = €190 200 000, E/V = 0.9464, D/V = 0.05363
WACC
WACC = 0.9464·6% + 0.05363·3%·(1 − 0.28) = 5.794%
答案
WACC = 5.794%
9.盈亏平衡分析
答案: Q = 1300 件
本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。
单位边际贡献
p − v = 38 − 18 = €20
实现目标利润的销量
Q = (F + 利润)/(p − v) = (20 000 + 6 000)/20 = 1 300
答案
Q = 1 300 件
10.盈亏平衡分析
答案: MS = 20 %
本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。
盈亏平衡销量
Q = F/(p − v) = 4 800/4 = 1 200
安全边际
MS = (1 500 − 1 200)/1 500·100 = 20%
答案
MS = 20%
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