货币的时间价值
- 终值
- FV = PV·(1 + i)n
- 现值
- PV = FV/(1 + i)n
- 每年多个计息期
- i = r/m, N = m·n
- 年金现值
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金终值
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
方法
- 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
- 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
- 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
- 检查答案的符号和数量级。
公司金融：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
NPV 与 IRR
- 净现值
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 等额现金流
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部收益率
- 使 NPV = 0 的 r
- 决策
- NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受
方法
- 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
- 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
- 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
- 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。
债券定价与收益率
- 债券价格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年付息
- C/2、y/2 和 2n 期
- 当期收益率
- C/P
- 价格与收益率
- 收益率上升 → 价格下降
方法
- 求每期票息和每期收益率。
- 价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
- 半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
- 检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。
CAPM 与 WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企业价值
- V = E + D
盈亏平衡分析
- 边际贡献
- CM = p − v
- 盈亏平衡销量
- QBE = FC/(p − v)
- 目标利润
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利润
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全边际
- (Q − QBE)/Q
2练习题
1.货币的时间价值中等
你以每年 4% 的利率连续复利投资 €2 000。求 8 年后的价值 FV。
PV = €2 000r = 4%t = 8
FV = €
2.货币的时间价值困难
一笔 €200 000 的贷款在 20 年内以等额月供偿还。年利率 6%，按月复利。求月供 A。
P = €200 0006% / 12N = 240
A = €
3.NPV 与 IRR中等
一台机器今天花费 €60 000，使用 5 年，每年运行费用为 €1 500（每年年末支付）。资本成本为 5%。求其等值年成本 EAC。
C0 = €60 000M = €1 500n = 5r = 5%
EAC = €
4.NPV 与 IRR困难
某项目投入 €50 000，在第 1 年至第 2 年年末每年回收 €32 500, €33 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。
CF0 = −50 000CF1 = 32 500CF2 = 33 000
IRR = %
5.债券定价与收益率中等
一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 6%，每半年付息一次，4 年后到期。到期收益率为每年 5%。 求该债券的价格 P。
F = €1 000票面利率 = 6%YTM = 5%n = 4
P = €
6.债券定价与收益率困难
一张面值为 €1 000、年票面利率为 6% 的债券 9 年后到期，售价为 €1 150。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。
F = €1 000票面利率 = 6%n = 9P = €1 150
YTM = %
7.CAPM 与 WACC中等
一家公司的融资由价值 €5 000 000 的普通股、价值 €1 500 000 的优先股和价值 €6 000 000 的债务构成。股权资本成本为 11%，优先股成本为 7.5%，税前债务成本为 4.5%。税率为 25%。求 WACC。
E = €5 000 000Ps = €1 500 000D = €6 000 000re = 11%rp = 7.5%rd = 4.5%T = 25%
WACC = %
8.CAPM 与 WACC困难
某公司有2 500 000 股、每股 €9.50 的股票，以及 5 000 张、每张市价 €980 的债券。税前债务成本为 4%，税率为 28%。股票的 β 系数为 1.2，无风险利率为 3.5%，市场回报率为 9.5%。求 WACC。
β = 1.2rf = 3.5%rm = 9.5%rd = 4%T = 28%
WACC = %
9.盈亏平衡分析中等
一种产品可以用两种方法生产。方法 A 每年固定成本为 €15 000，单位变动成本为 €15。自动化程度更高的方法 B 每年固定成本为 €19 000，单位变动成本为 €10。年产量 Q 为多少时两种方法成本相同？
FA = €15 000vA = €15FB = €19 000vB = €10
Q = 件
10.盈亏平衡分析困难
一家公司每月以每件 €14 销售 6 000 件，单位变动成本为 €12，固定成本为每月 €8 000。单位变动成本上涨 €1，价格保持不变。现在每月必须销售多少件 Q 才能保持相同的利润？
Q = 6 000p = €14v = €12 → €13F = €8 000
Q = 件
3溶液
1.货币的时间价值
答案: FV = 2754 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
指数
r·t = 0.04·8 = 0.32
e0.32 = 1.377
终值
FV = 2 000·1.377 = €2 754.26
答案
FV = €2 754.26
2.货币的时间价值
答案: A = 1433 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
月利率和还款期数
i = 0.06/12 = 0.005
N = 12·20 = 240
每期还款
N 笔等额付款 A 的现值为 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i。令其等于贷款额，解出 A。
(1 + i)−N = 0.3021
A = 200 000·0.005/(1 − 0.3021) = €1 432.86
答案
A = €1 432.86
3.NPV 与 IRR
答案: EAC = 15358 €
等值年成本：把所有成本的现值在寿命期内分摊为每年相等的金额（一份年金）：EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ)。它可以用来比较寿命不同的机器。
年金系数
(1 − 1.05−5)/0.05 = 4.329
年化购置价格
60 000/4.329 = 13 858.49
EAC
EAC = 13 858.49 + 1 500 = €15 358.49
答案
EAC = €15 358.49
4.NPV 与 IRR
答案: IRR = 20 %
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
夹逼 IRR
利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。
NPV(20%) = 0.00
NPV(25%) = −2 880.00
缩小范围
线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。
IRR ≈ 20 + 5·0.00/(0.00 − (−2 880.00)) = 20%
精确: NPV(20%) = 0 → IRR = 20%
答案
IRR = 20%
5.债券定价与收益率
答案: P = 1036 €
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
每期
C = €30.00, i = 0.025, N = 8
票息的现值
€30.00·(1 − 0.8207)/0.025 = €215.10
面值的现值
€1 000·0.8207 = €820.75
价格
P = €1 035.85
答案
P = €1 035.85
收益率低于票面利率，所以债券溢价出售。
6.债券定价与收益率
答案: YTM = 3.984 %
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
收益率方程
€1 150 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹
数值求解
P(3%) = €1 233.58, P(4%) = €1 148.71
YTM = 3.984%
答案
YTM = 3.984%
7.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 6.92 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
权重
V = 5 000 000 + 1 500 000 + 6 000 000 = €12 500 000
E/V = 0.4, Ps/V = 0.12, D/V = 0.48
WACC
WACC = 0.4·11% + 0.12·7.5% + 0.48·4.5%·(1 − 0.25) = 6.92%
答案
WACC = 6.92%
8.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 9.363 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
市场价值
E = 2 500 000·€9.50 = €23 750 000
D = 5 000·€980 = €4 900 000
股权成本（CAPM）
re = 3.5% + 1.2·6% = 10.7%
权重
V = €28 650 000, E/V = 0.829, D/V = 0.171
WACC
WACC = 0.829·10.7% + 0.171·4%·(1 − 0.28) = 9.363%
答案
WACC = 9.363%
9.盈亏平衡分析
答案: Q = 800 件
本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。
总成本相等
15 000 + 15Q = 19 000 + 10Q
求 Q
Q = (19 000 − 15 000)/(15 − 10) = 800
答案
Q = 800 件
产量低于此值时方法 A 更便宜；高于此值时自动化的方法 B 更便宜。
10.盈亏平衡分析
答案: Q = 12000 件
本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。
当前利润
Π = 6 000·(14 − 12) − 8 000 = €4 000
新的单位边际贡献
14 − 13 = €1
保持相同利润所需的件数
Q = (8 000 + 4 000)/1 = 12 000
答案
Q = 12 000 件
ExamProblems · examproblems.com/courses/corporate-finance