公司金融：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

盈亏平衡分析

边际贡献: CM = p − v
盈亏平衡销量: Q_BE = FC/(p − v)
目标利润: Q = (FC + profit)/(p − v)
利润: π = (p − v)·Q − FC
安全边际: (Q − Q_BE)/Q

2练习题

1.货币的时间价值中等

一处房产预计明年获得 €5 000 的净租金。租金预计每年永久增长 2%。要求回报率为每年 7%。求该房产今天的价值 PV。

C₁ = €5 000g = 2%r = 7%

PV = €

2.货币的时间价值困难

你希望在 15 年后得到 €25 000。你在每月月末把相同的金额存入一个年利率 7.2%、按月复利的账户。求每月存款额 A。

FV = €25 0007.2% / 12N = 180

A = €

3.NPV 与 IRR中等

一项 €45 000 的投资在第 1 年至第 3 年年末带来以下现金流：€17 000, €15 000, €14 000。资本成本为 10%。求净现值 NPV。

r = 10%CF₀ = −45 000CF₁ = 17 000CF₂ = 15 000CF₃ = 14 000

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

项目 A 需投入 €10 000，在第 1 年到第 3 年的每年年末回报 €6 000, €4 000, €2 500。项目 B 需投入 €12 000，回报为 €4 000, €5 000, €6 000。求两个项目 NPV 相同时的交叉利率 r*，以百分比表示。

A: −10 000, 6 000, 4 000, 2 500B: −12 000, 4 000, 5 000, 6 000

r* = %

5.债券定价与收益率中等

你在一只剩余期限为 7 年的债券（面值 €1 000，年票息 3%）到期收益率为 5% 时买入。一年后，刚收到第一笔票息，你在到期收益率为 5.5% 时把它卖出。求你的持有期收益率 HPR，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 3%n = 7y₀ = 5%y₁ = 5.5%

HPR = %

6.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 8% 的债券 8 年后到期，售价为 €1 090。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 8%n = 8P = €1 090

YTM = %

7.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €10 000 000 的股权和价值 €1 000 000 的债务。其股权成本为 12%，税前债务成本为 4%，税率为 30%。求 WACC。

E = €10 000 000D = €1 000 000r_e = 12%r_d = 4%T = 30%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

一家公司业务的无杠杆（资产）贝塔为 0.6。它计划采用 1 的负债权益比。税率为 21%，无风险利率为 2.5%，市场风险溢价为 5%。求新资本结构下的股权资本成本 r_e。

β_U = 0.6D/E = 1T = 21%r_f = 2.5%r_m − r_f = 5%

r_e = %

9.盈亏平衡分析中等

一种产品可以用两种方法生产。方法 A 每年固定成本为 €15 000，单位变动成本为 €20。自动化程度更高的方法 B 每年固定成本为 €22 500，单位变动成本为 €17。年产量 Q 为多少时两种方法成本相同？

F_A = €15 000v_A = €20F_B = €22 500v_B = €17

Q = 件

10.盈亏平衡分析困难

某产品售价每件 €24，单位变动成本 €20，每年固定成本 €4 800。预算销量为 1 800 件。求安全边际 MS，以占预算销量的百分比表示。

F = €4 800p = €24v = €20预算 = 1 800

MS = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 100000 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

增长型永续年金

PV = C₁/(r − g) = 5 000/(0.07 − 0.02) = 5 000/0.05 = €100 000.00

答案

PV = €100 000.00

2.货币的时间价值

答案: A = 77.51 €

月利率和存款次数

i = 0.07200000000000001/12 = 0.006

N = 12·15 = 180

存款额

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 25 000·0.006/(2.935 − 1) = €77.51

答案

A = €77.51

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = −6630 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0.1)¹ = 17 000/1.1 = 15 454.55

CF₂/(1 + 0.1)² = 15 000/1.21 = 12 396.69

CF₃/(1 + 0.1)³ = 14 000/1.331 = 10 518.41

相加

NPV = €−6 630.35

答案

NPV = €−6 630.35

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: r* = 5.302 %

交叉利率：两个项目 NPV 相同时的折现率。它是两者现金流之差 (B − A) 的 IRR。低于该利率时，现金流较晚、较大的项目 NPV 较高；高于该利率时，另一个项目胜出。

现金流之差

ΔCF₀ = −12 000 − (−10 000) = −2 000

ΔCF₁ = 4 000 − 6 000 = −2 000

ΔCF₂ = 5 000 − 4 000 = 1 000

ΔCF₃ = 6 000 − 2 500 = 3 500

差额的 IRR

NPV_Δ(5%) = 25.70

NPV_Δ(6%) = −58.13

r* = 5.302%

答案

r* = 5.302%

校核：在 5.302% 时两个 NPV 都是 €1 446.24。

5.债券定价与收益率

答案: HPR = 2.357 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

买入价

C = €30.00, i = 0.05, N = 7

€30.00·(1 − 0.7107)/0.05 + €1 000·0.7107 = €173.59 + €710.68 = €884.27

卖出价

C = €30.00, i = 0.055, N = 6

€30.00·(1 − 0.7252)/0.055 + €1 000·0.7252 = €149.87 + €725.25 = €875.11

持有期收益率

HPR = (30 + 875.11 − 884.27)/884.27 = 2.357%

答案

HPR = 2.357%

6.债券定价与收益率

答案: YTM = 6.521 %

收益率方程

€1 090 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸

数值求解

P(6%) = €1 124.20, P(7%) = €1 059.71

YTM = 6.521%

答案

YTM = 6.521%

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 11.16 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €11 000 000, E/V = 0.9091, D/V = 0.09091

WACC

WACC = 0.9091·12% + 0.09091·4%·(1 − 0.3) = 11.16%

答案

WACC = 11.16%

8.CAPM 与 WACC

答案: r_e = 7.87 %

有杠杆贝塔（哈马达公式）：负债使股权风险增大。β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E)，其中 β_U 是无负债时业务的贝塔。要把贝塔转换到另一种资本结构，先去杠杆，再按新的 D/E 加杠杆。

有杠杆贝塔

β_L = 0.6·(1 + 0.79·1) = 1.074

股权成本（CAPM）

r_e = 2.5% + 1.074·5% = 7.87%

答案

r_e = 7.87%

9.盈亏平衡分析

答案: Q = 2500 件

本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。

总成本相等

15 000 + 20Q = 22 500 + 17Q

求 Q

Q = (22 500 − 15 000)/(20 − 17) = 2 500

答案

Q = 2 500 件

产量低于此值时方法 A 更便宜；高于此值时自动化的方法 B 更便宜。

10.盈亏平衡分析

答案: MS = 33.33 %

盈亏平衡销量

Q = F/(p − v) = 4 800/4 = 1 200

安全边际

MS = (1 800 − 1 200)/1 800·100 = 33.33%

答案

MS = 33.33%

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