公司金融：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值
FV = PV·(1 + i)n
现值
PV = FV/(1 + i)n
每年多个计息期
i = r/m, N = m·n
年金现值
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
年金终值
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i

方法

  1. 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
  2. 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
  3. 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
  4. 检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
等额现金流
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
内部收益率
使 NPV = 0 的 r
决策
NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

  1. 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
  2. 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
  3. 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
  4. 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
半年付息
C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率
C/P
价格与收益率
收益率上升 → 价格下降

方法

  1. 求每期票息和每期收益率。
  2. 价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
  3. 半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
  4. 检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
企业价值
V = E + D

盈亏平衡分析

边际贡献
CM = p − v
盈亏平衡销量
QBE = FC/(p − v)
目标利润
Q = (FC + profit)/(p − v)
利润
π = (p − v)·Q − FC
安全边际
(Q − QBE)/Q

2练习题

1.货币的时间价值中等
年0123…9PV = ?€20 000+2.5%+2.5%…r = 7.5%

一处房产预计明年获得 €20 000 的净租金。租金预计每年永久增长 2.5%。要求回报率为每年 7.5%。求该房产今天的价值 PV。

C1 = €20 000g = 2.5%r = 7.5%
PV = €
2.货币的时间价值困难
月0123…36€20 000A?AAA

一笔 €20 000 的贷款在 3 年内以等额月供偿还。年利率 4.2%，按月复利。求月供 A。

P = €20 0004.2% / 12N = 36
A = €
3.NPV 与 IRR中等
年01234−20 0008 0006 00010 0008 000

一项 €20 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€8 000, €6 000, €10 000, €8 000。资本成本为 12%。求净现值 NPV。

r = 12%CF0 = −20 000CF1 = 8 000CF2 = 6 000CF3 = 10 000CF4 = 8 000
NPV = €
4.NPV 与 IRR困难
年0123456−200 00040 000+5%+5%+5%+5%+5%r = 10%, NPV = ?

一个项目今天需投入 €200 000。其现金流在第 1 年年末为 €40 000，之后每年增长 5%，直到第 6 年年末的最后一笔现金流。资本成本为 10%。求净现值 NPV。

C0 = €200 000CF1 = €40 000g = 5%n = 6r = 10%
NPV = €
5.债券定价与收益率中等

你在一只剩余期限为 4 年的债券（面值 €1 000，年票息 6%）到期收益率为 3.5% 时买入。一年后，刚收到第一笔票息，你在到期收益率为 5% 时把它卖出。求你的持有期收益率 HPR，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 6%n = 4y0 = 3.5%y1 = 5%
HPR = %
6.债券定价与收益率困难
年0123456€1 105€60€60 + €1 000

一张面值为 €1 000、年票面利率为 6% 的债券 6 年后到期，售价为 €1 105。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 6%n = 6P = €1 105
YTM = %
7.CAPM 与 WACC中等
WACC = ?所有者权益€10 000 000re​ = 9%债务€4 000 000rd​ = 7%T = 25%

某公司有价值 €10 000 000 的股权和价值 €4 000 000 的债务。其股权成本为 9%，税前债务成本为 7%，税率为 25%。求 WACC。

E = €10 000 000D = €4 000 000re = 9%rd = 7%T = 25%
WACC = %
8.CAPM 与 WACC困难
WACC = ?所有者权益4 000 000 × €38.50β = 1.3rf​ = 1.5%, rm​ = 8.5%债务5 000 × €980rd​ = 7%T = 25.8%

某公司有4 000 000 股、每股 €38.50 的股票，以及 5 000 张、每张市价 €980 的债券。税前债务成本为 7%，税率为 25.8%。股票的 β 系数为 1.3，无风险利率为 1.5%，市场回报率为 8.5%。求 WACC。

β = 1.3rf = 1.5%rm = 8.5%rd = 7%T = 25.8%
WACC = %
9.盈亏平衡分析中等
Q€收入总成本固定成本Q = ?

某产品售价每件 €35，单位变动成本 €25。每月固定成本为 €12 000。每月需卖出多少件 Q 才能实现利润 €10 000？

F = €12 000p = €35v = €25利润 = €10 000
Q = 件
10.盈亏平衡分析困难
Q€收入总成本固定成本BE

某产品售价每件 €17，单位变动成本 €12，每年固定成本 €6 000。预算销量为 1 560 件。求安全边际 MS，以占预算销量的百分比表示。

F = €6 000p = €17v = €12预算 = 1 560
MS = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 400000 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

增长型永续年金

PV = C1/(r − g) = 20 000/(0.075 − 0.025) = 20 000/0.05 = €400 000.00

答案

PV = €400 000.00
2.货币的时间价值

答案: A = 592.3 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

月利率和还款期数

i = 0.042/12 = 0.0035
N = 12·3 = 36

每期还款

N 笔等额付款 A 的现值为 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i。令其等于贷款额，解出 A。

(1 + i)−N = 0.8818
A = 20 000·0.0035/(1 − 0.8818) = €592.26

答案

A = €592.26
3.NPV 与 IRR

答案: NPV = 4128 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0.12)1 = 8 000/1.12 = 7 142.86
CF2/(1 + 0.12)2 = 6 000/1.254 = 4 783.16
CF3/(1 + 0.12)3 = 10 000/1.405 = 7 117.80
CF4/(1 + 0.12)4 = 8 000/1.574 = 5 084.14

相加

NPV = €4 127.97

答案

NPV = €4 127.97

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: NPV = −5159 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

增长型年金的现值

((1.05)/(1.1))6 = 0.7564
PV = 40 000/(0.1 − 0.05)·(1 − 0.7564) = 194 840.76

NPV

NPV = 194 840.76 − 200 000 = −€5 159.24

答案

NPV = −€5 159.24

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

5.债券定价与收益率

答案: HPR = −0.4208 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

买入价

C = €60.00, i = 0.035, N = 4
€60.00·(1 − 0.8714)/0.035 + €1 000·0.8714 = €220.38 + €871.44 = €1 091.83

卖出价

C = €60.00, i = 0.05, N = 3
€60.00·(1 − 0.8638)/0.05 + €1 000·0.8638 = €163.39 + €863.84 = €1 027.23

持有期收益率

HPR = (60 + 1 027.23 − 1 091.83)/1 091.83 = −0.4208%

答案

HPR = −0.4208%
6.债券定价与收益率

答案: YTM = 3.997 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

收益率方程

€1 105 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶

数值求解

P(3%) = €1 162.52, P(4%) = €1 104.84
YTM = 3.997%

答案

YTM = 3.997%
7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 7.929 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €14 000 000, E/V = 0.7143, D/V = 0.2857

WACC

WACC = 0.7143·9% + 0.2857·7%·(1 − 0.25) = 7.929%

答案

WACC = 7.929%
8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 10.43 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

市场价值

E = 4 000 000·€38.50 = €154 000 000
D = 5 000·€980 = €4 900 000

股权成本（CAPM）

re = 1.5% + 1.3·7% = 10.6%

权重

V = €158 900 000, E/V = 0.9692, D/V = 0.03084

WACC

WACC = 0.9692·10.6% + 0.03084·7%·(1 − 0.258) = 10.43%

答案

WACC = 10.43%
9.盈亏平衡分析

答案: Q = 2200 件

本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。

单位边际贡献

p − v = 35 − 25 = €10

实现目标利润的销量

Q = (F + 利润)/(p − v) = (12 000 + 10 000)/10 = 2 200

答案

Q = 2 200 件
10.盈亏平衡分析

答案: MS = 23.08 %

本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。

盈亏平衡销量

Q = F/(p − v) = 6 000/5 = 1 200

安全边际

MS = (1 560 − 1 200)/1 560·100 = 23.08%

答案

MS = 23.08%

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