货币的时间价值
- 终值
- FV = PV·(1 + i)n
- 现值
- PV = FV/(1 + i)n
- 每年多个计息期
- i = r/m, N = m·n
- 年金现值
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金终值
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
方法
- 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
- 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
- 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
- 检查答案的符号和数量级。
公司金融：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
NPV 与 IRR
- 净现值
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 等额现金流
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部收益率
- 使 NPV = 0 的 r
- 决策
- NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受
方法
- 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
- 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
- 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
- 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。
债券定价与收益率
- 债券价格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年付息
- C/2、y/2 和 2n 期
- 当期收益率
- C/P
- 价格与收益率
- 收益率上升 → 价格下降
方法
- 求每期票息和每期收益率。
- 价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
- 半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
- 检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。
CAPM 与 WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企业价值
- V = E + D
盈亏平衡分析
- 边际贡献
- CM = p − v
- 盈亏平衡销量
- QBE = FC/(p − v)
- 目标利润
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利润
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全边际
- (Q − QBE)/Q
2练习题
1.货币的时间价值中等
一份年金在每年年末支付 €500，共 13 年。年利率为 4%。求该年金的现值 PV。
A = €500i = 4%n = 13
PV = €
2.货币的时间价值困难
一笔 €8 000 的贷款在 3 年内以等额月供偿还。年利率 2.4%，按月复利。求月供 A。
P = €8 0002.4% / 12N = 36
A = €
3.NPV 与 IRR中等
一项 €75 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€27 000, €29 000, €25 000, €32 000。资本成本为 10%。求净现值 NPV。
r = 10%CF0 = −75 000CF1 = 27 000CF2 = 29 000CF3 = 25 000CF4 = 32 000
NPV = €
4.NPV 与 IRR困难
一个项目今天需投入 €80 000。其现金流在第 1 年年末为 €24 000，之后每年增长 2%，直到第 4 年年末的最后一笔现金流。资本成本为 12%。求净现值 NPV。
C0 = €80 000CF1 = €24 000g = 2%n = 4r = 12%
NPV = €
5.债券定价与收益率中等
一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 8%，每半年付息一次，5 年后到期。到期收益率为每年 9%。 求该债券的价格 P。
F = €1 000票面利率 = 8%YTM = 9%n = 5
P = €
6.债券定价与收益率困难
一张面值为 €1 000、年票面利率为 7% 的债券 6 年后到期，售价为 €955。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。
F = €1 000票面利率 = 7%n = 6P = €955
YTM = %
7.CAPM 与 WACC中等
一只贝塔为 0.9 的股票要求回报为 5.95%。无风险利率为 1%。CAPM 隐含的预期市场回报 rm 是多少？
β = 0.9re = 5.95%rf = 1%
rm = %
8.CAPM 与 WACC困难
一家公司有 1 000 000 股股票，股价为 €51.50；其股权账面价值为 €25 800 000。公司刚支付了每股 €2.30 的股利，股利每年增长 2%。其债务市场价值为 €25 800 000，税前成本为 3%。税率为 25.8%。用股利增长模型计算股权资本成本，求 WACC。
N = 1 000 000P0 = €51.50股权账面价值 = €25 800 000D0 = €2.30g = 2%D = €25 800 000rd = 3%T = 25.8%
WACC = %
9.盈亏平衡分析中等
一种产品售价 €17，单位变动成本为 €15。固定成本为每月 €4 000，利润按 20% 征税。每月必须售出多少件 Q 才能获得税后 €1 000？
p = €17v = €15F = €4 000T = 20%税后利润 = €1 000
Q = 件
10.盈亏平衡分析困难
一家公司每月以每件 €28 销售 1 250 件，单位变动成本为 €20，固定成本为每月 €4 000。单位变动成本上涨 €4，价格保持不变。现在每月必须销售多少件 Q 才能保持相同的利润？
Q = 1 250p = €28v = €20 → €24F = €4 000
Q = 件
3溶液
1.货币的时间价值
答案: PV = 4993 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
年金系数
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0.6006)/0.04 = 9.986
现值
PV = 500·9.986 = €4 992.82
答案
PV = €4 992.82
2.货币的时间价值
答案: A = 230.5 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
月利率和还款期数
i = 0.024/12 = 0.002
N = 12·3 = 36
每期还款
N 笔等额付款 A 的现值为 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i。令其等于贷款额，解出 A。
(1 + i)−N = 0.9306
A = 8 000·0.002/(1 − 0.9306) = €230.54
答案
A = €230.54
3.NPV 与 IRR
答案: NPV = 14152 €
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
各笔现金流的现值
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0.1)1 = 27 000/1.1 = 24 545.45
CF2/(1 + 0.1)2 = 29 000/1.21 = 23 966.94
CF3/(1 + 0.1)3 = 25 000/1.331 = 18 782.87
CF4/(1 + 0.1)4 = 32 000/1.464 = 21 856.43
相加
NPV = €14 151.70
答案
NPV = €14 151.70
NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。
4.NPV 与 IRR
答案: NPV = −5097 €
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
增长型年金的现值
((1.02)/(1.12))4 = 0.6879
PV = 24 000/(0.12 − 0.02)·(1 − 0.6879) = 74 902.75
NPV
NPV = 74 902.75 − 80 000 = −€5 097.25
答案
NPV = −€5 097.25
NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。
5.债券定价与收益率
答案: P = 960.4 €
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
每期
C = €40.00, i = 0.045, N = 10
票息的现值
€40.00·(1 − 0.6439)/0.045 = €316.51
面值的现值
€1 000·0.6439 = €643.93
价格
P = €960.44
答案
P = €960.44
收益率高于票面利率，所以债券折价出售。
6.债券定价与收益率
答案: YTM = 7.973 %
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
收益率方程
€955 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶
数值求解
P(7%) = €1 000.00, P(8%) = €953.77
YTM = 7.973%
答案
YTM = 7.973%
7.CAPM 与 WACC
答案: rm = 6.5 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
市场风险溢价
rm − rf = (5.95% − 1%)/0.9 = 5.5%
市场回报
rm = 1% + 5.5% = 6.5%
答案
rm = 6.5%
8.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 5.11 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
股权成本
D1 = 2.3·1.02 = €2.35
re = 2.346/51.5 + 0.02 = 6.555%
市场价值
E = 1 000 000·€51.50 = €51 500 000
V = €77 300 000, E/V = 0.6662, D/V = 0.3338
WACC
WACC = 0.6662·6.555% + 0.3338·3%·(1 − 0.258) = 5.11%
答案
WACC = 5.11%
9.盈亏平衡分析
答案: Q = 2625 件
本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。
所需的税前利润
1 000/(1 − 0.2) = €1 250
所需销量
Q = (4 000 + 1 250)/2 = 2 625
答案
Q = 2 625 件
10.盈亏平衡分析
答案: Q = 2500 件
本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。
当前利润
Π = 1 250·(28 − 20) − 4 000 = €6 000
新的单位边际贡献
28 − 24 = €4
保持相同利润所需的件数
Q = (4 000 + 6 000)/4 = 2 500
答案
Q = 2 500 件
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