货币的时间价值
- 终值
- FV = PV·(1 + i)n
- 现值
- PV = FV/(1 + i)n
- 每年多个计息期
- i = r/m, N = m·n
- 年金现值
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金终值
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
方法
- 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
- 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
- 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
- 检查答案的符号和数量级。
公司金融：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
NPV 与 IRR
- 净现值
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 等额现金流
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部收益率
- 使 NPV = 0 的 r
- 决策
- NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受
方法
- 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
- 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
- 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
- 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。
债券定价与收益率
- 债券价格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年付息
- C/2、y/2 和 2n 期
- 当期收益率
- C/P
- 价格与收益率
- 收益率上升 → 价格下降
方法
- 求每期票息和每期收益率。
- 价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
- 半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
- 检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。
CAPM 与 WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企业价值
- V = E + D
盈亏平衡分析
- 边际贡献
- CM = p − v
- 盈亏平衡销量
- QBE = FC/(p − v)
- 目标利润
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利润
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全边际
- (Q − QBE)/Q
2练习题
1.货币的时间价值中等
你在 7 年后需要 €15 000。某账户年利率 5%，按季度复利。今天需要存入多少？求现值 PV。
FV = €15 0005% / 4n = 7
PV = €
2.货币的时间价值困难
你在 13 年内每月月末存入 €100。账户年利率 5.4%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。
A = €1005.4% / 12N = 156
FV = €
3.NPV 与 IRR中等
一台机器今天花费 €80 000。它在 8 年内每年年末产生 €15 000，之后可以以 €12 000 出售。资本成本为 8%。求净现值 NPV。
C0 = €80 000CF = €15 000S = €12 000n = 8r = 8%
NPV = €
4.NPV 与 IRR困难
一个项目需投入 €50 000，在第 1 年到第 4 年的每年年末回报 €20 500, €18 500, €27 000, €23 000。现金流可按 10% 的资本成本再投资。求修正内部收益率 MIRR，以百分比表示。
r = 10%CF0 = −50 000CF1 = 20 500CF2 = 18 500CF3 = 27 000CF4 = 23 000
MIRR = %
5.债券定价与收益率中等
一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 2%，每半年付息一次，6 年后到期。到期收益率为每年 6%。 求该债券的价格 P。
F = €1 000票面利率 = 2%YTM = 6%n = 6
P = €
6.债券定价与收益率困难
一只剩余期限为 15 年的债券（面值 €1 000，年票息 7%）售价 €1 208。发行人可在 3 年后以 €1 070 的赎回价格赎回。求赎回收益率 YTC，以百分比表示。
F = €1 000票面利率 = 7%P = €1 208赎回价格 = €1 070赎回时间 3 年
YTC = %
7.CAPM 与 WACC中等
某公司有价值 €8 000 000 的股权和价值 €1 000 000 的债务。其股权成本为 13%，税前债务成本为 7%，税率为 21%。求 WACC。
E = €8 000 000D = €1 000 000re = 13%rd = 7%T = 21%
WACC = %
8.CAPM 与 WACC困难
一家公司有 2 000 000 股股票，股价为 €25.50；其股权账面价值为 €15 300 000。公司刚支付了每股 €1.70 的股利，股利每年增长 5%。其债务市场价值为 €40 800 000，税前成本为 6%。税率为 28%。用股利增长模型计算股权资本成本，求 WACC。
N = 2 000 000P0 = €25.50股权账面价值 = €15 300 000D0 = €1.70g = 5%D = €40 800 000rd = 6%T = 28%
WACC = %
9.盈亏平衡分析中等
某产品售价每件 €42，单位变动成本 €30。每月固定成本为 €9 600。每月需卖出多少件 Q 才能实现利润 €6 000？
F = €9 600p = €42v = €30利润 = €6 000
Q = 件
10.盈亏平衡分析困难
一家公司每月以每件 €6 销售 1 250 件，单位变动成本为 €4，固定成本为每月 €2 000。单位变动成本上涨 €1，价格保持不变。现在每月必须销售多少件 Q 才能保持相同的利润？
Q = 1 250p = €6v = €4 → €5F = €2 000
Q = 件
3溶液
1.货币的时间价值
答案: PV = 10593 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
利率和期数
i = 0.05/4 = 0.0125
N = 4·7 = 28
现值
PV = FV/(1 + i)N = 15 000/1.416 = €10 593.28
答案
PV = €10 593.28
2.货币的时间价值
答案: FV = 22547 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
月利率和存款次数
i = 0.054000000000000006/12 = 0.0045
N = 12·13 = 156
存款的终值
FV = A·((1 + i)N − 1)/i = 100·(2.015 − 1)/0.0045 = €22 546.87
答案
FV = €22 546.87
你自己存入了 €15 600；其余是利息。
3.NPV 与 IRR
答案: NPV = 12683 €
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
每年现金流的现值
15 000·5.747 = 86 199.58
残值的现值
12 000/1.851 = 6 483.23
NPV
NPV = −80 000 + 86 199.58 + 6 483.23 = €12 682.81
答案
NPV = €12 682.81
4.NPV 与 IRR
答案: MIRR = 19.62 %
修正 IRR：把每笔流入按再投资利率（通常为资本成本）复利到项目结束，得到终值 TV。MIRR 是把初始投资变为 TV 的利率：MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1。
流入的终值
20 500·1.13 = 27 285.50
18 500·1.12 = 22 385.00
27 000·1.11 = 29 700.00
23 000·1.10 = 23 000.00
TV = 102 370.50
MIRR
MIRR = (102 370.50/50 000)1/4 − 1 = 19.62%
答案
MIRR = 19.62%
5.债券定价与收益率
答案: P = 800.9 €
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
每期
C = €10.00, i = 0.03, N = 12
票息的现值
€10.00·(1 − 0.7014)/0.03 = €99.54
面值的现值
€1 000·0.7014 = €701.38
价格
P = €800.92
答案
P = €800.92
收益率高于票面利率，所以债券折价出售。
6.债券定价与收益率
答案: YTC = 2.064 %
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
收益率方程
1208 = 70·(1 − (1 + y)−3)/y + 1070/(1 + y)3
数值求解
y = 2%: €1 210.16
y = 3%: €1 177.20
YTC = 2.064%
答案
YTC = 2.064%
到期收益率为 4.997%。溢价债券的投资者预期它会被赎回，所以较低的赎回收益率更符合实际。
7.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 12.17 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
权重
V = €9 000 000, E/V = 0.8889, D/V = 0.1111
WACC
WACC = 0.8889·13% + 0.1111·7%·(1 − 0.21) = 12.17%
答案
WACC = 12.17%
8.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 8.587 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
股权成本
D1 = 1.7·1.05 = €1.78
re = 1.785/25.5 + 0.05 = 12%
市场价值
E = 2 000 000·€25.50 = €51 000 000
V = €91 800 000, E/V = 0.5556, D/V = 0.4444
WACC
WACC = 0.5556·12% + 0.4444·6%·(1 − 0.28) = 8.587%
答案
WACC = 8.587%
9.盈亏平衡分析
答案: Q = 1300 件
本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。
单位边际贡献
p − v = 42 − 30 = €12
实现目标利润的销量
Q = (F + 利润)/(p − v) = (9 600 + 6 000)/12 = 1 300
答案
Q = 1 300 件
10.盈亏平衡分析
答案: Q = 2500 件
本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。
当前利润
Π = 1 250·(6 − 4) − 2 000 = €500
新的单位边际贡献
6 − 5 = €1
保持相同利润所需的件数
Q = (2 000 + 500)/1 = 2 500
答案
Q = 2 500 件
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