公司金融：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

盈亏平衡分析

边际贡献: CM = p − v
盈亏平衡销量: Q_BE = FC/(p − v)
目标利润: Q = (FC + profit)/(p − v)
利润: π = (p − v)·Q − FC
安全边际: (Q − Q_BE)/Q

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以名义年利率 6% 投资 €12 000，按月复利。求 9 年后的投资价值 FV。

PV = €12 0006% / 12n = 9

FV = €

2.货币的时间价值困难

一笔 €200 000 的贷款在 25 年内以等额月供偿还。年利率 3.6%，按月复利。求月供 A。

P = €200 0003.6% / 12N = 300

A = €

3.NPV 与 IRR中等

一项 €60 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€23 000, €18 000, €16 000, €26 000。资本成本为 12%。求净现值 NPV。

r = 12%CF₀ = −60 000CF₁ = 23 000CF₂ = 18 000CF₃ = 16 000CF₄ = 26 000

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €20 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €11 500, €12 500, €7 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −20 000CF₁ = 11 500CF₂ = 12 500CF₃ = 7 500

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 6%，每半年付息一次，11 年后到期。到期收益率为每年 3%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 6%YTM = 3%n = 11

P = €

6.债券定价与收益率困难

一只剩余期限为 18 年的债券（面值 €1 000，年票息 6%）售价 €1 182。发行人可在 4 年后以 €1 060 的赎回价格赎回。求赎回收益率 YTC，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 6%P = €1 182赎回价格 = €1 060赎回时间 4 年

YTC = %

7.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €6 000 000 的股权和价值 €6 000 000 的债务。其股权成本为 9%，税前债务成本为 7%，税率为 30%。求 WACC。

E = €6 000 000D = €6 000 000r_e = 9%r_d = 7%T = 30%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

某公司有5 000 000 股、每股 €19.00 的股票，以及 20 000 张、每张市价 €980 的债券。税前债务成本为 4.5%，税率为 25.8%。股票的 β 系数为 1.1，无风险利率为 2.5%，市场回报率为 7%。求 WACC。

β = 1.1r_f = 2.5%r_m = 7%r_d = 4.5%T = 25.8%

WACC = %

9.盈亏平衡分析中等

一种产品售价 €32，单位变动成本为 €12。固定成本为每月 €30 000，利润按 25% 征税。每月必须售出多少件 Q 才能获得税后 €6 000？

p = €32v = €12F = €30 000T = 25%税后利润 = €6 000

Q = 件

10.盈亏平衡分析困难

某产品售价每件 €16，单位变动成本 €12，每年固定成本 €4 000。预算销量为 1 150 件。求安全边际 MS，以占预算销量的百分比表示。

F = €4 000p = €16v = €12预算 = 1 150

MS = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 20564 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = r/m = 0.06/12 = 0.005

N = m·n = 12·9 = 108

终值

FV = 12 000·(1 + 0.005)¹⁰⁸ = 12 000·1.714 = €20 564.39

答案

FV = €20 564.39

2.货币的时间价值

答案: A = 1012 €

月利率和还款期数

i = 0.036000000000000004/12 = 0.003

N = 12·25 = 300

每期还款

N 笔等额付款 A 的现值为 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i。令其等于贷款额，解出 A。

(1 + i)^−N = 0.4071

A = 200 000·0.003/(1 − 0.4071) = €1 012.01

答案

A = €1 012.01

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = 2797 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0.12)¹ = 23 000/1.12 = 20 535.71

CF₂/(1 + 0.12)² = 18 000/1.254 = 14 349.49

CF₃/(1 + 0.12)³ = 16 000/1.405 = 11 388.48

CF₄/(1 + 0.12)⁴ = 26 000/1.574 = 16 523.47

相加

NPV = €2 797.16

答案

NPV = €2 797.16

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 28.7 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(25%) = 1 040.00

NPV(30%) = −343.65

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 25 + 5·1 040.00/(1 040.00 − (−343.65)) = 28.76%

精确: NPV(28.7%) = 0 → IRR = 28.7%

答案

IRR = 28.7%

5.债券定价与收益率

答案: P = 1279 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €30.00, i = 0.015, N = 22

票息的现值

€30.00·(1 − 0.7207)/0.015 = €558.62

面值的现值

€1 000·0.7207 = €720.69

价格

P = €1 279.31

答案

P = €1 279.31

收益率低于票面利率，所以债券溢价出售。

6.债券定价与收益率

答案: YTC = 2.594 %

收益率方程

1182 = 60·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + 1060/(1 + y)⁴

数值求解

y = 2%: €1 207.74

y = 3%: €1 164.82

YTC = 2.594%

答案

YTC = 2.594%

到期收益率为 4.503%。溢价债券的投资者预期它会被赎回，所以较低的赎回收益率更符合实际。

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 6.95 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €12 000 000, E/V = 0.5, D/V = 0.5

WACC

WACC = 0.5·9% + 0.5·7%·(1 − 0.3) = 6.95%

答案

WACC = 6.95%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 6.747 %

市场价值

E = 5 000 000·€19.00 = €95 000 000

D = 20 000·€980 = €19 600 000

股权成本（CAPM）

r_e = 2.5% + 1.1·4.5% = 7.45%

权重

V = €114 600 000, E/V = 0.829, D/V = 0.171

WACC

WACC = 0.829·7.45% + 0.171·4.5%·(1 − 0.258) = 6.747%

答案

WACC = 6.747%

9.盈亏平衡分析

答案: Q = 1900 件

本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。

所需的税前利润

6 000/(1 − 0.25) = €8 000

所需销量

Q = (30 000 + 8 000)/20 = 1 900

答案

Q = 1 900 件

10.盈亏平衡分析

答案: MS = 13.04 %

盈亏平衡销量

Q = F/(p − v) = 4 000/4 = 1 000

安全边际

MS = (1 150 − 1 000)/1 150·100 = 13.04%

答案

MS = 13.04%

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