公司金融：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

盈亏平衡分析

边际贡献: CM = p − v
盈亏平衡销量: Q_BE = FC/(p − v)
目标利润: Q = (FC + profit)/(p − v)
利润: π = (p − v)·Q − FC
安全边际: (Q − Q_BE)/Q

2练习题

1.货币的时间价值中等

一张信用卡的名义年利率为 21%，每半年复利。求实际年利率 EAR，以百分比表示。

r = 21%m = 2

EAR = %

2.货币的时间价值困难

一笔 €25 000 的贷款在 4 年内以等额月供偿还。年利率 4.8%，按月复利。求月供 A。

P = €25 0004.8% / 12N = 48

A = €

3.NPV 与 IRR中等

一项 €20 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€5 000, €7 000, €7 000, €8 000。资本成本为 12%。求净现值 NPV。

r = 12%CF₀ = −20 000CF₁ = 5 000CF₂ = 7 000CF₃ = 7 000CF₄ = 8 000

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €25 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €11 500, €9 500, €11 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −25 000CF₁ = 11 500CF₂ = 9 500CF₃ = 11 500

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

一只面值为 €1 000 的债券在 10 年后到期，每年付息。到期收益率为 4% 时其售价为 €1 081。求票面利率 c，以百分比表示。

F = €1 000n = 10P = €1 081YTM = 4%

c = %

6.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 5% 的债券 7 年后到期，售价为 €1 060。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 5%n = 7P = €1 060

YTM = %

7.CAPM 与 WACC中等

一家公司的融资由价值 €4 000 000 的普通股、价值 €1 000 000 的优先股和价值 €2 000 000 的债务构成。股权资本成本为 10%，优先股成本为 6%，税前债务成本为 4%。税率为 30%。求 WACC。

E = €4 000 000P_s = €1 000 000D = €2 000 000r_e = 10%r_p = 6%r_d = 4%T = 30%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

某公司有4 000 000 股、每股 €21.50 的股票，以及 20 000 张、每张市价 €980 的债券。税前债务成本为 3.5%，税率为 30%。股票的 β 系数为 1.1，无风险利率为 3.5%，市场回报率为 9%。求 WACC。

β = 1.1r_f = 3.5%r_m = 9%r_d = 3.5%T = 30%

WACC = %

9.盈亏平衡分析中等

某产品售价每件 €37，单位变动成本 €25。每月固定成本为 €30 000。每月需卖出多少件 Q 才能实现利润 €12 000？

F = €30 000p = €37v = €25利润 = €12 000

Q = 件

10.盈亏平衡分析困难

一家公司以每件 €22 销售 5 000 件，单位变动成本为 €18，固定成本为 €8 000。如果销量增加 10%，营业利润变化百分之多少 %ΔΠ？

Q = 5 000p = €22v = €18F = €8 000%ΔQ = +10%

%ΔΠ = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: EAR = 22.1 %

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

每期利率

r/m = 0.21/2 = 0.105

复利一年

EAR = (1 + 0.105)² − 1 = 1.221 − 1 = 22.1%

答案

EAR = 22.1%

当一年内复利多于一次时，实际年利率总是高于名义利率。

2.货币的时间价值

答案: A = 573.5 €

月利率和还款期数

i = 0.048/12 = 0.004

N = 12·4 = 48

每期还款

N 笔等额付款 A 的现值为 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i。令其等于贷款额，解出 A。

(1 + i)^−N = 0.8256

A = 25 000·0.004/(1 − 0.8256) = €573.47

答案

A = €573.47

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = 111.2 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0.12)¹ = 5 000/1.12 = 4 464.29

CF₂/(1 + 0.12)² = 7 000/1.254 = 5 580.36

CF₃/(1 + 0.12)³ = 7 000/1.405 = 4 982.46

CF₄/(1 + 0.12)⁴ = 8 000/1.574 = 5 084.14

相加

NPV = €111.25

答案

NPV = €111.25

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 14.38 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(10%) = 1 945.91

NPV(15%) = −255.20

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 10 + 5·1 945.91/(1 945.91 − (−255.20)) = 14.42%

精确: NPV(14.38%) = 0 → IRR = 14.38%

答案

IRR = 14.38%

5.债券定价与收益率

答案: c = 4.999 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

面值的现值

1000·(1 + 0.04)⁻¹⁰ = €675.56

票息

C = (1081 − 675.56)/8.111 = €49.99

票面利率

c = 49.99/1000 = 4.999%

答案

c = 4.999%

6.债券定价与收益率

答案: YTM = 4 %

收益率方程

€1 060 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷

数值求解

P(4%) = €1 060.02, P(5%) = €1 000.00

YTM = 4%

答案

YTM = 4%

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 7.371 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = 4 000 000 + 1 000 000 + 2 000 000 = €7 000 000

E/V = 0.5714, P_s/V = 0.1429, D/V = 0.2857

WACC

WACC = 0.5714·10% + 0.1429·6% + 0.2857·4%·(1 − 0.3) = 7.371%

答案

WACC = 7.371%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 8.232 %

市场价值

E = 4 000 000·€21.50 = €86 000 000

D = 20 000·€980 = €19 600 000

股权成本（CAPM）

r_e = 3.5% + 1.1·5.5% = 9.55%

权重

V = €105 600 000, E/V = 0.8144, D/V = 0.1856

WACC

WACC = 0.8144·9.55% + 0.1856·3.5%·(1 − 0.3) = 8.232%

答案

WACC = 8.232%

9.盈亏平衡分析

答案: Q = 3500 件

本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。

单位边际贡献

p − v = 37 − 25 = €12

实现目标利润的销量

Q = (F + 利润)/(p − v) = (30 000 + 12 000)/12 = 3 500

答案

Q = 3 500 件

10.盈亏平衡分析

答案: %ΔΠ = 16.67 %

经营杠杆：固定成本使利润对销售额的反应更强烈。经营杠杆系数 DOL = 边际贡献/营业利润，表示销售额变化 1% 时利润变化 DOL %。它在刚超过盈亏平衡点时非常高，并随销售额增长而下降。

边际贡献和利润

CM = 5 000·4 = €20 000

Π = 20 000 − 8 000 = €12 000

DOL

DOL = 20 000/12 000 = 1.667

利润的变化

%ΔΠ = 1.667·(+10%) = +16.67%

答案

%ΔΠ = +16.67%

校核：新利润 = 5 500·4 − 8 000 = €14 000.00。

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