货币的时间价值
- 终值
- FV = PV·(1 + i)n
- 现值
- PV = FV/(1 + i)n
- 每年多个计息期
- i = r/m, N = m·n
- 年金现值
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金终值
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
方法
- 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
- 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
- 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
- 检查答案的符号和数量级。
公司金融：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
NPV 与 IRR
- 净现值
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 等额现金流
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部收益率
- 使 NPV = 0 的 r
- 决策
- NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受
方法
- 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
- 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
- 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
- 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。
债券定价与收益率
- 债券价格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年付息
- C/2、y/2 和 2n 期
- 当期收益率
- C/P
- 价格与收益率
- 收益率上升 → 价格下降
方法
- 求每期票息和每期收益率。
- 价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
- 半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
- 检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。
CAPM 与 WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企业价值
- V = E + D
盈亏平衡分析
- 边际贡献
- CM = p − v
- 盈亏平衡销量
- QBE = FC/(p − v)
- 目标利润
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利润
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全边际
- (Q − QBE)/Q
2练习题
1.货币的时间价值中等
你在 9 年后需要 €20 000。某账户年利率 6%，按月复利。今天需要存入多少？求现值 PV。
FV = €20 0006% / 12n = 9
PV = €
2.货币的时间价值困难
一笔 €20 000 的贷款在 5 年内以等额月供偿还。年利率 2.4%，按月复利。求月供 A。
P = €20 0002.4% / 12N = 60
A = €
3.NPV 与 IRR中等
一台机器今天花费 €20 000，使用 7 年，每年运行费用为 €2 000（每年年末支付）。资本成本为 8%。求其等值年成本 EAC。
C0 = €20 000M = €2 000n = 7r = 8%
EAC = €
4.NPV 与 IRR困难
某项目投入 €20 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €8 000, €12 500, €10 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。
CF0 = −20 000CF1 = 8 000CF2 = 12 500CF3 = 10 500
IRR = %
5.债券定价与收益率中等
一只面值为 €1 000 的债券在 7 年后到期，每年付息。到期收益率为 2.5% 时其售价为 €1 349。求票面利率 c，以百分比表示。
F = €1 000n = 7P = €1 349YTM = 2.5%
c = %
6.债券定价与收益率困难
一张面值为 €1 000、年票面利率为 7% 的债券 3 年后到期，售价为 €975。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。
F = €1 000票面利率 = 7%n = 3P = €975
YTM = %
7.CAPM 与 WACC中等
某公司有价值 €2 000 000 的股权和价值 €4 000 000 的债务。其股权成本为 13%，税前债务成本为 6%，税率为 30%。求 WACC。
E = €2 000 000D = €4 000 000re = 13%rd = 6%T = 30%
WACC = %
8.CAPM 与 WACC困难
某公司有2 500 000 股、每股 €9.50 的股票，以及 5 000 张、每张市价 €1 050 的债券。税前债务成本为 4%，税率为 25%。股票的 β 系数为 1.5，无风险利率为 1%，市场回报率为 5%。求 WACC。
β = 1.5rf = 1%rm = 5%rd = 4%T = 25%
WACC = %
9.盈亏平衡分析中等
某产品售价每件 €55，单位变动成本 €45。每月固定成本为 €40 000。每月需卖出多少件 Q 才能实现利润 €6 000？
F = €40 000p = €55v = €45利润 = €6 000
Q = 件
10.盈亏平衡分析困难
某产品售价每件 €12，单位变动成本 €8，每年固定成本 €20 000。预算销量为 6 000 件。求安全边际 MS，以占预算销量的百分比表示。
F = €20 000p = €12v = €8预算 = 6 000
MS = %
3溶液
1.货币的时间价值
答案: PV = 11671 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
利率和期数
i = 0.06/12 = 0.005
N = 12·9 = 108
现值
PV = FV/(1 + i)N = 20 000/1.714 = €11 670.66
答案
PV = €11 670.66
2.货币的时间价值
答案: A = 354.1 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
月利率和还款期数
i = 0.024/12 = 0.002
N = 12·5 = 60
每期还款
N 笔等额付款 A 的现值为 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i。令其等于贷款额，解出 A。
(1 + i)−N = 0.887
A = 20 000·0.002/(1 − 0.887) = €354.07
答案
A = €354.07
3.NPV 与 IRR
答案: EAC = 5841 €
等值年成本：把所有成本的现值在寿命期内分摊为每年相等的金额（一份年金）：EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ)。它可以用来比较寿命不同的机器。
年金系数
(1 − 1.08−7)/0.08 = 5.206
年化购置价格
20 000/5.206 = 3 841.45
EAC
EAC = 3 841.45 + 2 000 = €5 841.45
答案
EAC = €5 841.45
4.NPV 与 IRR
答案: IRR = 24.28 %
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
夹逼 IRR
利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。
NPV(20%) = 1 423.61
NPV(25%) = −224.00
缩小范围
线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。
IRR ≈ 20 + 5·1 423.61/(1 423.61 − (−224.00)) = 24.32%
精确: NPV(24.28%) = 0 → IRR = 24.28%
答案
IRR = 24.28%
5.债券定价与收益率
答案: c = 7.997 %
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
面值的现值
1000·(1 + 0.025)−7 = €841.27
票息
C = (1349 − 841.27)/6.349 = €79.97
票面利率
c = 79.97/1000 = 7.997%
答案
c = 7.997%
6.债券定价与收益率
答案: YTM = 7.97 %
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
收益率方程
€975 = €70·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³
数值求解
P(7%) = €1 000.00, P(8%) = €974.23
YTM = 7.97%
答案
YTM = 7.97%
7.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 7.133 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
权重
V = €6 000 000, E/V = 0.3333, D/V = 0.6667
WACC
WACC = 0.3333·13% + 0.6667·6%·(1 − 0.3) = 7.133%
答案
WACC = 7.133%
8.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 6.276 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
市场价值
E = 2 500 000·€9.50 = €23 750 000
D = 5 000·€1 050 = €5 250 000
股权成本（CAPM）
re = 1% + 1.5·4% = 7%
权重
V = €29 000 000, E/V = 0.819, D/V = 0.181
WACC
WACC = 0.819·7% + 0.181·4%·(1 − 0.25) = 6.276%
答案
WACC = 6.276%
9.盈亏平衡分析
答案: Q = 4600 件
本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。
单位边际贡献
p − v = 55 − 45 = €10
实现目标利润的销量
Q = (F + 利润)/(p − v) = (40 000 + 6 000)/10 = 4 600
答案
Q = 4 600 件
10.盈亏平衡分析
答案: MS = 16.67 %
本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。
盈亏平衡销量
Q = F/(p − v) = 20 000/4 = 5 000
安全边际
MS = (6 000 − 5 000)/6 000·100 = 16.67%
答案
MS = 16.67%
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