公司金融：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

盈亏平衡分析

边际贡献: CM = p − v
盈亏平衡销量: Q_BE = FC/(p − v)
目标利润: Q = (FC + profit)/(p − v)
利润: π = (p − v)·Q − FC
安全边际: (Q − Q_BE)/Q

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以名义年利率 4.8% 投资 €5 000，按季度复利。求 6 年后的投资价值 FV。

PV = €5 0004.8% / 4n = 6

FV = €

2.货币的时间价值困难

一笔 €200 000 的贷款在 20 年内按月等额偿还，年利率 7.2%，按月复利。在整个贷款期内共支付多少利息 I？

P = €200 0007.2% / 12N = 240

I = €

3.NPV 与 IRR中等

一个项目今天需投入 €50 000，在 6 年内每年年末回报 €15 000。资本成本为 12%。假设现金流在每年内均匀流入。求折现回收期 DPB，以年表示。

r = 12%CF₀ = −50 000CF₁ = 15 000CF₂ = 15 000CF₃ = 15 000CF₄ = 15 000CF₅ = 15 000CF₆ = 15 000

DPB = 年

4.NPV 与 IRR困难

一笔 €10 000 的投资在 3 年内每年年末回报 €3 500。求其内部收益率 IRR，以百分比表示。

C₀ = €10 000CF = €3 500n = 3

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

你在一只剩余期限为 6 年的债券（面值 €1 000，年票息 4%）到期收益率为 9% 时买入。一年后，刚收到第一笔票息，你在到期收益率为 8.5% 时把它卖出。求你的持有期收益率 HPR，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 4%n = 6y₀ = 9%y₁ = 8.5%

HPR = %

6.债券定价与收益率困难

一只债券的交易价格为 €1 065，到期收益率为 3%（按年复利），麦考利久期为 3.4 年。如果收益率下降 25 个基点，用修正久期估计新价格 P。

P₀ = €1 065y = 3%D = 3.4Δy = −25 bp

P = €

7.CAPM 与 WACC中等

一家公司的融资由价值 €10 000 000 的普通股、价值 €2 000 000 的优先股和价值 €3 000 000 的债务构成。股权资本成本为 10%，优先股成本为 6.5%，税前债务成本为 4.5%。税率为 25.8%。求 WACC。

E = €10 000 000P_s = €2 000 000D = €3 000 000r_e = 10%r_p = 6.5%r_d = 4.5%T = 25.8%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

某公司有5 000 000 股、每股 €58.00 的股票，以及 20 000 张、每张市价 €1 050 的债券。税前债务成本为 3.5%，税率为 25.8%。股票的 β 系数为 0.9，无风险利率为 1.5%，市场回报率为 8.5%。求 WACC。

β = 0.9r_f = 1.5%r_m = 8.5%r_d = 3.5%T = 25.8%

WACC = %

9.盈亏平衡分析中等

一家公司以每件 €22 的价格销售 6 250 件。单位变动成本为 €12，固定成本为 €50 000。求该销售水平下的经营杠杆系数 DOL。

Q = 6 250p = €22v = €12F = €50 000

DOL =

10.盈亏平衡分析困难

某产品售价每件 €33，单位变动成本 €25，每年固定成本 €9 600。预算销量为 1 500 件。求安全边际 MS，以占预算销量的百分比表示。

F = €9 600p = €33v = €25预算 = 1 500

MS = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 6657 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = r/m = 0.048/4 = 0.012

N = m·n = 4·6 = 24

终值

FV = 5 000·(1 + 0.012)²⁴ = 5 000·1.331 = €6 657.36

答案

FV = €6 657.36

2.货币的时间价值

答案: I = 177928 €

月供

i = 0.006, N = 240

A = 200 000·0.006/(1 − (1 + 0.006)⁻²⁴⁰) = €1 574.70

利息总额

I = N·A − P = 240·1575 − 200 000 = €177 927.66

答案

I = €177 927.66

3.NPV 与 IRR

答案: DPB = 4.522 年

回收期：累计现金流收回初始投资所需的时间。假定每年的现金在年内均匀流入，所以最后一段是一年中的一部分。简单回收期忽略货币的时间价值；折现回收期则使用折现后的现金流。

折现现金流和累计现金流

年份 1: 15 000/1.12 = 13 392.86 → Σ = 13 392.86

年份 2: 15 000/1.254 = 11 957.91 → Σ = 25 350.77

年份 3: 15 000/1.405 = 10 676.70 → Σ = 36 027.47

年份 4: 15 000/1.574 = 9 532.77 → Σ = 45 560.24

年份 5: 15 000/1.762 = 8 511.40 → Σ = 54 071.64

最后一年的分数

DPB = 4 + 4 439.76/8 511.40 = 4.522

答案

DPB = 4.522 年

折现回收期总是长于简单回收期（3.333 年）。

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 2.48 %

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

所需的年金系数

(1 − (1 + i)⁻³)/i = 10 000/3 500 = 2.857

求利率

利率升高时年金系数下降；先确定利率所在区间，再逐步缩小。

i = 2%: 2.884

i = 3%: 2.829

IRR = 2.48%

答案

IRR = 2.48%

5.债券定价与收益率

答案: HPR = 11.21 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

买入价

C = €40.00, i = 0.09, N = 6

€40.00·(1 − 0.5963)/0.09 + €1 000·0.5963 = €179.44 + €596.27 = €775.70

卖出价

C = €40.00, i = 0.085, N = 5

€40.00·(1 − 0.665)/0.085 + €1 000·0.665 = €157.63 + €665.05 = €822.67

持有期收益率

HPR = (40 + 822.67 − 775.70)/775.70 = 11.21%

答案

HPR = 11.21%

6.债券定价与收益率

答案: P = 1074 €

久期：麦考利久期是债券支付各笔现金流的加权平均时间，以各笔现金流的现值为权重：D = Σ t·PVₜ/P。修正久期 D/(1 + y) 用于估计收益率小幅变化时价格变化的百分比：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

修正久期

D_mod = 3.4/1.03 = 3.301

估计的价格变化

%ΔP ≈ −3.301·(−0.0025) = 0.8252%

P ≈ 1065·(1 + 0.008252) = €1 073.79

答案

P = €1 073.79

久期是线性估计；收益率变化较大时，凸性会使实际价格略高一些。

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 8.201 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = 10 000 000 + 2 000 000 + 3 000 000 = €15 000 000

E/V = 0.6667, P_s/V = 0.1333, D/V = 0.2

WACC

WACC = 0.6667·10% + 0.1333·6.5% + 0.2·4.5%·(1 − 0.258) = 8.201%

答案

WACC = 8.201%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 7.449 %

市场价值

E = 5 000 000·€58.00 = €290 000 000

D = 20 000·€1 050 = €21 000 000

股权成本（CAPM）

r_e = 1.5% + 0.9·7% = 7.8%

权重

V = €311 000 000, E/V = 0.9325, D/V = 0.06752

WACC

WACC = 0.9325·7.8% + 0.06752·3.5%·(1 − 0.258) = 7.449%

答案

WACC = 7.449%

9.盈亏平衡分析

答案: DOL = 5

经营杠杆：固定成本使利润对销售额的反应更强烈。经营杠杆系数 DOL = 边际贡献/营业利润，表示销售额变化 1% 时利润变化 DOL %。它在刚超过盈亏平衡点时非常高，并随销售额增长而下降。

边际贡献总额

CM = 6 250·(22 − 12) = €62 500

营业利润

Π = 62 500 − 50 000 = €12 500

DOL

DOL = 62 500/12 500 = 5

答案

DOL = 5

10.盈亏平衡分析

答案: MS = 20 %

本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。

盈亏平衡销量

Q = F/(p − v) = 9 600/8 = 1 200

安全边际

MS = (1 500 − 1 200)/1 500·100 = 20%

答案

MS = 20%

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