货币的时间价值
- 终值
- FV = PV·(1 + i)n
- 现值
- PV = FV/(1 + i)n
- 每年多个计息期
- i = r/m, N = m·n
- 年金现值
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金终值
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
方法
- 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
- 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
- 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
- 检查答案的符号和数量级。
公司金融：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
NPV 与 IRR
- 净现值
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 等额现金流
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部收益率
- 使 NPV = 0 的 r
- 决策
- NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受
方法
- 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
- 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
- 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
- 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。
债券定价与收益率
- 债券价格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年付息
- C/2、y/2 和 2n 期
- 当期收益率
- C/P
- 价格与收益率
- 收益率上升 → 价格下降
方法
- 求每期票息和每期收益率。
- 价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
- 半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
- 检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。
CAPM 与 WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企业价值
- V = E + D
盈亏平衡分析
- 边际贡献
- CM = p − v
- 盈亏平衡销量
- QBE = FC/(p − v)
- 目标利润
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利润
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全边际
- (Q − QBE)/Q
2练习题
1.货币的时间价值中等
你在 9 年后需要 €10 000。某账户年利率 5%，按月复利。今天需要存入多少？求现值 PV。
FV = €10 0005% / 12n = 9
PV = €
2.货币的时间价值困难
你在每年年初存入 €5 000，共 6 年，第一笔今天存入。账户年利率为 3%。第 6 年年末账户里有多少钱？求 FV。
A = €5 000i = 3%n = 6
FV = €
3.NPV 与 IRR中等
一项 €20 000 的投资在第 1 年至第 3 年年末带来以下现金流：€5 000, €7 000, €9 000。资本成本为 5%。求净现值 NPV。
r = 5%CF0 = −20 000CF1 = 5 000CF2 = 7 000CF3 = 9 000
NPV = €
4.NPV 与 IRR困难
某项目投入 €50 000，在第 1 年至第 2 年年末每年回收 €26 000, €36 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。
CF0 = −50 000CF1 = 26 000CF2 = 36 500
IRR = %
5.债券定价与收益率中等
一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 2%，每半年付息一次，4 年后到期。到期收益率为每年 9%。 求该债券的价格 P。
F = €1 000票面利率 = 2%YTM = 9%n = 4
P = €
6.债券定价与收益率困难
一张面值为 €1 000、年票面利率为 8% 的债券 3 年后到期，售价为 €1 040。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。
F = €1 000票面利率 = 8%n = 3P = €1 040
YTM = %
7.CAPM 与 WACC中等
某公司有价值 €10 000 000 的股权和价值 €5 000 000 的债务。其股权成本为 8%，税前债务成本为 7%，税率为 28%。求 WACC。
E = €10 000 000D = €5 000 000re = 8%rd = 7%T = 28%
WACC = %
8.CAPM 与 WACC困难
某公司有2 500 000 股、每股 €19.00 的股票，以及 10 000 张、每张市价 €960 的债券。税前债务成本为 3.5%，税率为 25.8%。股票的 β 系数为 1.1，无风险利率为 1.5%，市场回报率为 8.5%。求 WACC。
β = 1.1rf = 1.5%rm = 8.5%rd = 3.5%T = 25.8%
WACC = %
9.盈亏平衡分析中等
某产品售价每件 €22，单位变动成本 €18。每月固定成本为 €10 000。每月需卖出多少件 Q 才能实现利润 €6 000？
F = €10 000p = €22v = €18利润 = €6 000
Q = 件
10.盈亏平衡分析困难
某产品售价每件 €22，单位变动成本 €18，每年固定成本 €20 000。预算销量为 8 000 件。求安全边际 MS，以占预算销量的百分比表示。
F = €20 000p = €22v = €18预算 = 8 000
MS = %
3溶液
1.货币的时间价值
答案: PV = 6382 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
利率和期数
i = 0.05/12 = 0.004167
N = 12·9 = 108
现值
PV = FV/(1 + i)N = 10 000/1.567 = €6 382.25
答案
PV = €6 382.25
2.货币的时间价值
答案: FV = 33312 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
普通年金系数
((1 + 0.03)6 − 1)/0.03 = 6.468
先付年金
每笔存款都多投资一年。
FV = 5 000·6.468·1.03 = €33 312.31
答案
FV = €33 312.31
3.NPV 与 IRR
答案: NPV = −1114 €
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
各笔现金流的现值
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0.05)1 = 5 000/1.05 = 4 761.90
CF2/(1 + 0.05)2 = 7 000/1.103 = 6 349.21
CF3/(1 + 0.05)3 = 9 000/1.158 = 7 774.54
相加
NPV = €−1 114.35
答案
NPV = €−1 114.35
NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。
4.NPV 与 IRR
答案: IRR = 15.31 %
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
夹逼 IRR
利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。
NPV(15%) = 207.94
NPV(20%) = −2 986.11
缩小范围
线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。
IRR ≈ 15 + 5·207.94/(207.94 − (−2 986.11)) = 15.33%
精确: NPV(15.31%) = 0 → IRR = 15.31%
答案
IRR = 15.31%
5.债券定价与收益率
答案: P = 769.1 €
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
每期
C = €10.00, i = 0.045, N = 8
票息的现值
€10.00·(1 − 0.7032)/0.045 = €65.96
面值的现值
€1 000·0.7032 = €703.19
价格
P = €769.14
答案
P = €769.14
收益率高于票面利率，所以债券折价出售。
6.债券定价与收益率
答案: YTM = 6.49 %
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
收益率方程
€1 040 = €80·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³
数值求解
P(6%) = €1 053.46, P(7%) = €1 026.24
YTM = 6.49%
答案
YTM = 6.49%
7.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 7.013 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
权重
V = €15 000 000, E/V = 0.6667, D/V = 0.3333
WACC
WACC = 0.6667·8% + 0.3333·7%·(1 − 0.28) = 7.013%
答案
WACC = 7.013%
8.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 8.09 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
市场价值
E = 2 500 000·€19.00 = €47 500 000
D = 10 000·€960 = €9 600 000
股权成本（CAPM）
re = 1.5% + 1.1·7% = 9.2%
权重
V = €57 100 000, E/V = 0.8319, D/V = 0.1681
WACC
WACC = 0.8319·9.2% + 0.1681·3.5%·(1 − 0.258) = 8.09%
答案
WACC = 8.09%
9.盈亏平衡分析
答案: Q = 4000 件
本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。
单位边际贡献
p − v = 22 − 18 = €4
实现目标利润的销量
Q = (F + 利润)/(p − v) = (10 000 + 6 000)/4 = 4 000
答案
Q = 4 000 件
10.盈亏平衡分析
答案: MS = 37.5 %
本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。
盈亏平衡销量
Q = F/(p − v) = 20 000/4 = 5 000
安全边际
MS = (8 000 − 5 000)/8 000·100 = 37.5%
答案
MS = 37.5%
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