货币的时间价值
- 终值
- FV = PV·(1 + i)n
- 现值
- PV = FV/(1 + i)n
- 每年多个计息期
- i = r/m, N = m·n
- 年金现值
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金终值
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
方法
- 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
- 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
- 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
- 检查答案的符号和数量级。
公司金融：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
NPV 与 IRR
- 净现值
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 等额现金流
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部收益率
- 使 NPV = 0 的 r
- 决策
- NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受
方法
- 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
- 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
- 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
- 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。
债券定价与收益率
- 债券价格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年付息
- C/2、y/2 和 2n 期
- 当期收益率
- C/P
- 价格与收益率
- 收益率上升 → 价格下降
方法
- 求每期票息和每期收益率。
- 价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
- 半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
- 检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。
CAPM 与 WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企业价值
- V = E + D
盈亏平衡分析
- 边际贡献
- CM = p − v
- 盈亏平衡销量
- QBE = FC/(p − v)
- 目标利润
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利润
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全边际
- (Q − QBE)/Q
2练习题
1.货币的时间价值中等
你在 2 年后需要 €40 000。某账户年利率 5%，按月复利。今天需要存入多少？求现值 PV。
FV = €40 0005% / 12n = 2
PV = €
2.货币的时间价值困难
你在每年年初存入 €6 000，共 13 年，第一笔今天存入。账户年利率为 3%。第 13 年年末账户里有多少钱？求 FV。
A = €6 000i = 3%n = 13
FV = €
3.NPV 与 IRR中等
一台机器今天花费 €100 000。它在 5 年内每年年末产生 €24 000，之后可以以 €10 000 出售。资本成本为 8%。求净现值 NPV。
C0 = €100 000CF = €24 000S = €10 000n = 5r = 8%
NPV = €
4.NPV 与 IRR困难
某项目投入 €25 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €14 000, €18 500, €17 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。
CF0 = −25 000CF1 = 14 000CF2 = 18 500CF3 = 17 000
IRR = %
5.债券定价与收益率中等
一只面值为 €1 000 的债券在 15 年后到期，每年付息。到期收益率为 5% 时其售价为 €948。求票面利率 c，以百分比表示。
F = €1 000n = 15P = €948YTM = 5%
c = %
6.债券定价与收益率困难
一只面值为 €1 000 的债券每年支付 3% 的票息，分两次半年支付，11 年后到期。其售价为 €761。求其到期收益率 YTM（以年利率表示，即半年收益率的两倍），以百分比表示。
F = €1 000票面利率 = 3% (2×)n = 11P = €761
YTM = %
7.CAPM 与 WACC中等
一只贝塔为 1.4 的股票要求回报为 9.9%。无风险利率为 1.5%。CAPM 隐含的预期市场回报 rm 是多少？
β = 1.4re = 9.9%rf = 1.5%
rm = %
8.CAPM 与 WACC困难
一家公司股权的市场价值为 €5 000 000，股权资本成本为 9%。其债务由 5 000 张债券组成（面值 €1 000，年票息 6%，剩余期限 4 年），每张交易价格为 €950。税率为 25%。以债券的到期收益率作为税前债务成本，求 WACC。
E = €5 000 000re = 9%债券: 5 000 × €950票面利率 = 6%n = 4T = 25%
WACC = %
9.盈亏平衡分析中等
某产品售价每件 €38，单位变动成本 €18。每月固定成本为 €30 000。每月需卖出多少件 Q 才能实现利润 €12 000？
F = €30 000p = €38v = €18利润 = €12 000
Q = 件
10.盈亏平衡分析困难
某产品售价每件 €30，单位变动成本 €15，每年固定成本 €7 500。预算销量为 800 件。求安全边际 MS，以占预算销量的百分比表示。
F = €7 500p = €30v = €15预算 = 800
MS = %
3溶液
1.货币的时间价值
答案: PV = 36201 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
利率和期数
i = 0.05/12 = 0.004167
N = 12·2 = 24
现值
PV = FV/(1 + i)N = 40 000/1.105 = €36 201.02
答案
PV = €36 201.02
2.货币的时间价值
答案: FV = 96518 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
普通年金系数
((1 + 0.03)13 − 1)/0.03 = 15.62
先付年金
每笔存款都多投资一年。
FV = 6 000·15.62·1.03 = €96 517.94
答案
FV = €96 517.94
3.NPV 与 IRR
答案: NPV = 2631 €
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
每年现金流的现值
24 000·3.993 = 95 825.04
残值的现值
10 000/1.469 = 6 805.83
NPV
NPV = −100 000 + 95 825.04 + 6 805.83 = €2 630.87
答案
NPV = €2 630.87
4.NPV 与 IRR
答案: IRR = 41.91 %
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
夹逼 IRR
利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。
NPV(40%) = 634.11
NPV(45%) = −969.49
缩小范围
线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。
IRR ≈ 40 + 5·634.11/(634.11 − (−969.49)) = 41.98%
精确: NPV(41.91%) = 0 → IRR = 41.91%
答案
IRR = 41.91%
5.债券定价与收益率
答案: c = 4.499 %
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
面值的现值
1000·(1 + 0.05)−15 = €481.02
票息
C = (948 − 481.02)/10.38 = €44.99
票面利率
c = 44.99/1000 = 4.499%
答案
c = 4.499%
6.债券定价与收益率
答案: YTM = 5.999 %
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
每期
C = €15.00, N = 22
数值求解
i = 3% 每半年
YTM
YTM = 2·3% = 5.999%
答案
YTM = 5.999%
7.CAPM 与 WACC
答案: rm = 7.5 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
市场风险溢价
rm − rf = (9.9% − 1.5%)/1.4 = 6%
市场回报
rm = 1.5% + 6% = 7.5%
答案
rm = 7.5%
8.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 7.353 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
债务成本 (YTM)
950 = 60·(1 − (1 + y)−4)/y + 1000/(1 + y)4
y = 7.493%
市场价值
D = 5 000·€950 = €4 750 000
V = €9 750 000, E/V = 0.5128, D/V = 0.4872
WACC
WACC = 0.5128·9% + 0.4872·7.493%·(1 − 0.25) = 7.353%
答案
WACC = 7.353%
9.盈亏平衡分析
答案: Q = 2100 件
本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。
单位边际贡献
p − v = 38 − 18 = €20
实现目标利润的销量
Q = (F + 利润)/(p − v) = (30 000 + 12 000)/20 = 2 100
答案
Q = 2 100 件
10.盈亏平衡分析
答案: MS = 37.5 %
本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。
盈亏平衡销量
Q = F/(p − v) = 7 500/15 = 500
安全边际
MS = (800 − 500)/800·100 = 37.5%
答案
MS = 37.5%
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