货币的时间价值
- 终值
- FV = PV·(1 + i)n
- 现值
- PV = FV/(1 + i)n
- 每年多个计息期
- i = r/m, N = m·n
- 年金现值
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金终值
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
方法
- 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
- 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
- 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
- 检查答案的符号和数量级。
公司金融：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
NPV 与 IRR
- 净现值
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 等额现金流
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部收益率
- 使 NPV = 0 的 r
- 决策
- NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受
方法
- 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
- 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
- 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
- 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。
债券定价与收益率
- 债券价格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年付息
- C/2、y/2 和 2n 期
- 当期收益率
- C/P
- 价格与收益率
- 收益率上升 → 价格下降
方法
- 求每期票息和每期收益率。
- 价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
- 半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
- 检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。
CAPM 与 WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企业价值
- V = E + D
盈亏平衡分析
- 边际贡献
- CM = p − v
- 盈亏平衡销量
- QBE = FC/(p − v)
- 目标利润
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利润
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全边际
- (Q − QBE)/Q
2练习题
1.货币的时间价值中等
一份年金在每年年末支付 €5 000，共 8 年。年利率为 4%。求该年金的现值 PV。
A = €5 000i = 4%n = 8
PV = €
2.货币的时间价值困难
你以每年 7.2% 的利率借入 €5 000，按月复利，每月月末偿还 €175。需要多少个月才能还清贷款（最后一笔还款可以较少）？给出还款次数 N。
P = €5 000A = €1757.2% / 12
N = 次还款
3.NPV 与 IRR中等
一台机器今天花费 €80 000。它在 5 年内每年年末产生 €19 000，之后可以以 €20 000 出售。资本成本为 10%。求净现值 NPV。
C0 = €80 000CF = €19 000S = €20 000n = 5r = 10%
NPV = €
4.NPV 与 IRR困难
某项目投入 €25 000，在第 1 年至第 2 年年末每年回收 €14 500, €15 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。
CF0 = −25 000CF1 = 14 500CF2 = 15 000
IRR = %
5.债券定价与收益率中等
一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 3%，每半年付息一次，11 年后到期。到期收益率为每年 5.5%。 求该债券的价格 P。
F = €1 000票面利率 = 3%YTM = 5.5%n = 11
P = €
6.债券定价与收益率困难
一只剩余期限为 10 年的债券（面值 €1 000，年票息 6%）售价 €1 077。发行人可在 3 年后以 €1 060 的赎回价格赎回。求赎回收益率 YTC，以百分比表示。
F = €1 000票面利率 = 6%P = €1 077赎回价格 = €1 060赎回时间 3 年
YTC = %
7.CAPM 与 WACC中等
某公司有价值 €8 000 000 的股权和价值 €4 000 000 的债务。其股权成本为 14%，税前债务成本为 5%，税率为 21%。求 WACC。
E = €8 000 000D = €4 000 000re = 14%rd = 5%T = 21%
WACC = %
8.CAPM 与 WACC困难
某公司有2 500 000 股、每股 €28.50 的股票，以及 10 000 张、每张市价 €1 050 的债券。税前债务成本为 3%，税率为 28%。股票的 β 系数为 1.8，无风险利率为 3.5%，市场回报率为 9.5%。求 WACC。
β = 1.8rf = 3.5%rm = 9.5%rd = 3%T = 28%
WACC = %
9.盈亏平衡分析中等
某产品售价每件 €24，单位变动成本 €20。每月固定成本为 €16 000。每月需卖出多少件 Q 才能实现利润 €2 000？
F = €16 000p = €24v = €20利润 = €2 000
Q = 件
10.盈亏平衡分析困难
某产品售价每件 €45，单位变动成本 €30，每年固定成本 €75 000。预算销量为 9 000 件。求安全边际 MS，以占预算销量的百分比表示。
F = €75 000p = €45v = €30预算 = 9 000
MS = %
3溶液
1.货币的时间价值
答案: PV = 33664 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
年金系数
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0.7307)/0.04 = 6.733
现值
PV = 5 000·6.733 = €33 663.72
答案
PV = €33 663.72
2.货币的时间价值
答案: N = 32 次还款
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
将年金公式变形
i = 0.006
(1 + i)−N = 1 − 5 000·0.006/175 = 0.8286
用对数求解
N = −ln(0.8286)/ln(1.006) = 31.44
向上取整到整次还款
31 次全额还款后还剩少量余额，由最后一笔较少的还款还清。
N = 32
答案
N = 32 次还款
3.NPV 与 IRR
答案: NPV = 4443 €
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
每年现金流的现值
19 000·3.791 = 72 024.95
残值的现值
20 000/1.611 = 12 418.43
NPV
NPV = −80 000 + 72 024.95 + 12 418.43 = €4 443.38
答案
NPV = €4 443.38
4.NPV 与 IRR
答案: IRR = 11.71 %
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
夹逼 IRR
利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。
NPV(10%) = 578.51
NPV(15%) = −1 049.15
缩小范围
线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。
IRR ≈ 10 + 5·578.51/(578.51 − (−1 049.15)) = 11.78%
精确: NPV(11.71%) = 0 → IRR = 11.71%
答案
IRR = 11.71%
5.债券定价与收益率
答案: P = 795.7 €
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
每期
C = €15.00, i = 0.0275, N = 22
票息的现值
€15.00·(1 − 0.5506)/0.0275 = €245.15
面值的现值
€1 000·0.5506 = €550.55
价格
P = €795.71
答案
P = €795.71
收益率高于票面利率，所以债券折价出售。
6.债券定价与收益率
答案: YTC = 5.071 %
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
收益率方程
1077 = 60·(1 − (1 + y)−3)/y + 1060/(1 + y)3
数值求解
y = 5%: €1 079.06
y = 6%: €1 050.38
YTC = 5.071%
答案
YTC = 5.071%
到期收益率为 5.003%。溢价债券的投资者预期它会被赎回，所以较低的赎回收益率更符合实际。
7.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 10.65 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
权重
V = €12 000 000, E/V = 0.6667, D/V = 0.3333
WACC
WACC = 0.6667·14% + 0.3333·5%·(1 − 0.21) = 10.65%
答案
WACC = 10.65%
8.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 12.74 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
市场价值
E = 2 500 000·€28.50 = €71 250 000
D = 10 000·€1 050 = €10 500 000
股权成本（CAPM）
re = 3.5% + 1.8·6% = 14.3%
权重
V = €81 750 000, E/V = 0.8716, D/V = 0.1284
WACC
WACC = 0.8716·14.3% + 0.1284·3%·(1 − 0.28) = 12.74%
答案
WACC = 12.74%
9.盈亏平衡分析
答案: Q = 4500 件
本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。
单位边际贡献
p − v = 24 − 20 = €4
实现目标利润的销量
Q = (F + 利润)/(p − v) = (16 000 + 2 000)/4 = 4 500
答案
Q = 4 500 件
10.盈亏平衡分析
答案: MS = 44.44 %
本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。
盈亏平衡销量
Q = F/(p − v) = 75 000/15 = 5 000
安全边际
MS = (9 000 − 5 000)/9 000·100 = 44.44%
答案
MS = 44.44%
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