货币的时间价值
- 终值
- FV = PV·(1 + i)n
- 现值
- PV = FV/(1 + i)n
- 每年多个计息期
- i = r/m, N = m·n
- 年金现值
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金终值
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
方法
- 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
- 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
- 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
- 检查答案的符号和数量级。
公司金融：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
NPV 与 IRR
- 净现值
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 等额现金流
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部收益率
- 使 NPV = 0 的 r
- 决策
- NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受
方法
- 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
- 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
- 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
- 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。
债券定价与收益率
- 债券价格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年付息
- C/2、y/2 和 2n 期
- 当期收益率
- C/P
- 价格与收益率
- 收益率上升 → 价格下降
方法
- 求每期票息和每期收益率。
- 价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
- 半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
- 检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。
CAPM 与 WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企业价值
- V = E + D
盈亏平衡分析
- 边际贡献
- CM = p − v
- 盈亏平衡销量
- QBE = FC/(p − v)
- 目标利润
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利润
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全边际
- (Q − QBE)/Q
2练习题
1.货币的时间价值中等
你以名义年利率 3% 投资 €8 000，按季度复利。求 5 年后的投资价值 FV。
PV = €8 0003% / 4n = 5
FV = €
2.货币的时间价值困难
你在 29 年内每月月末存入 €500。账户年利率 4.2%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。
A = €5004.2% / 12N = 348
FV = €
3.NPV 与 IRR中等
一项 €75 000 的投资在第 1 年至第 3 年年末带来以下现金流：€34 000, €21 000, €22 000。资本成本为 10%。求净现值 NPV。
r = 10%CF0 = −75 000CF1 = 34 000CF2 = 21 000CF3 = 22 000
NPV = €
4.NPV 与 IRR困难
一个项目需投入 €10 000，在第 1 年到第 4 年的每年年末回报 €5 500, €5 500, €4 000, €6 000。现金流可按 12% 的资本成本再投资。求修正内部收益率 MIRR，以百分比表示。
r = 12%CF0 = −10 000CF1 = 5 500CF2 = 5 500CF3 = 4 000CF4 = 6 000
MIRR = %
5.债券定价与收益率中等
一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 8%，每半年付息一次，7 年后到期。到期收益率为每年 3.5%。 求该债券的价格 P。
F = €1 000票面利率 = 8%YTM = 3.5%n = 7
P = €
6.债券定价与收益率困难
一张面值为 €1 000、年票面利率为 7% 的债券 5 年后到期，售价为 €1 065。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。
F = €1 000票面利率 = 7%n = 5P = €1 065
YTM = %
7.CAPM 与 WACC中等
某公司有价值 €2 000 000 的股权和价值 €1 000 000 的债务。其股权成本为 11%，税前债务成本为 3.5%，税率为 25.8%。求 WACC。
E = €2 000 000D = €1 000 000re = 11%rd = 3.5%T = 25.8%
WACC = %
8.CAPM 与 WACC困难
某公司有5 000 000 股、每股 €10.00 的股票，以及 40 000 张、每张市价 €980 的债券。税前债务成本为 5%，税率为 30%。股票的 β 系数为 1.8，无风险利率为 2%，市场回报率为 7.5%。求 WACC。
β = 1.8rf = 2%rm = 7.5%rd = 5%T = 30%
WACC = %
9.盈亏平衡分析中等
一种产品售价 €13，单位变动成本为 €8。固定成本为每月 €20 000，利润按 25% 征税。每月必须售出多少件 Q 才能获得税后 €6 000？
p = €13v = €8F = €20 000T = 25%税后利润 = €6 000
Q = 件
10.盈亏平衡分析困难
某产品售价每件 €45，单位变动成本 €25，每年固定成本 €40 000。预算销量为 2 400 件。求安全边际 MS，以占预算销量的百分比表示。
F = €40 000p = €45v = €25预算 = 2 400
MS = %
3溶液
1.货币的时间价值
答案: FV = 9289 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
利率和期数
i = r/m = 0.03/4 = 0.0075
N = m·n = 4·5 = 20
终值
FV = 8 000·(1 + 0.0075)20 = 8 000·1.161 = €9 289.47
答案
FV = €9 289.47
2.货币的时间价值
答案: FV = 339034 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
月利率和存款次数
i = 0.042/12 = 0.0035
N = 12·29 = 348
存款的终值
FV = A·((1 + i)N − 1)/i = 500·(3.373 − 1)/0.0035 = €339 034.17
答案
FV = €339 034.17
你自己存入了 €174 000；其余是利息。
3.NPV 与 IRR
答案: NPV = −10207 €
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
各笔现金流的现值
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0.1)1 = 34 000/1.1 = 30 909.09
CF2/(1 + 0.1)2 = 21 000/1.21 = 17 355.37
CF3/(1 + 0.1)3 = 22 000/1.331 = 16 528.93
相加
NPV = €−10 206.61
答案
NPV = €−10 206.61
NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。
4.NPV 与 IRR
答案: MIRR = 25.88 %
修正 IRR：把每笔流入按再投资利率（通常为资本成本）复利到项目结束，得到终值 TV。MIRR 是把初始投资变为 TV 的利率：MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1。
流入的终值
5 500·1.123 = 7 727.10
5 500·1.122 = 6 899.20
4 000·1.121 = 4 480.00
6 000·1.120 = 6 000.00
TV = 25 106.30
MIRR
MIRR = (25 106.30/10 000)1/4 − 1 = 25.88%
答案
MIRR = 25.88%
5.债券定价与收益率
答案: P = 1277 €
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
每期
C = €40.00, i = 0.0175, N = 14
票息的现值
€40.00·(1 − 0.7844)/0.0175 = €492.88
面值的现值
€1 000·0.7844 = €784.36
价格
P = €1 277.25
答案
P = €1 277.25
收益率低于票面利率，所以债券溢价出售。
6.债券定价与收益率
答案: YTM = 5.479 %
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
收益率方程
€1 065 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵
数值求解
P(5%) = €1 086.59, P(6%) = €1 042.12
YTM = 5.479%
答案
YTM = 5.479%
7.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 8.199 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
权重
V = €3 000 000, E/V = 0.6667, D/V = 0.3333
WACC
WACC = 0.6667·11% + 0.3333·3.5%·(1 − 0.258) = 8.199%
答案
WACC = 8.199%
8.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 8.209 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
市场价值
E = 5 000 000·€10.00 = €50 000 000
D = 40 000·€980 = €39 200 000
股权成本（CAPM）
re = 2% + 1.8·5.5% = 11.9%
权重
V = €89 200 000, E/V = 0.5605, D/V = 0.4395
WACC
WACC = 0.5605·11.9% + 0.4395·5%·(1 − 0.3) = 8.209%
答案
WACC = 8.209%
9.盈亏平衡分析
答案: Q = 5600 件
本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。
所需的税前利润
6 000/(1 − 0.25) = €8 000
所需销量
Q = (20 000 + 8 000)/5 = 5 600
答案
Q = 5 600 件
10.盈亏平衡分析
答案: MS = 16.67 %
本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。
盈亏平衡销量
Q = F/(p − v) = 40 000/20 = 2 000
安全边际
MS = (2 400 − 2 000)/2 400·100 = 16.67%
答案
MS = 16.67%
ExamProblems · examproblems.com/courses/corporate-finance