公司金融：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

盈亏平衡分析

边际贡献: CM = p − v
盈亏平衡销量: Q_BE = FC/(p − v)
目标利润: Q = (FC + profit)/(p − v)
利润: π = (p − v)·Q − FC
安全边际: (Q − Q_BE)/Q

2练习题

1.货币的时间价值中等

一处房产预计明年获得 €12 000 的净租金。租金预计每年永久增长 2.5%。要求回报率为每年 5.5%。求该房产今天的价值 PV。

C₁ = €12 000g = 2.5%r = 5.5%

PV = €

2.货币的时间价值困难

一笔 €20 000 的贷款在 5 年内以等额月供偿还。年利率 4.8%，按月复利。求月供 A。

P = €20 0004.8% / 12N = 60

A = €

3.NPV 与 IRR中等

一台机器今天花费 €30 000。它在 5 年内每年年末产生 €7 000，之后可以以 €6 000 出售。资本成本为 12%。求净现值 NPV。

C₀ = €30 000CF = €7 000S = €6 000n = 5r = 12%

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

一笔 €10 000 的投资在 5 年内每年年末回报 €3 000。求其内部收益率 IRR，以百分比表示。

C₀ = €10 000CF = €3 000n = 5

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 4%，每半年付息一次，5 年后到期。到期收益率为每年 3.5%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 4%YTM = 3.5%n = 5

P = €

6.债券定价与收益率困难

一只剩余期限为 16 年的债券（面值 €1 000，年票息 9%）售价 €1 089。发行人可在 5 年后以 €1 090 的赎回价格赎回。求赎回收益率 YTC，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 9%P = €1 089赎回价格 = €1 090赎回时间 5 年

YTC = %

7.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €2 000 000 的股权和价值 €5 000 000 的债务。其股权成本为 9%，税前债务成本为 4.5%，税率为 20%。求 WACC。

E = €2 000 000D = €5 000 000r_e = 9%r_d = 4.5%T = 20%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

某公司有5 000 000 股、每股 €47.00 的股票，以及 20 000 张、每张市价 €1 020 的债券。税前债务成本为 3.5%，税率为 20%。股票的 β 系数为 1.3，无风险利率为 1.5%，市场回报率为 6.5%。求 WACC。

β = 1.3r_f = 1.5%r_m = 6.5%r_d = 3.5%T = 20%

WACC = %

9.盈亏平衡分析中等

某产品售价每件 €18，单位变动成本 €8。每月固定成本为 €25 000。每月需卖出多少件 Q 才能实现利润 €2 000？

F = €25 000p = €18v = €8利润 = €2 000

Q = 件

10.盈亏平衡分析困难

一家公司以每件 €25 销售 2 000 件，单位变动成本为 €20，固定成本为 €5 000。如果销量增加 8%，营业利润变化百分之多少 %ΔΠ？

Q = 2 000p = €25v = €20F = €5 000%ΔQ = +8%

%ΔΠ = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 400000 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

增长型永续年金

PV = C₁/(r − g) = 12 000/(0.055 − 0.025) = 12 000/0.03 = €400 000.00

答案

PV = €400 000.00

2.货币的时间价值

答案: A = 375.6 €

月利率和还款期数

i = 0.048/12 = 0.004

N = 12·5 = 60

每期还款

N 笔等额付款 A 的现值为 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i。令其等于贷款额，解出 A。

(1 + i)^−N = 0.787

A = 20 000·0.004/(1 − 0.787) = €375.59

答案

A = €375.59

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = −1362 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

每年现金流的现值

7 000·3.605 = 25 233.43

残值的现值

6 000/1.762 = 3 404.56

NPV

NPV = −30 000 + 25 233.43 + 3 404.56 = −€1 362.01

答案

NPV = −€1 362.01

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 15.24 %

所需的年金系数

(1 − (1 + i)⁻⁵)/i = 10 000/3 000 = 3.333

求利率

利率升高时年金系数下降；先确定利率所在区间，再逐步缩小。

i = 15%: 3.352

i = 16%: 3.274

IRR = 15.24%

答案

IRR = 15.24%

5.债券定价与收益率

答案: P = 1023 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €20.00, i = 0.0175, N = 10

票息的现值

€20.00·(1 − 0.8407)/0.0175 = €182.02

面值的现值

€1 000·0.8407 = €840.73

价格

P = €1 022.75

答案

P = €1 022.75

收益率低于票面利率，所以债券溢价出售。

6.债券定价与收益率

答案: YTC = 8.28 %

收益率方程

1089 = 90·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + 1090/(1 + y)⁵

数值求解

y = 8%: €1 101.18

y = 9%: €1 058.49

YTC = 8.28%

答案

YTC = 8.28%

到期收益率为 7.995%。溢价债券的投资者预期它会被赎回，所以较低的赎回收益率更符合实际。

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 5.143 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €7 000 000, E/V = 0.2857, D/V = 0.7143

WACC

WACC = 0.2857·9% + 0.7143·4.5%·(1 − 0.2) = 5.143%

答案

WACC = 5.143%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 7.585 %

市场价值

E = 5 000 000·€47.00 = €235 000 000

D = 20 000·€1 020 = €20 400 000

股权成本（CAPM）

r_e = 1.5% + 1.3·5% = 8%

权重

V = €255 400 000, E/V = 0.9201, D/V = 0.07987

WACC

WACC = 0.9201·8% + 0.07987·3.5%·(1 − 0.2) = 7.585%

答案

WACC = 7.585%

9.盈亏平衡分析

答案: Q = 2700 件

本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。

单位边际贡献

p − v = 18 − 8 = €10

实现目标利润的销量

Q = (F + 利润)/(p − v) = (25 000 + 2 000)/10 = 2 700

答案

Q = 2 700 件

10.盈亏平衡分析

答案: %ΔΠ = 16 %

经营杠杆：固定成本使利润对销售额的反应更强烈。经营杠杆系数 DOL = 边际贡献/营业利润，表示销售额变化 1% 时利润变化 DOL %。它在刚超过盈亏平衡点时非常高，并随销售额增长而下降。

边际贡献和利润

CM = 2 000·5 = €10 000

Π = 10 000 − 5 000 = €5 000

DOL

DOL = 10 000/5 000 = 2

利润的变化

%ΔΠ = 2·(+8%) = +16%

答案

%ΔΠ = +16%

校核：新利润 = 2 160·5 − 5 000 = €5 800.00。

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