货币的时间价值
- 终值
- FV = PV·(1 + i)n
- 现值
- PV = FV/(1 + i)n
- 每年多个计息期
- i = r/m, N = m·n
- 年金现值
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金终值
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
方法
- 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
- 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
- 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
- 检查答案的符号和数量级。
公司金融：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
NPV 与 IRR
- 净现值
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 等额现金流
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部收益率
- 使 NPV = 0 的 r
- 决策
- NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受
方法
- 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
- 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
- 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
- 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。
债券定价与收益率
- 债券价格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年付息
- C/2、y/2 和 2n 期
- 当期收益率
- C/P
- 价格与收益率
- 收益率上升 → 价格下降
方法
- 求每期票息和每期收益率。
- 价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
- 半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
- 检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。
CAPM 与 WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企业价值
- V = E + D
盈亏平衡分析
- 边际贡献
- CM = p − v
- 盈亏平衡销量
- QBE = FC/(p − v)
- 目标利润
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利润
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全边际
- (Q − QBE)/Q
2练习题
1.货币的时间价值中等
你在 7 年后需要 €15 000。某账户年利率 4.8%，按月复利。今天需要存入多少？求现值 PV。
FV = €15 0004.8% / 12n = 7
PV = €
2.货币的时间价值困难
你以每年 6% 的利率借入 €12 000，按月复利，每月月末偿还 €175。需要多少个月才能还清贷款（最后一笔还款可以较少）？给出还款次数 N。
P = €12 000A = €1756% / 12
N = 次还款
3.NPV 与 IRR中等
一项 €75 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€15 000, €33 000, €37 000, €36 000。资本成本为 8%。求净现值 NPV。
r = 8%CF0 = −75 000CF1 = 15 000CF2 = 33 000CF3 = 37 000CF4 = 36 000
NPV = €
4.NPV 与 IRR困难
某项目投入 €50 000，在第 1 年至第 2 年年末每年回收 €29 000, €34 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。
CF0 = −50 000CF1 = 29 000CF2 = 34 000
IRR = %
5.债券定价与收益率中等
一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 3%，每半年付息一次，5 年后到期。到期收益率为每年 3.5%。 求该债券的价格 P。
F = €1 000票面利率 = 3%YTM = 3.5%n = 5
P = €
6.债券定价与收益率困难
一只剩余期限为 11 年的债券（面值 €1 000，年票息 9%）售价 €1 110。发行人可在 4 年后以 €1 090 的赎回价格赎回。求赎回收益率 YTC，以百分比表示。
F = €1 000票面利率 = 9%P = €1 110赎回价格 = €1 090赎回时间 4 年
YTC = %
7.CAPM 与 WACC中等
某公司有价值 €12 000 000 的股权和价值 €2 000 000 的债务。其股权成本为 14%，税前债务成本为 5%，税率为 20%。求 WACC。
E = €12 000 000D = €2 000 000re = 14%rd = 5%T = 20%
WACC = %
8.CAPM 与 WACC困难
一家公司有 1 000 000 股股票，股价为 €32.00；其股权账面价值为 €9 600 000。公司刚支付了每股 €2.10 的股利，股利每年增长 4%。其债务市场价值为 €16 000 000，税前成本为 4.5%。税率为 25%。用股利增长模型计算股权资本成本，求 WACC。
N = 1 000 000P0 = €32.00股权账面价值 = €9 600 000D0 = €2.10g = 4%D = €16 000 000rd = 4.5%T = 25%
WACC = %
9.盈亏平衡分析中等
某产品售价每件 €65，单位变动成本 €45。每月固定成本为 €30 000。每月需卖出多少件 Q 才能实现利润 €20 000？
F = €30 000p = €65v = €45利润 = €20 000
Q = 件
10.盈亏平衡分析困难
一家公司销售两种产品。产品 A 售价 €16，变动成本 €12；产品 B 售价 €22，变动成本 €10。两者按固定组合销售，每销售 2 件 A 就销售 3 件 B。固定成本为每月 €44 000。求达到盈亏平衡所需的总件数 Q（A 和 B 合计）。
pA = €16, vA = €12pB = €22, vB = €10A : B = 2 : 3F = €44 000
Q = 件
3溶液
1.货币的时间价值
答案: PV = 10727 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
利率和期数
i = 0.048/12 = 0.004
N = 12·7 = 84
现值
PV = FV/(1 + i)N = 15 000/1.398 = €10 726.53
答案
PV = €10 726.53
2.货币的时间价值
答案: N = 85 次还款
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
将年金公式变形
i = 0.005
(1 + i)−N = 1 − 12 000·0.005/175 = 0.6571
用对数求解
N = −ln(0.6571)/ln(1.005) = 84.18
向上取整到整次还款
84 次全额还款后还剩少量余额，由最后一笔较少的还款还清。
N = 85
答案
N = 85 次还款
3.NPV 与 IRR
答案: NPV = 23014 €
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
各笔现金流的现值
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0.08)1 = 15 000/1.08 = 13 888.89
CF2/(1 + 0.08)2 = 33 000/1.166 = 28 292.18
CF3/(1 + 0.08)3 = 37 000/1.26 = 29 371.79
CF4/(1 + 0.08)4 = 36 000/1.36 = 26 461.07
相加
NPV = €23 013.94
答案
NPV = €23 013.94
NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。
4.NPV 与 IRR
答案: IRR = 16.41 %
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
夹逼 IRR
利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。
NPV(15%) = 926.28
NPV(20%) = −2 222.22
缩小范围
线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。
IRR ≈ 15 + 5·926.28/(926.28 − (−2 222.22)) = 16.47%
精确: NPV(16.41%) = 0 → IRR = 16.41%
答案
IRR = 16.41%
5.债券定价与收益率
答案: P = 977.2 €
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
每期
C = €15.00, i = 0.0175, N = 10
票息的现值
€15.00·(1 − 0.8407)/0.0175 = €136.52
面值的现值
€1 000·0.8407 = €840.73
价格
P = €977.25
答案
P = €977.25
收益率高于票面利率，所以债券折价出售。
6.债券定价与收益率
答案: YTC = 7.707 %
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
收益率方程
1110 = 90·(1 − (1 + y)−4)/y + 1090/(1 + y)4
数值求解
y = 7%: €1 136.40
y = 8%: €1 099.27
YTC = 7.707%
答案
YTC = 7.707%
到期收益率为 7.497%。溢价债券的投资者预期它会被赎回，所以较低的赎回收益率更符合实际。
7.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 12.57 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
权重
V = €14 000 000, E/V = 0.8571, D/V = 0.1429
WACC
WACC = 0.8571·14% + 0.1429·5%·(1 − 0.2) = 12.57%
答案
WACC = 12.57%
8.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 8.342 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
股权成本
D1 = 2.1·1.04 = €2.18
re = 2.184/32 + 0.04 = 10.83%
市场价值
E = 1 000 000·€32.00 = €32 000 000
V = €48 000 000, E/V = 0.6667, D/V = 0.3333
WACC
WACC = 0.6667·10.83% + 0.3333·4.5%·(1 − 0.25) = 8.342%
答案
WACC = 8.342%
9.盈亏平衡分析
答案: Q = 2500 件
本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。
单位边际贡献
p − v = 65 − 45 = €20
实现目标利润的销量
Q = (F + 利润)/(p − v) = (30 000 + 20 000)/20 = 2 500
答案
Q = 2 500 件
10.盈亏平衡分析
答案: Q = 5000 件
有销售组合时的盈亏平衡：当产品按固定比例销售时，使用加权平均边际贡献：把每种产品的 p − v 按其件数所占份额加权。盈亏平衡件数 = F/（加权边际贡献），再按组合比例分配。
边际贡献
cmA = €4, cmB = €12
加权边际贡献
(2·4 + 3·12)/5 = €8.80
盈亏平衡件数
Q = 44 000/8.8 = 5 000
A: 2 000, B: 3 000
答案
Q = 5 000 件
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