公司金融：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

盈亏平衡分析

边际贡献: CM = p − v
盈亏平衡销量: Q_BE = FC/(p − v)
目标利润: Q = (FC + profit)/(p − v)
利润: π = (p − v)·Q − FC
安全边际: (Q − Q_BE)/Q

2练习题

1.货币的时间价值中等

一张信用卡的名义年利率为 22%，每天复利。求实际年利率 EAR，以百分比表示。

r = 22%m = 365

EAR = %

2.货币的时间价值困难

一笔 €15 000 的贷款在 5 年内以等额月供偿还。年利率 5.4%，按月复利。求月供 A。

P = €15 0005.4% / 12N = 60

A = €

3.NPV 与 IRR中等

一项 €45 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€19 000, €22 000, €22 000, €21 000。资本成本为 7.000000000000001%。求净现值 NPV。

r = 7.000000000000001%CF₀ = −45 000CF₁ = 19 000CF₂ = 22 000CF₃ = 22 000CF₄ = 21 000

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

项目 A 需投入 €10 000，在第 1 年到第 3 年的每年年末回报 €6 000, €4 000, €2 000。项目 B 需投入 €15 000，回报为 €4 000, €6 500, €8 000。求两个项目 NPV 相同时的交叉利率 r*，以百分比表示。

A: −10 000, 6 000, 4 000, 2 000B: −15 000, 4 000, 6 500, 8 000

r* = %

5.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 7%，每半年付息一次，6 年后到期。到期收益率为每年 5.5%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 7%YTM = 5.5%n = 6

P = €

6.债券定价与收益率困难

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 4.5% 的票息，分两次半年支付，9 年后到期。其售价为 €930。求其到期收益率 YTM（以年利率表示，即半年收益率的两倍），以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 4.5% (2×)n = 9P = €930

YTM = %

7.CAPM 与 WACC中等

一家公司的融资由价值 €5 000 000 的普通股、价值 €1 000 000 的优先股和价值 €2 000 000 的债务构成。股权资本成本为 12%，优先股成本为 6%，税前债务成本为 5%。税率为 25.8%。求 WACC。

E = €5 000 000P_s = €1 000 000D = €2 000 000r_e = 12%r_p = 6%r_d = 5%T = 25.8%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

某公司有4 000 000 股、每股 €22.00 的股票，以及 10 000 张、每张市价 €980 的债券。税前债务成本为 5%，税率为 25.8%。股票的 β 系数为 0.6，无风险利率为 1%，市场回报率为 6.5%。求 WACC。

β = 0.6r_f = 1%r_m = 6.5%r_d = 5%T = 25.8%

WACC = %

9.盈亏平衡分析中等

某产品售价每件 €12，单位变动成本 €8。每月固定成本为 €16 000。每月需卖出多少件 Q 才能实现利润 €6 000？

F = €16 000p = €12v = €8利润 = €6 000

Q = 件

10.盈亏平衡分析困难

一家公司以每件 €45 销售 4 000 件，单位变动成本为 €25，固定成本为 €50 000。如果销量减少 20%，营业利润变化百分之多少 %ΔΠ？

Q = 4 000p = €45v = €25F = €50 000%ΔQ = −20%

%ΔΠ = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: EAR = 24.6 %

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

每期利率

r/m = 0.22/365 = 0.0006027

复利一年

EAR = (1 + 0.0006027)³⁶⁵ − 1 = 1.246 − 1 = 24.6%

答案

EAR = 24.6%

当一年内复利多于一次时，实际年利率总是高于名义利率。

2.货币的时间价值

答案: A = 285.8 €

月利率和还款期数

i = 0.054000000000000006/12 = 0.0045

N = 12·5 = 60

每期还款

N 笔等额付款 A 的现值为 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i。令其等于贷款额，解出 A。

(1 + i)^−N = 0.7638

A = 15 000·0.0045/(1 − 0.7638) = €285.83

答案

A = €285.83

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = 25952 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0.07)¹ = 19 000/1.07 = 17 757.01

CF₂/(1 + 0.07)² = 22 000/1.145 = 19 215.65

CF₃/(1 + 0.07)³ = 22 000/1.225 = 17 958.55

CF₄/(1 + 0.07)⁴ = 21 000/1.311 = 16 020.80

相加

NPV = €25 952.01

答案

NPV = €25 952.01

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: r* = 8.354 %

交叉利率：两个项目 NPV 相同时的折现率。它是两者现金流之差 (B − A) 的 IRR。低于该利率时，现金流较晚、较大的项目 NPV 较高；高于该利率时，另一个项目胜出。

现金流之差

ΔCF₀ = −15 000 − (−10 000) = −5 000

ΔCF₁ = 4 000 − 6 000 = −2 000

ΔCF₂ = 6 500 − 4 000 = 2 500

ΔCF₃ = 8 000 − 2 000 = 6 000

差额的 IRR

NPV_Δ(8%) = 54.49

NPV_Δ(9%) = −97.56

r* = 8.354%

答案

r* = 8.354%

校核：在 8.354% 时两个 NPV 都是 €516.52。

5.债券定价与收益率

答案: P = 1076 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €35.00, i = 0.0275, N = 12

票息的现值

€35.00·(1 − 0.7221)/0.0275 = €353.65

面值的现值

€1 000·0.7221 = €722.13

价格

P = €1 075.78

答案

P = €1 075.78

收益率低于票面利率，所以债券溢价出售。

6.债券定价与收益率

答案: YTM = 5.496 %

每期

C = €22.50, N = 18

数值求解

i = 2.748% 每半年

YTM

YTM = 2·2.748% = 5.496%

答案

YTM = 5.496%

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 9.178 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = 5 000 000 + 1 000 000 + 2 000 000 = €8 000 000

E/V = 0.625, P_s/V = 0.125, D/V = 0.25

WACC

WACC = 0.625·12% + 0.125·6% + 0.25·5%·(1 − 0.258) = 9.178%

答案

WACC = 9.178%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 4.241 %

市场价值

E = 4 000 000·€22.00 = €88 000 000

D = 10 000·€980 = €9 800 000

股权成本（CAPM）

r_e = 1% + 0.6·5.5% = 4.3%

权重

V = €97 800 000, E/V = 0.8998, D/V = 0.1002

WACC

WACC = 0.8998·4.3% + 0.1002·5%·(1 − 0.258) = 4.241%

答案

WACC = 4.241%

9.盈亏平衡分析

答案: Q = 5500 件

本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。

单位边际贡献

p − v = 12 − 8 = €4

实现目标利润的销量

Q = (F + 利润)/(p − v) = (16 000 + 6 000)/4 = 5 500

答案

Q = 5 500 件

10.盈亏平衡分析

答案: %ΔΠ = −53.33 %

经营杠杆：固定成本使利润对销售额的反应更强烈。经营杠杆系数 DOL = 边际贡献/营业利润，表示销售额变化 1% 时利润变化 DOL %。它在刚超过盈亏平衡点时非常高，并随销售额增长而下降。

边际贡献和利润

CM = 4 000·20 = €80 000

Π = 80 000 − 50 000 = €30 000

DOL

DOL = 80 000/30 000 = 2.667

利润的变化

%ΔΠ = 2.667·(−20%) = −53.33%

答案

%ΔΠ = −53.33%

校核：新利润 = 3 200·20 − 50 000 = €14 000.00。

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