公司金融：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

盈亏平衡分析

边际贡献: CM = p − v
盈亏平衡销量: Q_BE = FC/(p − v)
目标利润: Q = (FC + profit)/(p − v)
利润: π = (p − v)·Q − FC
安全边际: (Q − Q_BE)/Q

2练习题

1.货币的时间价值中等

一处房产预计明年获得 €8 000 的净租金。租金预计每年永久增长 4%。要求回报率为每年 7%。求该房产今天的价值 PV。

C₁ = €8 000g = 4%r = 7%

PV = €

2.货币的时间价值困难

一笔 €300 000 的抵押贷款在 25 年内按月等额偿还，年利率 7.2%，按月复利。在第 3 年年末那次还款之后，还欠多少？求未偿余额 B。

P = €300 0007.2% / 12N = 300k = 36

B = €

3.NPV 与 IRR中等

一台机器今天花费 €40 000。它在 4 年内每年年末产生 €12 500，之后可以以 €10 000 出售。资本成本为 12%。求净现值 NPV。

C₀ = €40 000CF = €12 500S = €10 000n = 4r = 12%

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

一笔 €20 000 的投资在 10 年内每年年末回报 €4 000。求其内部收益率 IRR，以百分比表示。

C₀ = €20 000CF = €4 000n = 10

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 6%，每半年付息一次，9 年后到期。到期收益率为每年 7%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 6%YTM = 7%n = 9

P = €

6.债券定价与收益率困难

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 2% 的票息，分两次半年支付，11 年后到期。其售价为 €621。求其到期收益率 YTM（以年利率表示，即半年收益率的两倍），以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 2% (2×)n = 11P = €621

YTM = %

7.CAPM 与 WACC中等

一家公司的负债权益比（按市场价值）为 1.5。其股权资本成本为 10%，税前债务成本为 7%，税率为 30%。求 WACC。

D/E = 1.5r_e = 10%r_d = 7%T = 30%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

一家公司业务的无杠杆（资产）贝塔为 0.6。它计划采用 0.4 的负债权益比。税率为 21%，无风险利率为 4%，市场风险溢价为 6.5%。求新资本结构下的股权资本成本 r_e。

β_U = 0.6D/E = 0.4T = 21%r_f = 4%r_m − r_f = 6.5%

r_e = %

9.盈亏平衡分析中等

一家公司以每件 €24 的价格销售 3 000 件。单位变动成本为 €20，固定成本为 €4 800。求该销售水平下的经营杠杆系数 DOL。

Q = 3 000p = €24v = €20F = €4 800

DOL =

10.盈亏平衡分析困难

一家公司以每件 €23 销售 4 000 件，单位变动成本为 €8，固定成本为 €37 500。如果销量增加 8%，营业利润变化百分之多少 %ΔΠ？

Q = 4 000p = €23v = €8F = €37 500%ΔQ = +8%

%ΔΠ = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 266667 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

增长型永续年金

PV = C₁/(r − g) = 8 000/(0.07 − 0.04) = 8 000/0.03 = €266 666.67

答案

PV = €266 666.67

2.货币的时间价值

答案: B = 285631 €

月供

i = 0.006, N = 300

A = 300 000·0.006/(1 − (1 + 0.006)⁻³⁰⁰) = €2 158.77

剩余还款的现值

尚欠的金额必须恰好由剩余的还款还清。

N − k = 300 − 36 = 264

B = 2159·(1 − (1 + 0.006)⁻²⁶⁴)/0.006 = €285 631.32

答案

B = €285 631.32

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = 4322 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

每年现金流的现值

12 500·3.037 = 37 966.87

残值的现值

10 000/1.574 = 6 355.18

NPV

NPV = −40 000 + 37 966.87 + 6 355.18 = €4 322.05

答案

NPV = €4 322.05

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 15.1 %

所需的年金系数

(1 − (1 + i)⁻¹⁰)/i = 20 000/4 000 = 5

求利率

利率升高时年金系数下降；先确定利率所在区间，再逐步缩小。

i = 15%: 5.019

i = 16%: 4.833

IRR = 15.1%

答案

IRR = 15.1%

5.债券定价与收益率

答案: P = 934.1 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €30.00, i = 0.035, N = 18

票息的现值

€30.00·(1 − 0.5384)/0.035 = €395.69

面值的现值

€1 000·0.5384 = €538.36

价格

P = €934.05

答案

P = €934.05

收益率高于票面利率，所以债券折价出售。

6.债券定价与收益率

答案: YTM = 6.997 %

每期

C = €10.00, N = 22

数值求解

i = 3.498% 每半年

YTM

YTM = 2·3.498% = 6.997%

答案

YTM = 6.997%

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 6.94 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

由 D/E 求权重

E/V = 1/(1 + 1.5) = 0.4

D/V = 1.5/(1 + 1.5) = 0.6

WACC

WACC = 0.4·10% + 0.6·7%·(1 − 0.3) = 6.94%

答案

WACC = 6.94%

8.CAPM 与 WACC

答案: r_e = 9.132 %

有杠杆贝塔（哈马达公式）：负债使股权风险增大。β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E)，其中 β_U 是无负债时业务的贝塔。要把贝塔转换到另一种资本结构，先去杠杆，再按新的 D/E 加杠杆。

有杠杆贝塔

β_L = 0.6·(1 + 0.79·0.4) = 0.7896

股权成本（CAPM）

r_e = 4% + 0.7896·6.5% = 9.132%

答案

r_e = 9.132%

9.盈亏平衡分析

答案: DOL = 1.667

经营杠杆：固定成本使利润对销售额的反应更强烈。经营杠杆系数 DOL = 边际贡献/营业利润，表示销售额变化 1% 时利润变化 DOL %。它在刚超过盈亏平衡点时非常高，并随销售额增长而下降。

边际贡献总额

CM = 3 000·(24 − 20) = €12 000

营业利润

Π = 12 000 − 4 800 = €7 200

DOL

DOL = 12 000/7 200 = 1.667

答案

DOL = 1.667

10.盈亏平衡分析

答案: %ΔΠ = 21.33 %

边际贡献和利润

CM = 4 000·15 = €60 000

Π = 60 000 − 37 500 = €22 500

DOL

DOL = 60 000/22 500 = 2.667

利润的变化

%ΔΠ = 2.667·(+8%) = +21.33%

答案

%ΔΠ = +21.33%

校核：新利润 = 4 320·15 − 37 500 = €27 300.00。

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