货币的时间价值
- 终值
- FV = PV·(1 + i)n
- 现值
- PV = FV/(1 + i)n
- 每年多个计息期
- i = r/m, N = m·n
- 年金现值
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金终值
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
方法
- 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
- 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
- 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
- 检查答案的符号和数量级。
公司金融：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
NPV 与 IRR
- 净现值
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 等额现金流
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部收益率
- 使 NPV = 0 的 r
- 决策
- NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受
方法
- 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
- 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
- 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
- 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。
债券定价与收益率
- 债券价格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年付息
- C/2、y/2 和 2n 期
- 当期收益率
- C/P
- 价格与收益率
- 收益率上升 → 价格下降
方法
- 求每期票息和每期收益率。
- 价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
- 半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
- 检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。
CAPM 与 WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企业价值
- V = E + D
盈亏平衡分析
- 边际贡献
- CM = p − v
- 盈亏平衡销量
- QBE = FC/(p − v)
- 目标利润
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利润
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全边际
- (Q − QBE)/Q
2练习题
1.货币的时间价值中等
你以名义年利率 4% 投资 €12 000，按月复利。求 3 年后的投资价值 FV。
PV = €12 0004% / 12n = 3
FV = €
2.货币的时间价值困难
你以每年 7.2% 的利率借入 €25 000，按月复利，每月月末偿还 €1 125。需要多少个月才能还清贷款（最后一笔还款可以较少）？给出还款次数 N。
P = €25 000A = €1 1257.2% / 12
N = 次还款
3.NPV 与 IRR中等
一台机器今天花费 €50 000，使用 10 年，每年运行费用为 €3 000（每年年末支付）。资本成本为 6%。求其等值年成本 EAC。
C0 = €50 000M = €3 000n = 10r = 6%
EAC = €
4.NPV 与 IRR困难
某项目投入 €40 000，在第 1 年至第 2 年年末每年回收 €26 500, €28 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。
CF0 = −40 000CF1 = 26 500CF2 = 28 000
IRR = %
5.债券定价与收益率中等
一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 2%，每半年付息一次，8 年后到期。到期收益率为每年 3%。 求该债券的价格 P。
F = €1 000票面利率 = 2%YTM = 3%n = 8
P = €
6.债券定价与收益率困难
一只面值为 €1 000 的债券每年支付 5% 的票息，分两次半年支付，12 年后到期。其售价为 €710。求其到期收益率 YTM（以年利率表示，即半年收益率的两倍），以百分比表示。
F = €1 000票面利率 = 5% (2×)n = 12P = €710
YTM = %
7.CAPM 与 WACC中等
某公司有价值 €4 000 000 的股权和价值 €5 000 000 的债务。其股权成本为 14%，税前债务成本为 3%，税率为 28%。求 WACC。
E = €4 000 000D = €5 000 000re = 14%rd = 3%T = 28%
WACC = %
8.CAPM 与 WACC困难
一家公司有 2 000 000 股股票，股价为 €15.00；其股权账面价值为 €18 000 000。公司刚支付了每股 €1.30 的股利，股利每年增长 5%。其债务市场价值为 €24 000 000，税前成本为 4.5%。税率为 25.8%。用股利增长模型计算股权资本成本，求 WACC。
N = 2 000 000P0 = €15.00股权账面价值 = €18 000 000D0 = €1.30g = 5%D = €24 000 000rd = 4.5%T = 25.8%
WACC = %
9.盈亏平衡分析中等
某产品售价每件 €38，单位变动成本 €30。每月固定成本为 €16 000。每月需卖出多少件 Q 才能实现利润 €10 000？
F = €16 000p = €38v = €30利润 = €10 000
Q = 件
10.盈亏平衡分析困难
一家公司每月以每件 €26 销售 3 130 件，单位变动成本为 €20，固定成本为每月 €15 000。单位变动成本上涨 €1，价格保持不变。现在每月必须销售多少件 Q 才能保持相同的利润？
Q = 3 130p = €26v = €20 → €21F = €15 000
Q = 件
3溶液
1.货币的时间价值
答案: FV = 13527 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
利率和期数
i = r/m = 0.04/12 = 0.003333
N = m·n = 12·3 = 36
终值
FV = 12 000·(1 + 0.003333)36 = 12 000·1.127 = €13 527.26
答案
FV = €13 527.26
2.货币的时间价值
答案: N = 24 次还款
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
将年金公式变形
i = 0.006
(1 + i)−N = 1 − 25 000·0.006/1125 = 0.8667
用对数求解
N = −ln(0.8667)/ln(1.006) = 23.92
向上取整到整次还款
23 次全额还款后还剩少量余额，由最后一笔较少的还款还清。
N = 24
答案
N = 24 次还款
3.NPV 与 IRR
答案: EAC = 9793 €
等值年成本：把所有成本的现值在寿命期内分摊为每年相等的金额（一份年金）：EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ)。它可以用来比较寿命不同的机器。
年金系数
(1 − 1.06−10)/0.06 = 7.36
年化购置价格
50 000/7.36 = 6 793.40
EAC
EAC = 6 793.40 + 3 000 = €9 793.40
答案
EAC = €9 793.40
4.NPV 与 IRR
答案: IRR = 23.11 %
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
夹逼 IRR
利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。
NPV(20%) = 1 527.78
NPV(25%) = −880.00
缩小范围
线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。
IRR ≈ 20 + 5·1 527.78/(1 527.78 − (−880.00)) = 23.17%
精确: NPV(23.11%) = 0 → IRR = 23.11%
答案
IRR = 23.11%
5.债券定价与收益率
答案: P = 929.3 €
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
每期
C = €10.00, i = 0.015, N = 16
票息的现值
€10.00·(1 − 0.788)/0.015 = €141.31
面值的现值
€1 000·0.788 = €788.03
价格
P = €929.34
答案
P = €929.34
收益率高于票面利率，所以债券折价出售。
6.债券定价与收益率
答案: YTM = 9.002 %
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
每期
C = €25.00, N = 24
数值求解
i = 4.501% 每半年
YTM
YTM = 2·4.501% = 9.002%
答案
YTM = 9.002%
7.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 7.422 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
权重
V = €9 000 000, E/V = 0.4444, D/V = 0.5556
WACC
WACC = 0.4444·14% + 0.5556·3%·(1 − 0.28) = 7.422%
答案
WACC = 7.422%
8.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 9.317 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
股权成本
D1 = 1.3·1.05 = €1.37
re = 1.365/15 + 0.05 = 14.1%
市场价值
E = 2 000 000·€15.00 = €30 000 000
V = €54 000 000, E/V = 0.5556, D/V = 0.4444
WACC
WACC = 0.5556·14.1% + 0.4444·4.5%·(1 − 0.258) = 9.317%
答案
WACC = 9.317%
9.盈亏平衡分析
答案: Q = 3250 件
本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。
单位边际贡献
p − v = 38 − 30 = €8
实现目标利润的销量
Q = (F + 利润)/(p − v) = (16 000 + 10 000)/8 = 3 250
答案
Q = 3 250 件
10.盈亏平衡分析
答案: Q = 3756 件
本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。
当前利润
Π = 3 130·(26 − 20) − 15 000 = €3 780
新的单位边际贡献
26 − 21 = €5
保持相同利润所需的件数
Q = (15 000 + 3 780)/5 = 3 756
答案
Q = 3 756 件
ExamProblems · examproblems.com/courses/corporate-finance