公司金融：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

盈亏平衡分析

边际贡献: CM = p − v
盈亏平衡销量: Q_BE = FC/(p − v)
目标利润: Q = (FC + profit)/(p − v)
利润: π = (p − v)·Q − FC
安全边际: (Q − Q_BE)/Q

2练习题

1.货币的时间价值中等

你在 4 年后需要 €15 000。某账户年利率 6%，按季度复利。今天需要存入多少？求现值 PV。

FV = €15 0006% / 4n = 4

PV = €

2.货币的时间价值困难

你在 18 年内每月月末存入 €100。账户年利率 3%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。

A = €1003% / 12N = 216

FV = €

3.NPV 与 IRR中等

一台机器今天花费 €100 000。它在 5 年内每年年末产生 €26 000，之后可以以 €25 000 出售。资本成本为 8%。求净现值 NPV。

C₀ = €100 000CF = €26 000S = €25 000n = 5r = 8%

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €40 000，在第 1 年至第 2 年年末每年回收 €29 000, €18 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −40 000CF₁ = 29 000CF₂ = 18 500

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 4.5% 的票息，11 年后到期。其到期收益率从 6% 变为 7.5%。债券价格变化多少 ΔP？

F = €1 000票面利率 = 4.5%n = 11y₁ = 6%y₂ = 7.5%

ΔP = €

6.债券定价与收益率困难

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 4% 的票息，分两次半年支付，11 年后到期。其售价为 €916。求其到期收益率 YTM（以年利率表示，即半年收益率的两倍），以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 4% (2×)n = 11P = €916

YTM = %

7.CAPM 与 WACC中等

一家公司的股权价值为 €6 000 000，债务价值为 €4 000 000。其 WACC 为 10.3%，税前债务成本为 6%，税率为 21%。求股权资本成本 r_e。

E = €6 000 000D = €4 000 000WACC = 10.3%r_d = 6%T = 21%

r_e = %

8.CAPM 与 WACC困难

某公司有5 000 000 股、每股 €43.00 的股票，以及 40 000 张、每张市价 €1 050 的债券。税前债务成本为 7%，税率为 30%。股票的 β 系数为 0.6，无风险利率为 4%，市场回报率为 10.5%。求 WACC。

β = 0.6r_f = 4%r_m = 10.5%r_d = 7%T = 30%

WACC = %

9.盈亏平衡分析中等

一种产品售价 €50，单位变动成本为 €45。固定成本为每月 €7 500，利润按 20% 征税。每月必须售出多少件 Q 才能获得税后 €1 500？

p = €50v = €45F = €7 500T = 20%税后利润 = €1 500

Q = 件

10.盈亏平衡分析困难

某产品售价每件 €50，单位变动成本 €45，每年固定成本 €25 000。预算销量为 6 250 件。求安全边际 MS，以占预算销量的百分比表示。

F = €25 000p = €50v = €45预算 = 6 250

MS = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 11820 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = 0.06/4 = 0.015

N = 4·4 = 16

现值

PV = FV/(1 + i)^N = 15 000/1.269 = €11 820.47

答案

PV = €11 820.47

2.货币的时间价值

答案: FV = 28594 €

月利率和存款次数

i = 0.03/12 = 0.0025

N = 12·18 = 216

存款的终值

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 100·(1.715 − 1)/0.0025 = €28 594.03

答案

FV = €28 594.03

你自己存入了 €21 600；其余是利息。

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = 20825 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

每年现金流的现值

26 000·3.993 = 103 810.46

残值的现值

25 000/1.469 = 17 014.58

NPV

NPV = −100 000 + 103 810.46 + 17 014.58 = €20 825.04

答案

NPV = €20 825.04

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 13.32 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(10%) = 1 652.89

NPV(15%) = −793.95

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 10 + 5·1 652.89/(1 652.89 − (−793.95)) = 13.38%

精确: NPV(13.32%) = 0 → IRR = 13.32%

答案

IRR = 13.32%

5.债券定价与收益率

答案: ΔP = −101.2 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

按原收益率计算的价格

C = €45.00, i = 0.06, N = 11

€45.00·(1 − 0.5268)/0.06 + €1 000·0.5268 = €354.91 + €526.79 = €881.70

按新收益率计算的价格

C = €45.00, i = 0.075, N = 11

€45.00·(1 − 0.4513)/0.075 + €1 000·0.4513 = €329.19 + €451.34 = €780.54

变化

ΔP = 780.54 − 881.70 = −€101.16

答案

ΔP = −€101.16

6.债券定价与收益率

答案: YTM = 5.002 %

每期

C = €20.00, N = 22

数值求解

i = 2.501% 每半年

YTM

YTM = 2·2.501% = 5.002%

答案

YTM = 5.002%

7.CAPM 与 WACC

答案: r_e = 14.01 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €10 000 000, E/V = 0.6, D/V = 0.4

WACC 中的债务部分

0.4·6%·(1 − 0.21) = 1.896%

股权成本

r_e = (10.3% − 1.896%)/0.6 = 14.01%

答案

r_e = 14.01%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 7.41 %

市场价值

E = 5 000 000·€43.00 = €215 000 000

D = 40 000·€1 050 = €42 000 000

股权成本（CAPM）

r_e = 4% + 0.6·6.5% = 7.9%

权重

V = €257 000 000, E/V = 0.8366, D/V = 0.1634

WACC

WACC = 0.8366·7.9% + 0.1634·7%·(1 − 0.3) = 7.41%

答案

WACC = 7.41%

9.盈亏平衡分析

答案: Q = 1875 件

本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。

所需的税前利润

1 500/(1 − 0.2) = €1 875

所需销量

Q = (7 500 + 1 875)/5 = 1 875

答案

Q = 1 875 件

10.盈亏平衡分析

答案: MS = 20 %

盈亏平衡销量

Q = F/(p − v) = 25 000/5 = 5 000

安全边际

MS = (6 250 − 5 000)/6 250·100 = 20%

答案

MS = 20%

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