公司金融：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值
FV = PV·(1 + i)n
现值
PV = FV/(1 + i)n
每年多个计息期
i = r/m, N = m·n
年金现值
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
年金终值
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i

方法

  1. 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
  2. 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
  3. 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
  4. 检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
等额现金流
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
内部收益率
使 NPV = 0 的 r
决策
NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

  1. 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
  2. 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
  3. 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
  4. 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
半年付息
C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率
C/P
价格与收益率
收益率上升 → 价格下降

方法

  1. 求每期票息和每期收益率。
  2. 价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
  3. 半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
  4. 检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
企业价值
V = E + D

盈亏平衡分析

边际贡献
CM = p − v
盈亏平衡销量
QBE = FC/(p − v)
目标利润
Q = (FC + profit)/(p − v)
利润
π = (p − v)·Q − FC
安全边际
(Q − QBE)/Q

2练习题

1.货币的时间价值中等
年0123…8PV = ?€50 000

你在 8 年后需要 €50 000。某账户年利率 2%，按季度复利。今天需要存入多少？求现值 PV。

FV = €50 0002% / 4n = 8
PV = €
2.货币的时间价值困难
月0123…36A?AA€30 000

你希望在 3 年后得到 €30 000。你在每月月末把相同的金额存入一个年利率 5.4%、按月复利的账户。求每月存款额 A。

FV = €30 0005.4% / 12N = 36
A = €
3.NPV 与 IRR中等
年012345−40 00011 5009 00010 00013 00013 500

一个项目今天需投入 €40 000，在第 1 年到第 5 年的每年年末回报 €11 500, €9 000, €10 000, €13 000, €13 500。资本成本为 6%。假设现金流在每年内均匀流入。求折现回收期 DPB，以年表示。

r = 6%CF0 = −40 000CF1 = 11 500CF2 = 9 000CF3 = 10 000CF4 = 13 000CF5 = 13 500
DPB = 年
4.NPV 与 IRR困难
年012−10 0007 0005 500

某项目投入 €10 000，在第 1 年至第 2 年年末每年回收 €7 000, €5 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF0 = −10 000CF1 = 7 000CF2 = 5 500
IRR = %
5.债券定价与收益率中等
半年0123…14€30€30€30 + €1 000P = ?

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 6%，每半年付息一次，7 年后到期。到期收益率为每年 3%。 求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 6%YTM = 3%n = 7
P = €
6.债券定价与收益率困难
年01234€945€40€40 + €1 000

一张面值为 €1 000、年票面利率为 4% 的债券 4 年后到期，售价为 €945。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 4%n = 4P = €945
YTM = %
7.CAPM 与 WACC中等
βr (%)SMLrf​ = 1%β = 1rm​ = ?β = 0.6re​ = 4%

一只贝塔为 0.6 的股票要求回报为 4%。无风险利率为 1%。CAPM 隐含的预期市场回报 rm 是多少？

β = 0.6re = 4%rf = 1%
rm = %
8.CAPM 与 WACC困难
WACC = ?所有者权益4 000 000 × €11.00D0​ = €0.60g = 3%债务€35 200 000rd​ = 5%T = 20%

一家公司有 4 000 000 股股票，股价为 €11.00；其股权账面价值为 €22 000 000。公司刚支付了每股 €0.60 的股利，股利每年增长 3%。其债务市场价值为 €35 200 000，税前成本为 5%。税率为 20%。用股利增长模型计算股权资本成本，求 WACC。

N = 4 000 000P0 = €11.00股权账面价值 = €22 000 000D0 = €0.60g = 3%D = €35 200 000rd = 5%T = 20%
WACC = %
9.盈亏平衡分析中等
Q€收入总成本固定成本1500

一家公司以每件 €33 的价格销售 1 500 件。单位变动成本为 €25，固定成本为 €8 000。求该销售水平下的经营杠杆系数 DOL。

Q = 1 500p = €33v = €25F = €8 000
DOL =
10.盈亏平衡分析困难
F = €40 000, Q = ?销售组合5 × Ap = €21v = €152 × Bp = €40v = €30

一家公司销售两种产品。产品 A 售价 €21，变动成本 €15；产品 B 售价 €40，变动成本 €30。两者按固定组合销售，每销售 5 件 A 就销售 2 件 B。固定成本为每月 €40 000。求达到盈亏平衡所需的总件数 Q（A 和 B 合计）。

pA = €21, vA = €15pB = €40, vB = €30A : B = 5 : 2F = €40 000
Q = 件

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 42624 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = 0.02/4 = 0.005
N = 4·8 = 32

现值

PV = FV/(1 + i)N = 50 000/1.173 = €42 624.18

答案

PV = €42 624.18
2.货币的时间价值

答案: A = 769.5 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

月利率和存款次数

i = 0.054000000000000006/12 = 0.0045
N = 12·3 = 36

存款额

A = FV·i/((1 + i)N − 1) = 30 000·0.0045/(1.175 − 1) = €769.52

答案

A = €769.52
3.NPV 与 IRR

答案: DPB = 4.243 年

回收期：累计现金流收回初始投资所需的时间。假定每年的现金在年内均匀流入，所以最后一段是一年中的一部分。简单回收期忽略货币的时间价值；折现回收期则使用折现后的现金流。

折现现金流和累计现金流

年份 1: 11 500/1.06 = 10 849.06 → Σ = 10 849.06
年份 2: 9 000/1.124 = 8 009.97 → Σ = 18 859.02
年份 3: 10 000/1.191 = 8 396.19 → Σ = 27 255.22
年份 4: 13 000/1.262 = 10 297.22 → Σ = 37 552.44
年份 5: 13 500/1.338 = 10 087.99 → Σ = 47 640.42

最后一年的分数

DPB = 4 + 2 447.56/10 087.99 = 4.243

答案

DPB = 4.243 年

折现回收期总是长于简单回收期（3.731 年）。

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 17.01 %

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(15%) = 245.75
NPV(20%) = −347.22

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 15 + 5·245.75/(245.75 − (−347.22)) = 17.07%
精确: NPV(17.01%) = 0 → IRR = 17.01%

答案

IRR = 17.01%
5.债券定价与收益率

答案: P = 1188 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €30.00, i = 0.015, N = 14

票息的现值

€30.00·(1 − 0.8118)/0.015 = €376.30

面值的现值

€1 000·0.8118 = €811.85

价格

P = €1 188.15

答案

P = €1 188.15

收益率低于票面利率，所以债券溢价出售。

6.债券定价与收益率

答案: YTM = 5.572 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

收益率方程

€945 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴

数值求解

P(5%) = €964.54, P(6%) = €930.70
YTM = 5.572%

答案

YTM = 5.572%
7.CAPM 与 WACC

答案: rm = 6 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

市场风险溢价

rm − rf = (4% − 1%)/0.6 = 5%

市场回报

rm = 1% + 5% = 6%

答案

rm = 6%
8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 6.566 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

股权成本

D1 = 0.6·1.03 = €0.62
re = 0.618/11 + 0.03 = 8.618%

市场价值

E = 4 000 000·€11.00 = €44 000 000
V = €79 200 000, E/V = 0.5556, D/V = 0.4444

WACC

WACC = 0.5556·8.618% + 0.4444·5%·(1 − 0.2) = 6.566%

答案

WACC = 6.566%
9.盈亏平衡分析

答案: DOL = 3

经营杠杆：固定成本使利润对销售额的反应更强烈。经营杠杆系数 DOL = 边际贡献/营业利润，表示销售额变化 1% 时利润变化 DOL %。它在刚超过盈亏平衡点时非常高，并随销售额增长而下降。

边际贡献总额

CM = 1 500·(33 − 25) = €12 000

营业利润

Π = 12 000 − 8 000 = €4 000

DOL

DOL = 12 000/4 000 = 3

答案

DOL = 3
10.盈亏平衡分析

答案: Q = 5600 件

有销售组合时的盈亏平衡：当产品按固定比例销售时，使用加权平均边际贡献：把每种产品的 p − v 按其件数所占份额加权。盈亏平衡件数 = F/（加权边际贡献），再按组合比例分配。

边际贡献

cmA = €6, cmB = €10

加权边际贡献

(5·6 + 2·10)/7 = €7.14

盈亏平衡件数

Q = 40 000/7.143 = 5 600
A: 4 000, B: 1 600

答案

Q = 5 600 件

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