公司金融：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

盈亏平衡分析

边际贡献: CM = p − v
盈亏平衡销量: Q_BE = FC/(p − v)
目标利润: Q = (FC + profit)/(p − v)
利润: π = (p − v)·Q − FC
安全边际: (Q − Q_BE)/Q

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以名义年利率 2% 投资 €8 000，按季度复利。求 5 年后的投资价值 FV。

PV = €8 0002% / 4n = 5

FV = €

2.货币的时间价值困难

你在 6 年内每月月末存入 €250。账户年利率 2.4%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。

A = €2502.4% / 12N = 72

FV = €

3.NPV 与 IRR中等

一台机器今天花费 €80 000。它在 6 年内每年年末产生 €18 000，之后可以以 €20 000 出售。资本成本为 6%。求净现值 NPV。

C₀ = €80 000CF = €18 000S = €20 000n = 6r = 6%

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

一个项目需投入 €25 000，在第 1 年到第 3 年的每年年末回报 €15 000, €10 000, €13 000。现金流可按 8% 的资本成本再投资。求修正内部收益率 MIRR，以百分比表示。

r = 8%CF₀ = −25 000CF₁ = 15 000CF₂ = 10 000CF₃ = 13 000

MIRR = %

5.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 6%，每半年付息一次，4 年后到期。到期收益率为每年 3%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 6%YTM = 3%n = 4

P = €

6.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 6% 的债券 3 年后到期，售价为 €935。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 6%n = 3P = €935

YTM = %

7.CAPM 与 WACC中等

一家公司的股权价值为 €10 000 000，债务价值为 €2 000 000。其 WACC 为 11.43%，税前债务成本为 5%，税率为 28%。求股权资本成本 r_e。

E = €10 000 000D = €2 000 000WACC = 11.43%r_d = 5%T = 28%

r_e = %

8.CAPM 与 WACC困难

一家公司股权的市场价值为 €10 000 000，股权资本成本为 9%。其债务由 2 000 张债券组成（面值 €1 000，年票息 7%，剩余期限 5 年），每张交易价格为 €1 042。税率为 21%。以债券的到期收益率作为税前债务成本，求 WACC。

E = €10 000 000r_e = 9%债券: 2 000 × €1 042票面利率 = 7%n = 5T = 21%

WACC = %

9.盈亏平衡分析中等

一种产品可以用两种方法生产。方法 A 每年固定成本为 €15 000，单位变动成本为 €12。自动化程度更高的方法 B 每年固定成本为 €19 000，单位变动成本为 €8。年产量 Q 为多少时两种方法成本相同？

F_A = €15 000v_A = €12F_B = €19 000v_B = €8

Q = 件

10.盈亏平衡分析困难

某产品售价每件 €37，单位变动成本 €25，每年固定成本 €60 000。预算销量为 9 000 件。求安全边际 MS，以占预算销量的百分比表示。

F = €60 000p = €37v = €25预算 = 9 000

MS = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 8839 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = r/m = 0.02/4 = 0.005

N = m·n = 4·5 = 20

终值

FV = 8 000·(1 + 0.005)²⁰ = 8 000·1.105 = €8 839.16

答案

FV = €8 839.16

2.货币的时间价值

答案: FV = 19340 €

月利率和存款次数

i = 0.024/12 = 0.002

N = 12·6 = 72

存款的终值

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 250·(1.155 − 1)/0.002 = €19 339.75

答案

FV = €19 339.75

你自己存入了 €18 000；其余是利息。

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = 22611 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

每年现金流的现值

18 000·4.917 = 88 511.84

残值的现值

20 000/1.419 = 14 099.21

NPV

NPV = −80 000 + 88 511.84 + 14 099.21 = €22 611.05

答案

NPV = €22 611.05

4.NPV 与 IRR

答案: MIRR = 18.21 %

修正 IRR：把每笔流入按再投资利率（通常为资本成本）复利到项目结束，得到终值 TV。MIRR 是把初始投资变为 TV 的利率：MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1。

流入的终值

15 000·1.08² = 17 496.00

10 000·1.08¹ = 10 800.00

13 000·1.08⁰ = 13 000.00

TV = 41 296.00

MIRR

MIRR = (41 296.00/25 000)^1/3 − 1 = 18.21%

答案

MIRR = 18.21%

5.债券定价与收益率

答案: P = 1112 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €30.00, i = 0.015, N = 8

票息的现值

€30.00·(1 − 0.8877)/0.015 = €224.58

面值的现值

€1 000·0.8877 = €887.71

价格

P = €1 112.29

答案

P = €1 112.29

收益率低于票面利率，所以债券溢价出售。

6.债券定价与收益率

答案: YTM = 8.547 %

收益率方程

€935 = €60·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³

数值求解

P(8%) = €948.46, P(9%) = €924.06

YTM = 8.547%

答案

YTM = 8.547%

7.CAPM 与 WACC

答案: r_e = 13 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €12 000 000, E/V = 0.8333, D/V = 0.1667

WACC 中的债务部分

0.1667·5%·(1 − 0.28) = 0.6%

股权成本

r_e = (11.43% − 0.6%)/0.8333 = 13%

答案

r_e = 13%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 8.266 %

债务成本 (YTM)

1042 = 70·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + 1000/(1 + y)⁵

y = 6.003%

市场价值

D = 2 000·€1 042 = €2 084 000

V = €12 084 000, E/V = 0.8275, D/V = 0.1725

WACC

WACC = 0.8275·9% + 0.1725·6.003%·(1 − 0.21) = 8.266%

答案

WACC = 8.266%

9.盈亏平衡分析

答案: Q = 1000 件

本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。

总成本相等

15 000 + 12Q = 19 000 + 8Q

求 Q

Q = (19 000 − 15 000)/(12 − 8) = 1 000

答案

Q = 1 000 件

产量低于此值时方法 A 更便宜；高于此值时自动化的方法 B 更便宜。

10.盈亏平衡分析

答案: MS = 44.44 %

盈亏平衡销量

Q = F/(p − v) = 60 000/12 = 5 000

安全边际

MS = (9 000 − 5 000)/9 000·100 = 44.44%

答案

MS = 44.44%

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