公司金融：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

盈亏平衡分析

边际贡献: CM = p − v
盈亏平衡销量: Q_BE = FC/(p − v)
目标利润: Q = (FC + profit)/(p − v)
利润: π = (p − v)·Q − FC
安全边际: (Q − Q_BE)/Q

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以每年 6% 的利率连续复利投资 €2 000。求 12 年后的价值 FV。

PV = €2 000r = 6%t = 12

FV = €

2.货币的时间价值困难

你在每年年初存入 €5 000，共 29 年，第一笔今天存入。账户年利率为 5%。第 29 年年末账户里有多少钱？求 FV。

A = €5 000i = 5%n = 29

FV = €

3.NPV 与 IRR中等

一个项目今天需投入 €500 000。它在第一年年末产生 €52 000，之后现金流每年永久增长 4%。资本成本为 12%。求净现值 NPV。

C₀ = €500 000CF₁ = €52 000g = 4%r = 12%

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €20 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €8 000, €8 000, €7 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −20 000CF₁ = 8 000CF₂ = 8 000CF₃ = 7 500

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 5%，每半年付息一次，9 年后到期。到期收益率为每年 5.5%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 5%YTM = 5.5%n = 9

P = €

6.债券定价与收益率困难

一只剩余期限为 14 年的债券（面值 €1 000，年票息 9%）售价 €1 225。发行人可在 3 年后以 €1 090 的赎回价格赎回。求赎回收益率 YTC，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 9%P = €1 225赎回价格 = €1 090赎回时间 3 年

YTC = %

7.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €3 000 000 的股权和价值 €3 000 000 的债务。其股权成本为 13%，税前债务成本为 3.5%，税率为 28%。求 WACC。

E = €3 000 000D = €3 000 000r_e = 13%r_d = 3.5%T = 28%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

某公司有4 000 000 股、每股 €8.00 的股票，以及 40 000 张、每张市价 €1 000 的债券。税前债务成本为 7%，税率为 28%。股票的 β 系数为 0.8，无风险利率为 2.5%，市场回报率为 9.5%。求 WACC。

β = 0.8r_f = 2.5%r_m = 9.5%r_d = 7%T = 28%

WACC = %

9.盈亏平衡分析中等

一家公司以每件 €30 的价格销售 1 250 件。单位变动成本为 €15，固定成本为 €15 000。求该销售水平下的经营杠杆系数 DOL。

Q = 1 250p = €30v = €15F = €15 000

DOL =

10.盈亏平衡分析困难

一家公司以每件 €16 销售 1 280 件，单位变动成本为 €6，固定成本为 €8 000。如果销量增加 10%，营业利润变化百分之多少 %ΔΠ？

Q = 1 280p = €16v = €6F = €8 000%ΔQ = +10%

%ΔΠ = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 4109 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

指数

r·t = 0.06·12 = 0.72

e^0.72 = 2.054

终值

FV = 2 000·2.054 = €4 108.87

答案

FV = €4 108.87

2.货币的时间价值

答案: FV = 327194 €

普通年金系数

((1 + 0.05)²⁹ − 1)/0.05 = 62.32

先付年金

每笔存款都多投资一年。

FV = 5 000·62.32·1.05 = €327 194.24

答案

FV = €327 194.24

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = 150000 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

现金流的价值

PV = 52 000/(0.12 − 0.04) = 650 000.00

NPV

NPV = 650 000.00 − 500 000 = €150 000.00

答案

NPV = €150 000.00

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 8.615 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(5%) = 1 354.07

NPV(10%) = −480.84

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 5 + 5·1 354.07/(1 354.07 − (−480.84)) = 8.69%

精确: NPV(8.615%) = 0 → IRR = 8.615%

答案

IRR = 8.615%

5.债券定价与收益率

答案: P = 964.9 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €25.00, i = 0.0275, N = 18

票息的现值

€25.00·(1 − 0.6137)/0.0275 = €351.22

面值的现值

€1 000·0.6137 = €613.66

价格

P = €964.88

答案

P = €964.88

收益率高于票面利率，所以债券折价出售。

6.债券定价与收益率

答案: YTC = 3.81 %

收益率方程

1225 = 90·(1 − (1 + y)⁻³)/y + 1090/(1 + y)³

数值求解

y = 3%: €1 252.08

y = 4%: €1 218.76

YTC = 3.81%

答案

YTC = 3.81%

到期收益率为 6.503%。溢价债券的投资者预期它会被赎回，所以较低的赎回收益率更符合实际。

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 7.76 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €6 000 000, E/V = 0.5, D/V = 0.5

WACC

WACC = 0.5·13% + 0.5·3.5%·(1 − 0.28) = 7.76%

答案

WACC = 7.76%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 6.4 %

市场价值

E = 4 000 000·€8.00 = €32 000 000

D = 40 000·€1 000 = €40 000 000

股权成本（CAPM）

r_e = 2.5% + 0.8·7% = 8.1%

权重

V = €72 000 000, E/V = 0.4444, D/V = 0.5556

WACC

WACC = 0.4444·8.1% + 0.5556·7%·(1 − 0.28) = 6.4%

答案

WACC = 6.4%

9.盈亏平衡分析

答案: DOL = 5

经营杠杆：固定成本使利润对销售额的反应更强烈。经营杠杆系数 DOL = 边际贡献/营业利润，表示销售额变化 1% 时利润变化 DOL %。它在刚超过盈亏平衡点时非常高，并随销售额增长而下降。

边际贡献总额

CM = 1 250·(30 − 15) = €18 750

营业利润

Π = 18 750 − 15 000 = €3 750

DOL

DOL = 18 750/3 750 = 5

答案

DOL = 5

10.盈亏平衡分析

答案: %ΔΠ = 26.67 %

边际贡献和利润

CM = 1 280·10 = €12 800

Π = 12 800 − 8 000 = €4 800

DOL

DOL = 12 800/4 800 = 2.667

利润的变化

%ΔΠ = 2.667·(+10%) = +26.67%

答案

%ΔΠ = +26.67%

校核：新利润 = 1 408·10 − 8 000 = €6 080.00。

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