公司金融：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

盈亏平衡分析

边际贡献: CM = p − v
盈亏平衡销量: Q_BE = FC/(p − v)
目标利润: Q = (FC + profit)/(p − v)
利润: π = (p − v)·Q − FC
安全边际: (Q − Q_BE)/Q

2练习题

1.货币的时间价值中等

你在 5 年后需要 €5 000。某账户年利率 3.6%，按月复利。今天需要存入多少？求现值 PV。

FV = €5 0003.6% / 12n = 5

PV = €

2.货币的时间价值困难

你在 6 年内每月月末存入 €250。账户年利率 7.2%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。

A = €2507.2% / 12N = 72

FV = €

3.NPV 与 IRR中等

一个项目今天需投入 €100 000。它在第一年年末产生 €6 000，之后现金流每年永久增长 4%。资本成本为 9%。求净现值 NPV。

C₀ = €100 000CF₁ = €6 000g = 4%r = 9%

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

一个项目需投入 €50 000，在第 1 年到第 4 年的每年年末回报 €21 500, €23 000, €21 500, €18 500。现金流可按 6% 的资本成本再投资。求修正内部收益率 MIRR，以百分比表示。

r = 6%CF₀ = −50 000CF₁ = 21 500CF₂ = 23 000CF₃ = 21 500CF₄ = 18 500

MIRR = %

5.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 4.5%，每半年付息一次，5 年后到期。到期收益率为每年 9%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 4.5%YTM = 9%n = 5

P = €

6.债券定价与收益率困难

一只债券的交易价格为 €1 030，到期收益率为 4%（按年复利），麦考利久期为 6 年。如果收益率下降 100 个基点，用修正久期估计新价格 P。

P₀ = €1 030y = 4%D = 6Δy = −100 bp

P = €

7.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €4 000 000 的股权和价值 €2 000 000 的债务。其股权成本为 10%，税前债务成本为 6%，税率为 20%。求 WACC。

E = €4 000 000D = €2 000 000r_e = 10%r_d = 6%T = 20%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

一家公司股票在当前负债权益比 0.2 下的贝塔为 1.3。公司计划把负债权益比提高到 0.75。税率为 25.8%，无风险利率为 3%，市场风险溢价为 5.5%。求变化后的股权资本成本 r_e。

β_L = 1.3D/E₁ = 0.2D/E₂ = 0.75T = 25.8%r_f = 3%r_m − r_f = 5.5%

r_e = %

9.盈亏平衡分析中等

某产品售价每件 €18，单位变动成本 €8。每月固定成本为 €50 000。每月需卖出多少件 Q 才能实现利润 €6 000？

F = €50 000p = €18v = €8利润 = €6 000

Q = 件

10.盈亏平衡分析困难

一家公司以每件 €60 销售 1 000 件，单位变动成本为 €45，固定成本为 €12 000。如果销量增加 12%，营业利润变化百分之多少 %ΔΠ？

Q = 1 000p = €60v = €45F = €12 000%ΔQ = +12%

%ΔΠ = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 4177 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = 0.036000000000000004/12 = 0.003

N = 12·5 = 60

现值

PV = FV/(1 + i)^N = 5 000/1.197 = €4 177.48

答案

PV = €4 177.48

2.货币的时间价值

答案: FV = 22431 €

月利率和存款次数

i = 0.07200000000000001/12 = 0.006

N = 12·6 = 72

存款的终值

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 250·(1.538 − 1)/0.006 = €22 431.17

答案

FV = €22 431.17

你自己存入了 €18 000；其余是利息。

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = 20000 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

现金流的价值

PV = 6 000/(0.09 − 0.04) = 120 000.00

NPV

NPV = 120 000.00 − 100 000 = €20 000.00

答案

NPV = €20 000.00

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: MIRR = 16.7 %

修正 IRR：把每笔流入按再投资利率（通常为资本成本）复利到项目结束，得到终值 TV。MIRR 是把初始投资变为 TV 的利率：MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1。

流入的终值

21 500·1.06³ = 25 606.84

23 000·1.06² = 25 842.80

21 500·1.06¹ = 22 790.00

18 500·1.06⁰ = 18 500.00

TV = 92 739.64

MIRR

MIRR = (92 739.64/50 000)^1/4 − 1 = 16.7%

答案

MIRR = 16.7%

5.债券定价与收益率

答案: P = 822 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €22.50, i = 0.045, N = 10

票息的现值

€22.50·(1 − 0.6439)/0.045 = €178.04

面值的现值

€1 000·0.6439 = €643.93

价格

P = €821.96

答案

P = €821.96

收益率高于票面利率，所以债券折价出售。

6.债券定价与收益率

答案: P = 1089 €

久期：麦考利久期是债券支付各笔现金流的加权平均时间，以各笔现金流的现值为权重：D = Σ t·PVₜ/P。修正久期 D/(1 + y) 用于估计收益率小幅变化时价格变化的百分比：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

修正久期

D_mod = 6/1.04 = 5.769

估计的价格变化

%ΔP ≈ −5.769·(−0.01) = 5.769%

P ≈ 1030·(1 + 0.05769) = €1 089.42

答案

P = €1 089.42

久期是线性估计；收益率变化较大时，凸性会使实际价格略高一些。

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 8.267 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €6 000 000, E/V = 0.6667, D/V = 0.3333

WACC

WACC = 0.6667·10% + 0.3333·6%·(1 − 0.2) = 8.267%

答案

WACC = 8.267%

8.CAPM 与 WACC

答案: r_e = 12.69 %

有杠杆贝塔（哈马达公式）：负债使股权风险增大。β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E)，其中 β_U 是无负债时业务的贝塔。要把贝塔转换到另一种资本结构，先去杠杆，再按新的 D/E 加杠杆。

对贝塔去杠杆

β_U = 1.3/(1 + 0.742·0.2) = 1.132

按新的 D/E 重新加杠杆

β_L = 1.132·(1 + 0.742·0.75) = 1.762

股权成本（CAPM）

r_e = 3% + 1.762·5.5% = 12.69%

答案

r_e = 12.69%

9.盈亏平衡分析

答案: Q = 5600 件

本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。

单位边际贡献

p − v = 18 − 8 = €10

实现目标利润的销量

Q = (F + 利润)/(p − v) = (50 000 + 6 000)/10 = 5 600

答案

Q = 5 600 件

10.盈亏平衡分析

答案: %ΔΠ = 60 %

经营杠杆：固定成本使利润对销售额的反应更强烈。经营杠杆系数 DOL = 边际贡献/营业利润，表示销售额变化 1% 时利润变化 DOL %。它在刚超过盈亏平衡点时非常高，并随销售额增长而下降。

边际贡献和利润

CM = 1 000·15 = €15 000

Π = 15 000 − 12 000 = €3 000

DOL

DOL = 15 000/3 000 = 5

利润的变化

%ΔΠ = 5·(+12%) = +60%

答案

%ΔΠ = +60%

校核：新利润 = 1 120·15 − 12 000 = €4 800.00。

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