公司金融：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

盈亏平衡分析

边际贡献: CM = p − v
盈亏平衡销量: Q_BE = FC/(p − v)
目标利润: Q = (FC + profit)/(p − v)
利润: π = (p − v)·Q − FC
安全边际: (Q − Q_BE)/Q

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以每年 2% 的利率连续复利投资 €20 000。求 11 年后的价值 FV。

PV = €20 000r = 2%t = 11

FV = €

2.货币的时间价值困难

一笔 €200 000 的抵押贷款在 30 年内按月等额偿还，年利率 6%，按月复利。在第 11 年年末那次还款之后，还欠多少？求未偿余额 B。

P = €200 0006% / 12N = 360k = 132

B = €

3.NPV 与 IRR中等

一台机器今天花费 €60 000，使用 4 年，每年运行费用为 €4 000（每年年末支付）。资本成本为 5%。求其等值年成本 EAC。

C₀ = €60 000M = €4 000n = 4r = 5%

EAC = €

4.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €20 000，在第 1 年至第 2 年年末每年回收 €8 500, €13 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −20 000CF₁ = 8 500CF₂ = 13 500

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 2%，每半年付息一次，12 年后到期。到期收益率为每年 3%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 2%YTM = 3%n = 12

P = €

6.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 8% 的债券 5 年后到期，售价为 €960。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 8%n = 5P = €960

YTM = %

7.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €8 000 000 的股权和价值 €3 000 000 的债务。其股权成本为 12%，税前债务成本为 3.5%，税率为 21%。求 WACC。

E = €8 000 000D = €3 000 000r_e = 12%r_d = 3.5%T = 21%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

某公司有5 000 000 股、每股 €40.50 的股票，以及 5 000 张、每张市价 €980 的债券。税前债务成本为 3%，税率为 25.8%。股票的 β 系数为 1.2，无风险利率为 3%，市场回报率为 9%。求 WACC。

β = 1.2r_f = 3%r_m = 9%r_d = 3%T = 25.8%

WACC = %

9.盈亏平衡分析中等

一种产品可以用两种方法生产。方法 A 每年固定成本为 €25 000，单位变动成本为 €12。自动化程度更高的方法 B 每年固定成本为 €37 000，单位变动成本为 €9。年产量 Q 为多少时两种方法成本相同？

F_A = €25 000v_A = €12F_B = €37 000v_B = €9

Q = 件

10.盈亏平衡分析困难

一家公司以每件 €21 销售 6 400 件，单位变动成本为 €6，固定成本为 €60 000。如果销量减少 20%，营业利润变化百分之多少 %ΔΠ？

Q = 6 400p = €21v = €6F = €60 000%ΔQ = −20%

%ΔΠ = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 24922 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

指数

r·t = 0.02·11 = 0.22

e^0.22 = 1.246

终值

FV = 20 000·1.246 = €24 921.53

答案

FV = €24 921.53

2.货币的时间价值

答案: B = 162903 €

月供

i = 0.005, N = 360

A = 200 000·0.005/(1 − (1 + 0.005)⁻³⁶⁰) = €1 199.10

剩余还款的现值

尚欠的金额必须恰好由剩余的还款还清。

N − k = 360 − 132 = 228

B = 1199·(1 − (1 + 0.005)⁻²²⁸)/0.005 = €162 902.97

答案

B = €162 902.97

3.NPV 与 IRR

答案: EAC = 20921 €

等值年成本：把所有成本的现值在寿命期内分摊为每年相等的金额（一份年金）：EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ)。它可以用来比较寿命不同的机器。

年金系数

(1 − 1.05⁻⁴)/0.05 = 3.546

年化购置价格

60 000/3.546 = 16 920.71

EAC

EAC = 16 920.71 + 4 000 = €20 920.71

答案

EAC = €20 920.71

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 6.112 %

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(5%) = 340.14

NPV(10%) = −1 115.70

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 5 + 5·340.14/(340.14 − (−1 115.70)) = 6.168%

精确: NPV(6.112%) = 0 → IRR = 6.112%

答案

IRR = 6.112%

5.债券定价与收益率

答案: P = 899.8 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €10.00, i = 0.015, N = 24

票息的现值

€10.00·(1 − 0.6995)/0.015 = €200.30

面值的现值

€1 000·0.6995 = €699.54

价格

P = €899.85

答案

P = €899.85

收益率高于票面利率，所以债券折价出售。

6.债券定价与收益率

答案: YTM = 9.029 %

收益率方程

€960 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵

数值求解

P(9%) = €961.10, P(10%) = €924.18

YTM = 9.029%

答案

YTM = 9.029%

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 9.481 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €11 000 000, E/V = 0.7273, D/V = 0.2727

WACC

WACC = 0.7273·12% + 0.2727·3.5%·(1 − 0.21) = 9.481%

答案

WACC = 9.481%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 10.01 %

市场价值

E = 5 000 000·€40.50 = €202 500 000

D = 5 000·€980 = €4 900 000

股权成本（CAPM）

r_e = 3% + 1.2·6% = 10.2%

权重

V = €207 400 000, E/V = 0.9764, D/V = 0.02363

WACC

WACC = 0.9764·10.2% + 0.02363·3%·(1 − 0.258) = 10.01%

答案

WACC = 10.01%

9.盈亏平衡分析

答案: Q = 4000 件

本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。

总成本相等

25 000 + 12Q = 37 000 + 9Q

求 Q

Q = (37 000 − 25 000)/(12 − 9) = 4 000

答案

Q = 4 000 件

产量低于此值时方法 A 更便宜；高于此值时自动化的方法 B 更便宜。

10.盈亏平衡分析

答案: %ΔΠ = −53.33 %

经营杠杆：固定成本使利润对销售额的反应更强烈。经营杠杆系数 DOL = 边际贡献/营业利润，表示销售额变化 1% 时利润变化 DOL %。它在刚超过盈亏平衡点时非常高，并随销售额增长而下降。

边际贡献和利润

CM = 6 400·15 = €96 000

Π = 96 000 − 60 000 = €36 000

DOL

DOL = 96 000/36 000 = 2.667

利润的变化

%ΔΠ = 2.667·(−20%) = −53.33%

答案

%ΔΠ = −53.33%

校核：新利润 = 5 120·15 − 60 000 = €16 800.00。

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