公司金融：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

盈亏平衡分析

边际贡献: CM = p − v
盈亏平衡销量: Q_BE = FC/(p − v)
目标利润: Q = (FC + profit)/(p − v)
利润: π = (p − v)·Q − FC
安全边际: (Q − Q_BE)/Q

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以名义年利率 3% 投资 €1 000，按月复利。求 3 年后的投资价值 FV。

PV = €1 0003% / 12n = 3

FV = €

2.货币的时间价值困难

你以每年 6% 的利率借入 €12 000，按月复利，每月月末偿还 €200。需要多少个月才能还清贷款（最后一笔还款可以较少）？给出还款次数 N。

P = €12 000A = €2006% / 12

N = 次还款

3.NPV 与 IRR中等

一项 €60 000 的投资在第 1 年至第 3 年年末带来以下现金流：€21 000, €26 000, €29 000。资本成本为 12%。求净现值 NPV。

r = 12%CF₀ = −60 000CF₁ = 21 000CF₂ = 26 000CF₃ = 29 000

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

一个项目需投入 €25 000，在第 1 年到第 4 年的每年年末回报 €15 000, €9 000, €10 500, €8 000。现金流可按 6% 的资本成本再投资。求修正内部收益率 MIRR，以百分比表示。

r = 6%CF₀ = −25 000CF₁ = 15 000CF₂ = 9 000CF₃ = 10 500CF₄ = 8 000

MIRR = %

5.债券定价与收益率中等

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 4% 的票息，9 年后到期。其到期收益率从 3.5% 变为 1.5%。债券价格变化多少 ΔP？

F = €1 000票面利率 = 4%n = 9y₁ = 3.5%y₂ = 1.5%

ΔP = €

6.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 4% 的债券 7 年后到期，售价为 €940。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 4%n = 7P = €940

YTM = %

7.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €12 000 000 的股权和价值 €1 000 000 的债务。其股权成本为 10%，税前债务成本为 4.5%，税率为 30%。求 WACC。

E = €12 000 000D = €1 000 000r_e = 10%r_d = 4.5%T = 30%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

某公司有2 500 000 股、每股 €17.50 的股票，以及 20 000 张、每张市价 €980 的债券。税前债务成本为 5%，税率为 30%。股票的 β 系数为 1.1，无风险利率为 4%，市场回报率为 9.5%。求 WACC。

β = 1.1r_f = 4%r_m = 9.5%r_d = 5%T = 30%

WACC = %

9.盈亏平衡分析中等

一种产品可以用两种方法生产。方法 A 每年固定成本为 €20 000，单位变动成本为 €25。自动化程度更高的方法 B 每年固定成本为 €22 000，单位变动成本为 €21。年产量 Q 为多少时两种方法成本相同？

F_A = €20 000v_A = €25F_B = €22 000v_B = €21

Q = 件

10.盈亏平衡分析困难

一家公司以每件 €28 销售 4 000 件，单位变动成本为 €8，固定成本为 €50 000。如果销量减少 8%，营业利润变化百分之多少 %ΔΠ？

Q = 4 000p = €28v = €8F = €50 000%ΔQ = −8%

%ΔΠ = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 1094 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = r/m = 0.03/12 = 0.0025

N = m·n = 12·3 = 36

终值

FV = 1 000·(1 + 0.0025)³⁶ = 1 000·1.094 = €1 094.05

答案

FV = €1 094.05

2.货币的时间价值

答案: N = 72 次还款

将年金公式变形

i = 0.005

(1 + i)^−N = 1 − 12 000·0.005/200 = 0.7

用对数求解

N = −ln(0.7)/ln(1.005) = 71.51

向上取整到整次还款

71 次全额还款后还剩少量余额，由最后一笔较少的还款还清。

N = 72

答案

N = 72 次还款

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = 118.7 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0.12)¹ = 21 000/1.12 = 18 750.00

CF₂/(1 + 0.12)² = 26 000/1.254 = 20 727.04

CF₃/(1 + 0.12)³ = 29 000/1.405 = 20 641.63

相加

NPV = €118.67

答案

NPV = €118.67

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: MIRR = 17.16 %

修正 IRR：把每笔流入按再投资利率（通常为资本成本）复利到项目结束，得到终值 TV。MIRR 是把初始投资变为 TV 的利率：MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1。

流入的终值

15 000·1.06³ = 17 865.24

9 000·1.06² = 10 112.40

10 500·1.06¹ = 11 130.00

8 000·1.06⁰ = 8 000.00

TV = 47 107.64

MIRR

MIRR = (47 107.64/25 000)^1/4 − 1 = 17.16%

答案

MIRR = 17.16%

5.债券定价与收益率

答案: ΔP = 171 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

按原收益率计算的价格

C = €40.00, i = 0.035, N = 9

€40.00·(1 − 0.7337)/0.035 + €1 000·0.7337 = €304.31 + €733.73 = €1 038.04

按新收益率计算的价格

C = €40.00, i = 0.015, N = 9

€40.00·(1 − 0.8746)/0.015 + €1 000·0.8746 = €334.42 + €874.59 = €1 209.01

变化

ΔP = 1 209.01 − 1 038.04 = €170.97

答案

ΔP = €170.97

6.债券定价与收益率

答案: YTM = 5.038 %

收益率方程

€940 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷

数值求解

P(5%) = €942.14, P(6%) = €888.35

YTM = 5.038%

答案

YTM = 5.038%

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 9.473 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €13 000 000, E/V = 0.9231, D/V = 0.07692

WACC

WACC = 0.9231·10% + 0.07692·4.5%·(1 − 0.3) = 9.473%

答案

WACC = 9.473%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 8.023 %

市场价值

E = 2 500 000·€17.50 = €43 750 000

D = 20 000·€980 = €19 600 000

股权成本（CAPM）

r_e = 4% + 1.1·5.5% = 10.05%

权重

V = €63 350 000, E/V = 0.6906, D/V = 0.3094

WACC

WACC = 0.6906·10.05% + 0.3094·5%·(1 − 0.3) = 8.023%

答案

WACC = 8.023%

9.盈亏平衡分析

答案: Q = 500 件

本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。

总成本相等

20 000 + 25Q = 22 000 + 21Q

求 Q

Q = (22 000 − 20 000)/(25 − 21) = 500

答案

Q = 500 件

产量低于此值时方法 A 更便宜；高于此值时自动化的方法 B 更便宜。

10.盈亏平衡分析

答案: %ΔΠ = −21.33 %

经营杠杆：固定成本使利润对销售额的反应更强烈。经营杠杆系数 DOL = 边际贡献/营业利润，表示销售额变化 1% 时利润变化 DOL %。它在刚超过盈亏平衡点时非常高，并随销售额增长而下降。

边际贡献和利润

CM = 4 000·20 = €80 000

Π = 80 000 − 50 000 = €30 000

DOL

DOL = 80 000/30 000 = 2.667

利润的变化

%ΔΠ = 2.667·(−8%) = −21.33%

答案

%ΔΠ = −21.33%

校核：新利润 = 3 680·20 − 50 000 = €23 600.00。

ExamProblems · examproblems.com/courses/corporate-finance