货币的时间价值
- 终值
- FV = PV·(1 + i)n
- 现值
- PV = FV/(1 + i)n
- 每年多个计息期
- i = r/m, N = m·n
- 年金现值
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金终值
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
方法
- 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
- 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
- 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
- 检查答案的符号和数量级。
公司金融：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
NPV 与 IRR
- 净现值
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 等额现金流
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部收益率
- 使 NPV = 0 的 r
- 决策
- NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受
方法
- 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
- 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
- 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
- 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。
债券定价与收益率
- 债券价格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年付息
- C/2、y/2 和 2n 期
- 当期收益率
- C/P
- 价格与收益率
- 收益率上升 → 价格下降
方法
- 求每期票息和每期收益率。
- 价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
- 半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
- 检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。
CAPM 与 WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企业价值
- V = E + D
盈亏平衡分析
- 边际贡献
- CM = p − v
- 盈亏平衡销量
- QBE = FC/(p − v)
- 目标利润
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利润
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全边际
- (Q − QBE)/Q
2练习题
1.货币的时间价值中等
你在 2 年后需要 €15 000。某账户年利率 2%，按季度复利。今天需要存入多少？求现值 PV。
FV = €15 0002% / 4n = 2
PV = €
2.货币的时间价值困难
你希望在 12 年后得到 €10 000。你在每月月末把相同的金额存入一个年利率 3%、按月复利的账户。求每月存款额 A。
FV = €10 0003% / 12N = 144
A = €
3.NPV 与 IRR中等
一台机器今天花费 €50 000，使用 9 年，每年运行费用为 €2 000（每年年末支付）。资本成本为 8%。求其等值年成本 EAC。
C0 = €50 000M = €2 000n = 9r = 8%
EAC = €
4.NPV 与 IRR困难
某项目投入 €50 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €28 000, €20 500, €25 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。
CF0 = −50 000CF1 = 28 000CF2 = 20 500CF3 = 25 000
IRR = %
5.债券定价与收益率中等
你在一只剩余期限为 12 年的债券（面值 €1 000，年票息 8%）到期收益率为 6% 时买入。一年后，刚收到第一笔票息，你在到期收益率为 6.5% 时把它卖出。求你的持有期收益率 HPR，以百分比表示。
F = €1 000票面利率 = 8%n = 12y0 = 6%y1 = 6.5%
HPR = %
6.债券定价与收益率困难
一张面值为 €1 000、年票面利率为 4% 的债券 3 年后到期，售价为 €1 060。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。
F = €1 000票面利率 = 4%n = 3P = €1 060
YTM = %
7.CAPM 与 WACC中等
某公司有价值 €10 000 000 的股权和价值 €6 000 000 的债务。其股权成本为 10%，税前债务成本为 3.5%，税率为 30%。求 WACC。
E = €10 000 000D = €6 000 000re = 10%rd = 3.5%T = 30%
WACC = %
8.CAPM 与 WACC困难
某公司有2 000 000 股、每股 €42.50 的股票，以及 10 000 张、每张市价 €1 020 的债券。税前债务成本为 4%，税率为 25%。股票的 β 系数为 1.5，无风险利率为 2.5%，市场回报率为 7%。求 WACC。
β = 1.5rf = 2.5%rm = 7%rd = 4%T = 25%
WACC = %
9.盈亏平衡分析中等
一种产品售价 €27，单位变动成本为 €12。固定成本为每月 €15 000，利润按 20% 征税。每月必须售出多少件 Q 才能获得税后 €3 000？
p = €27v = €12F = €15 000T = 20%税后利润 = €3 000
Q = 件
10.盈亏平衡分析困难
一家公司以每件 €17 销售 1 000 件，单位变动成本为 €15，固定成本为 €1 000。如果销量增加 15%，营业利润变化百分之多少 %ΔΠ？
Q = 1 000p = €17v = €15F = €1 000%ΔQ = +15%
%ΔΠ = %
3溶液
1.货币的时间价值
答案: PV = 14413 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
利率和期数
i = 0.02/4 = 0.005
N = 4·2 = 8
现值
PV = FV/(1 + i)N = 15 000/1.041 = €14 413.28
答案
PV = €14 413.28
2.货币的时间价值
答案: A = 57.78 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
月利率和存款次数
i = 0.03/12 = 0.0025
N = 12·12 = 144
存款额
A = FV·i/((1 + i)N − 1) = 10 000·0.0025/(1.433 − 1) = €57.78
答案
A = €57.78
3.NPV 与 IRR
答案: EAC = 10004 €
等值年成本：把所有成本的现值在寿命期内分摊为每年相等的金额（一份年金）：EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ)。它可以用来比较寿命不同的机器。
年金系数
(1 − 1.08−9)/0.08 = 6.247
年化购置价格
50 000/6.247 = 8 003.99
EAC
EAC = 8 003.99 + 2 000 = €10 003.99
答案
EAC = €10 003.99
4.NPV 与 IRR
答案: IRR = 22.66 %
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
夹逼 IRR
利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。
NPV(20%) = 2 037.04
NPV(25%) = −1 680.00
缩小范围
线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。
IRR ≈ 20 + 5·2 037.04/(2 037.04 − (−1 680.00)) = 22.74%
精确: NPV(22.66%) = 0 → IRR = 22.66%
答案
IRR = 22.66%
5.债券定价与收益率
答案: HPR = 2.369 %
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
买入价
C = €80.00, i = 0.06, N = 12
€80.00·(1 − 0.497)/0.06 + €1 000·0.497 = €670.71 + €496.97 = €1 167.68
卖出价
C = €80.00, i = 0.065, N = 11
€80.00·(1 − 0.5002)/0.065 + €1 000·0.5002 = €615.12 + €500.21 = €1 115.34
持有期收益率
HPR = (80 + 1 115.34 − 1 167.68)/1 167.68 = 2.369%
答案
HPR = 2.369%
6.债券定价与收益率
答案: YTM = 1.923 %
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
收益率方程
€1 060 = €40·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³
数值求解
P(1%) = €1 088.23, P(2%) = €1 057.68
YTM = 1.923%
答案
YTM = 1.923%
7.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 7.169 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
权重
V = €16 000 000, E/V = 0.625, D/V = 0.375
WACC
WACC = 0.625·10% + 0.375·3.5%·(1 − 0.3) = 7.169%
答案
WACC = 7.169%
8.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 8.58 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
市场价值
E = 2 000 000·€42.50 = €85 000 000
D = 10 000·€1 020 = €10 200 000
股权成本（CAPM）
re = 2.5% + 1.5·4.5% = 9.25%
权重
V = €95 200 000, E/V = 0.8929, D/V = 0.1071
WACC
WACC = 0.8929·9.25% + 0.1071·4%·(1 − 0.25) = 8.58%
答案
WACC = 8.58%
9.盈亏平衡分析
答案: Q = 1250 件
本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。
所需的税前利润
3 000/(1 − 0.2) = €3 750
所需销量
Q = (15 000 + 3 750)/15 = 1 250
答案
Q = 1 250 件
10.盈亏平衡分析
答案: %ΔΠ = 30 %
经营杠杆：固定成本使利润对销售额的反应更强烈。经营杠杆系数 DOL = 边际贡献/营业利润，表示销售额变化 1% 时利润变化 DOL %。它在刚超过盈亏平衡点时非常高，并随销售额增长而下降。
边际贡献和利润
CM = 1 000·2 = €2 000
Π = 2 000 − 1 000 = €1 000
DOL
DOL = 2 000/1 000 = 2
利润的变化
%ΔΠ = 2·(+15%) = +30%
答案
%ΔΠ = +30%
校核：新利润 = 1 150·2 − 1 000 = €1 300.00。
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