货币的时间价值
- 终值
- FV = PV·(1 + i)n
- 现值
- PV = FV/(1 + i)n
- 每年多个计息期
- i = r/m, N = m·n
- 年金现值
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金终值
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
方法
- 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
- 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
- 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
- 检查答案的符号和数量级。
公司金融：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
NPV 与 IRR
- 净现值
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 等额现金流
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部收益率
- 使 NPV = 0 的 r
- 决策
- NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受
方法
- 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
- 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
- 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
- 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。
债券定价与收益率
- 债券价格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年付息
- C/2、y/2 和 2n 期
- 当期收益率
- C/P
- 价格与收益率
- 收益率上升 → 价格下降
方法
- 求每期票息和每期收益率。
- 价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
- 半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
- 检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。
CAPM 与 WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企业价值
- V = E + D
盈亏平衡分析
- 边际贡献
- CM = p − v
- 盈亏平衡销量
- QBE = FC/(p − v)
- 目标利润
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利润
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全边际
- (Q − QBE)/Q
2练习题
1.货币的时间价值中等
你以名义年利率 2% 投资 €1 000，按季度复利。求 2 年后的投资价值 FV。
PV = €1 0002% / 4n = 2
FV = €
2.货币的时间价值困难
一笔 €25 000 的贷款在 5 年内以等额月供偿还。年利率 2.4%，按月复利。求月供 A。
P = €25 0002.4% / 12N = 60
A = €
3.NPV 与 IRR中等
一项 €45 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€12 000, €18 000, €10 000, €20 000。资本成本为 10%。求净现值 NPV。
r = 10%CF0 = −45 000CF1 = 12 000CF2 = 18 000CF3 = 10 000CF4 = 20 000
NPV = €
4.NPV 与 IRR困难
一笔 €25 000 的投资在 7 年内每年年末回报 €4 000。求其内部收益率 IRR，以百分比表示。
C0 = €25 000CF = €4 000n = 7
IRR = %
5.债券定价与收益率中等
你在一只剩余期限为 4 年的债券（面值 €1 000，年票息 5%）到期收益率为 2.5% 时买入。一年后，刚收到第一笔票息，你在到期收益率为 4% 时把它卖出。求你的持有期收益率 HPR，以百分比表示。
F = €1 000票面利率 = 5%n = 4y0 = 2.5%y1 = 4%
HPR = %
6.债券定价与收益率困难
一张面值为 €1 000、年票面利率为 5% 的债券 10 年后到期，售价为 €1 125。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。
F = €1 000票面利率 = 5%n = 10P = €1 125
YTM = %
7.CAPM 与 WACC中等
一家公司的融资由价值 €10 000 000 的普通股、价值 €1 000 000 的优先股和价值 €4 000 000 的债务构成。股权资本成本为 9%，优先股成本为 7%，税前债务成本为 6%。税率为 28%。求 WACC。
E = €10 000 000Ps = €1 000 000D = €4 000 000re = 9%rp = 7%rd = 6%T = 28%
WACC = %
8.CAPM 与 WACC困难
一家公司股票在当前负债权益比 0.2 下的贝塔为 1.2。公司计划把负债权益比提高到 0.75。税率为 21%，无风险利率为 2%，市场风险溢价为 4%。求变化后的股权资本成本 re。
βL = 1.2D/E1 = 0.2D/E2 = 0.75T = 21%rf = 2%rm − rf = 4%
re = %
9.盈亏平衡分析中等
某产品售价每件 €20，单位变动成本 €12。每月固定成本为 €40 000。每月需卖出多少件 Q 才能实现利润 €10 000？
F = €40 000p = €20v = €12利润 = €10 000
Q = 件
10.盈亏平衡分析困难
一家公司每月以每件 €51 销售 5 000 件，单位变动成本为 €45，固定成本为每月 €12 000。单位变动成本上涨 €3，价格保持不变。现在每月必须销售多少件 Q 才能保持相同的利润？
Q = 5 000p = €51v = €45 → €48F = €12 000
Q = 件
3溶液
1.货币的时间价值
答案: FV = 1041 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
利率和期数
i = r/m = 0.02/4 = 0.005
N = m·n = 4·2 = 8
终值
FV = 1 000·(1 + 0.005)8 = 1 000·1.041 = €1 040.71
答案
FV = €1 040.71
2.货币的时间价值
答案: A = 442.6 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
月利率和还款期数
i = 0.024/12 = 0.002
N = 12·5 = 60
每期还款
N 笔等额付款 A 的现值为 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i。令其等于贷款额，解出 A。
(1 + i)−N = 0.887
A = 25 000·0.002/(1 − 0.887) = €442.58
答案
A = €442.58
3.NPV 与 IRR
答案: NPV = 1959 €
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
各笔现金流的现值
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0.1)1 = 12 000/1.1 = 10 909.09
CF2/(1 + 0.1)2 = 18 000/1.21 = 14 876.03
CF3/(1 + 0.1)3 = 10 000/1.331 = 7 513.15
CF4/(1 + 0.1)4 = 20 000/1.464 = 13 660.27
相加
NPV = €1 958.54
答案
NPV = €1 958.54
NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。
4.NPV 与 IRR
答案: IRR = 2.916 %
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
所需的年金系数
(1 − (1 + i)−7)/i = 25 000/4 000 = 6.25
求利率
利率升高时年金系数下降；先确定利率所在区间，再逐步缩小。
i = 2%: 6.472
i = 3%: 6.23
IRR = 2.916%
答案
IRR = 2.916%
5.债券定价与收益率
答案: HPR = −1.49 %
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
买入价
C = €50.00, i = 0.025, N = 4
€50.00·(1 − 0.906)/0.025 + €1 000·0.906 = €188.10 + €905.95 = €1 094.05
卖出价
C = €50.00, i = 0.04, N = 3
€50.00·(1 − 0.889)/0.04 + €1 000·0.889 = €138.75 + €889.00 = €1 027.75
持有期收益率
HPR = (50 + 1 027.75 − 1 094.05)/1 094.05 = −1.49%
答案
HPR = −1.49%
6.债券定价与收益率
答案: YTM = 3.497 %
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
收益率方程
€1 125 = €50·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰
数值求解
P(3%) = €1 170.60, P(4%) = €1 081.11
YTM = 3.497%
答案
YTM = 3.497%
7.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 7.619 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
权重
V = 10 000 000 + 1 000 000 + 4 000 000 = €15 000 000
E/V = 0.6667, Ps/V = 0.06667, D/V = 0.2667
WACC
WACC = 0.6667·9% + 0.06667·7% + 0.2667·6%·(1 − 0.28) = 7.619%
答案
WACC = 7.619%
8.CAPM 与 WACC
答案: re = 8.601 %
有杠杆贝塔（哈马达公式）：负债使股权风险增大。βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E)，其中 βU 是无负债时业务的贝塔。要把贝塔转换到另一种资本结构，先去杠杆，再按新的 D/E 加杠杆。
对贝塔去杠杆
βU = 1.2/(1 + 0.79·0.2) = 1.036
按新的 D/E 重新加杠杆
βL = 1.036·(1 + 0.79·0.75) = 1.65
股权成本（CAPM）
re = 2% + 1.65·4% = 8.601%
答案
re = 8.601%
9.盈亏平衡分析
答案: Q = 6250 件
本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。
单位边际贡献
p − v = 20 − 12 = €8
实现目标利润的销量
Q = (F + 利润)/(p − v) = (40 000 + 10 000)/8 = 6 250
答案
Q = 6 250 件
10.盈亏平衡分析
答案: Q = 10000 件
本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。
当前利润
Π = 5 000·(51 − 45) − 12 000 = €18 000
新的单位边际贡献
51 − 48 = €3
保持相同利润所需的件数
Q = (12 000 + 18 000)/3 = 10 000
答案
Q = 10 000 件
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