公司金融：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

盈亏平衡分析

边际贡献: CM = p − v
盈亏平衡销量: Q_BE = FC/(p − v)
目标利润: Q = (FC + profit)/(p − v)
利润: π = (p − v)·Q − FC
安全边际: (Q − Q_BE)/Q

2练习题

1.货币的时间价值中等

一张信用卡的名义年利率为 25%，每天复利。求实际年利率 EAR，以百分比表示。

r = 25%m = 365

EAR = %

2.货币的时间价值困难

你在 13 年内每月月末存入 €150。账户年利率 3.6%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。

A = €1503.6% / 12N = 156

FV = €

3.NPV 与 IRR中等

一个项目今天需投入 €250 000。它在第一年年末产生 €24 000，之后现金流每年永久增长 3%。资本成本为 11%。求净现值 NPV。

C₀ = €250 000CF₁ = €24 000g = 3%r = 11%

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €40 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €22 000, €19 500, €24 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −40 000CF₁ = 22 000CF₂ = 19 500CF₃ = 24 000

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

你在一只剩余期限为 6 年的债券（面值 €1 000，年票息 6%）到期收益率为 9% 时买入。一年后，刚收到第一笔票息，你在到期收益率为 10% 时把它卖出。求你的持有期收益率 HPR，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 6%n = 6y₀ = 9%y₁ = 10%

HPR = %

6.债券定价与收益率困难

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 5% 的票息，4 年后到期。到期收益率为 2.5%。求麦考利久期 D，以年表示。

F = €1 000票面利率 = 5%n = 4YTM = 2.5%

D = 年

7.CAPM 与 WACC中等

一家公司的负债权益比（按市场价值）为 0.25。其股权资本成本为 14%，税前债务成本为 4%，税率为 25.8%。求 WACC。

D/E = 0.25r_e = 14%r_d = 4%T = 25.8%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

某公司有2 500 000 股、每股 €56.50 的股票，以及 20 000 张、每张市价 €1 050 的债券。税前债务成本为 6%，税率为 25%。股票的 β 系数为 0.9，无风险利率为 1%，市场回报率为 7%。求 WACC。

β = 0.9r_f = 1%r_m = 7%r_d = 6%T = 25%

WACC = %

9.盈亏平衡分析中等

一种产品可以用两种方法生产。方法 A 每年固定成本为 €30 000，单位变动成本为 €20。自动化程度更高的方法 B 每年固定成本为 €37 500，单位变动成本为 €15。年产量 Q 为多少时两种方法成本相同？

F_A = €30 000v_A = €20F_B = €37 500v_B = €15

Q = 件

10.盈亏平衡分析困难

一家公司销售两种产品。产品 A 售价 €18，变动成本 €12；产品 B 售价 €27，变动成本 €15。两者按固定组合销售，每销售 5 件 A 就销售 2 件 B。固定成本为每月 €54 000。求达到盈亏平衡所需的总件数 Q（A 和 B 合计）。

p_A = €18, v_A = €12p_B = €27, v_B = €15A : B = 5 : 2F = €54 000

Q = 件

3溶液

1.货币的时间价值

答案: EAR = 28.39 %

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

每期利率

r/m = 0.25/365 = 0.0006849

复利一年

EAR = (1 + 0.0006849)³⁶⁵ − 1 = 1.284 − 1 = 28.39%

答案

EAR = 28.39%

当一年内复利多于一次时，实际年利率总是高于名义利率。

2.货币的时间价值

答案: FV = 29784 €

月利率和存款次数

i = 0.036000000000000004/12 = 0.003

N = 12·13 = 156

存款的终值

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 150·(1.596 − 1)/0.003 = €29 783.95

答案

FV = €29 783.95

你自己存入了 €23 400；其余是利息。

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = 50000 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

现金流的价值

PV = 24 000/(0.11 − 0.03) = 300 000.00

NPV

NPV = 300 000.00 − 250 000 = €50 000.00

答案

NPV = €50 000.00

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 28.92 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(25%) = 2 368.00

NPV(30%) = −614.47

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 25 + 5·2 368.00/(2 368.00 − (−614.47)) = 28.97%

精确: NPV(28.92%) = 0 → IRR = 28.92%

答案

IRR = 28.92%

5.债券定价与收益率

答案: HPR = 4.962 %

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

买入价

C = €60.00, i = 0.09, N = 6

€60.00·(1 − 0.5963)/0.09 + €1 000·0.5963 = €269.16 + €596.27 = €865.42

卖出价

C = €60.00, i = 0.1, N = 5

€60.00·(1 − 0.6209)/0.1 + €1 000·0.6209 = €227.45 + €620.92 = €848.37

持有期收益率

HPR = (60 + 848.37 − 865.42)/865.42 = 4.962%

答案

HPR = 4.962%

6.债券定价与收益率

答案: D = 3.737 年

久期：麦考利久期是债券支付各笔现金流的加权平均时间，以各笔现金流的现值为权重：D = Σ t·PVₜ/P。修正久期 D/(1 + y) 用于估计收益率小幅变化时价格变化的百分比：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

各笔现金流的现值

t = 1: 50/1.025 = 48.78, t·PV = 48.78

t = 2: 50/1.051 = 47.59, t·PV = 95.18

t = 3: 50/1.077 = 46.43, t·PV = 139.29

t = 4: 1050/1.104 = 951.25, t·PV = 3 804.99

久期

P = 1 094.05

D = 4 088.24/1 094.05 = 3.737

答案

D = 3.737 年

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 11.79 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

由 D/E 求权重

E/V = 1/(1 + 0.25) = 0.8

D/V = 0.25/(1 + 0.25) = 0.2

WACC

WACC = 0.8·14% + 0.2·4%·(1 − 0.258) = 11.79%

答案

WACC = 11.79%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 6.154 %

市场价值

E = 2 500 000·€56.50 = €141 250 000

D = 20 000·€1 050 = €21 000 000

股权成本（CAPM）

r_e = 1% + 0.9·6% = 6.4%

权重

V = €162 250 000, E/V = 0.8706, D/V = 0.1294

WACC

WACC = 0.8706·6.4% + 0.1294·6%·(1 − 0.25) = 6.154%

答案

WACC = 6.154%

9.盈亏平衡分析

答案: Q = 1500 件

本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。

总成本相等

30 000 + 20Q = 37 500 + 15Q

求 Q

Q = (37 500 − 30 000)/(20 − 15) = 1 500

答案

Q = 1 500 件

产量低于此值时方法 A 更便宜；高于此值时自动化的方法 B 更便宜。

10.盈亏平衡分析

答案: Q = 7000 件

有销售组合时的盈亏平衡：当产品按固定比例销售时，使用加权平均边际贡献：把每种产品的 p − v 按其件数所占份额加权。盈亏平衡件数 = F/（加权边际贡献），再按组合比例分配。

边际贡献

cm_A = €6, cm_B = €12

加权边际贡献

(5·6 + 2·12)/7 = €7.71

盈亏平衡件数

Q = 54 000/7.714 = 7 000

A: 5 000, B: 2 000

答案

Q = 7 000 件

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