货币的时间价值
- 终值
- FV = PV·(1 + i)n
- 现值
- PV = FV/(1 + i)n
- 每年多个计息期
- i = r/m, N = m·n
- 年金现值
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金终值
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
方法
- 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
- 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
- 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
- 检查答案的符号和数量级。
公司金融：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
NPV 与 IRR
- 净现值
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 等额现金流
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部收益率
- 使 NPV = 0 的 r
- 决策
- NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受
方法
- 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
- 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
- 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
- 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。
债券定价与收益率
- 债券价格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年付息
- C/2、y/2 和 2n 期
- 当期收益率
- C/P
- 价格与收益率
- 收益率上升 → 价格下降
方法
- 求每期票息和每期收益率。
- 价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
- 半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
- 检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。
CAPM 与 WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企业价值
- V = E + D
盈亏平衡分析
- 边际贡献
- CM = p − v
- 盈亏平衡销量
- QBE = FC/(p − v)
- 目标利润
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利润
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全边际
- (Q − QBE)/Q
2练习题
1.货币的时间价值中等
你以每年 2% 的利率连续复利投资 €20 000。求 9 年后的价值 FV。
PV = €20 000r = 2%t = 9
FV = €
2.货币的时间价值困难
一笔 €12 000 的贷款在 6 年内以等额月供偿还。年利率 7.2%，按月复利。求月供 A。
P = €12 0007.2% / 12N = 72
A = €
3.NPV 与 IRR中等
一项 €20 000 的投资在第 1 年至第 3 年年末带来以下现金流：€6 000, €6 000, €5 000。资本成本为 5%。求净现值 NPV。
r = 5%CF0 = −20 000CF1 = 6 000CF2 = 6 000CF3 = 5 000
NPV = €
4.NPV 与 IRR困难
某项目投入 €50 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €17 500, €17 500, €18 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。
CF0 = −50 000CF1 = 17 500CF2 = 17 500CF3 = 18 500
IRR = %
5.债券定价与收益率中等
一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 6%，每半年付息一次，10 年后到期。到期收益率为每年 4%。 求该债券的价格 P。
F = €1 000票面利率 = 6%YTM = 4%n = 10
P = €
6.债券定价与收益率困难
一张面值为 €1 000、年票面利率为 5% 的债券 4 年后到期，售价为 €930。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。
F = €1 000票面利率 = 5%n = 4P = €930
YTM = %
7.CAPM 与 WACC中等
一家公司的股权价值为 €5 000 000，债务价值为 €1 000 000。其 WACC 为 9.89%，税前债务成本为 6%，税率为 28%。求股权资本成本 re。
E = €5 000 000D = €1 000 000WACC = 9.89%rd = 6%T = 28%
re = %
8.CAPM 与 WACC困难
某公司有1 000 000 股、每股 €46.50 的股票，以及 40 000 张、每张市价 €1 050 的债券。税前债务成本为 6%，税率为 25%。股票的 β 系数为 1.8，无风险利率为 2%，市场回报率为 6.5%。求 WACC。
β = 1.8rf = 2%rm = 6.5%rd = 6%T = 25%
WACC = %
9.盈亏平衡分析中等
某产品售价每件 €28，单位变动成本 €8。每月固定成本为 €80 000。每月需卖出多少件 Q 才能实现利润 €12 000？
F = €80 000p = €28v = €8利润 = €12 000
Q = 件
10.盈亏平衡分析困难
某产品售价每件 €50，单位变动成本 €45，每年固定成本 €6 000。预算销量为 1 440 件。求安全边际 MS，以占预算销量的百分比表示。
F = €6 000p = €50v = €45预算 = 1 440
MS = %
3溶液
1.货币的时间价值
答案: FV = 23944 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
指数
r·t = 0.02·9 = 0.18
e0.18 = 1.197
终值
FV = 20 000·1.197 = €23 944.35
答案
FV = €23 944.35
2.货币的时间价值
答案: A = 205.7 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
月利率和还款期数
i = 0.07200000000000001/12 = 0.006
N = 12·6 = 72
每期还款
N 笔等额付款 A 的现值为 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i。令其等于贷款额，解出 A。
(1 + i)−N = 0.65
A = 12 000·0.006/(1 − 0.65) = €205.74
答案
A = €205.74
3.NPV 与 IRR
答案: NPV = −4524 €
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
各笔现金流的现值
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0.05)1 = 6 000/1.05 = 5 714.29
CF2/(1 + 0.05)2 = 6 000/1.103 = 5 442.18
CF3/(1 + 0.05)3 = 5 000/1.158 = 4 319.19
相加
NPV = €−4 524.35
答案
NPV = €−4 524.35
NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。
4.NPV 与 IRR
答案: IRR = 3.428 %
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
夹逼 IRR
利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。
NPV(0%) = 3 500.00
NPV(5%) = −1 479.32
缩小范围
线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。
IRR ≈ 0 + 5·3 500.00/(3 500.00 − (−1 479.32)) = 3.515%
精确: NPV(3.428%) = 0 → IRR = 3.428%
答案
IRR = 3.428%
5.债券定价与收益率
答案: P = 1164 €
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
每期
C = €30.00, i = 0.02, N = 20
票息的现值
€30.00·(1 − 0.673)/0.02 = €490.54
面值的现值
€1 000·0.673 = €672.97
价格
P = €1 163.51
答案
P = €1 163.51
收益率低于票面利率，所以债券溢价出售。
6.债券定价与收益率
答案: YTM = 7.07 %
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
收益率方程
€930 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴
数值求解
P(7%) = €932.26, P(8%) = €900.64
YTM = 7.07%
答案
YTM = 7.07%
7.CAPM 与 WACC
答案: re = 11 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
权重
V = €6 000 000, E/V = 0.8333, D/V = 0.1667
WACC 中的债务部分
0.1667·6%·(1 − 0.28) = 0.72%
股权成本
re = (9.89% − 0.72%)/0.8333 = 11%
答案
re = 11%
8.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 7.442 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
市场价值
E = 1 000 000·€46.50 = €46 500 000
D = 40 000·€1 050 = €42 000 000
股权成本（CAPM）
re = 2% + 1.8·4.5% = 10.1%
权重
V = €88 500 000, E/V = 0.5254, D/V = 0.4746
WACC
WACC = 0.5254·10.1% + 0.4746·6%·(1 − 0.25) = 7.442%
答案
WACC = 7.442%
9.盈亏平衡分析
答案: Q = 4600 件
本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。
单位边际贡献
p − v = 28 − 8 = €20
实现目标利润的销量
Q = (F + 利润)/(p − v) = (80 000 + 12 000)/20 = 4 600
答案
Q = 4 600 件
10.盈亏平衡分析
答案: MS = 16.67 %
本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。
盈亏平衡销量
Q = F/(p − v) = 6 000/5 = 1 200
安全边际
MS = (1 440 − 1 200)/1 440·100 = 16.67%
答案
MS = 16.67%
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