公司金融：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

盈亏平衡分析

边际贡献: CM = p − v
盈亏平衡销量: Q_BE = FC/(p − v)
目标利润: Q = (FC + profit)/(p − v)
利润: π = (p − v)·Q − FC
安全边际: (Q − Q_BE)/Q

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以名义年利率 3% 投资 €2 000，按季度复利。求 8 年后的投资价值 FV。

PV = €2 0003% / 4n = 8

FV = €

2.货币的时间价值困难

你在 20 年内每月月末存入 €500。账户年利率 3.6%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。

A = €5003.6% / 12N = 240

FV = €

3.NPV 与 IRR中等

一个项目今天需投入 €100 000。它在第一年年末产生 €9 000，之后现金流每年永久增长 2%。资本成本为 9%。求净现值 NPV。

C₀ = €100 000CF₁ = €9 000g = 2%r = 9%

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €25 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €13 500, €11 000, €15 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −25 000CF₁ = 13 500CF₂ = 11 000CF₃ = 15 500

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 8%，每半年付息一次，6 年后到期。到期收益率为每年 3%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 8%YTM = 3%n = 6

P = €

6.债券定价与收益率困难

一只债券的交易价格为 €1 055，到期收益率为 6%（按年复利），麦考利久期为 3.9 年。如果收益率下降 75 个基点，用修正久期估计新价格 P。

P₀ = €1 055y = 6%D = 3.9Δy = −75 bp

P = €

7.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €8 000 000 的股权和价值 €2 000 000 的债务。其股权成本为 14%，税前债务成本为 5%，税率为 28%。求 WACC。

E = €8 000 000D = €2 000 000r_e = 14%r_d = 5%T = 28%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

一家公司股票在当前负债权益比 0.4 下的贝塔为 1.1。公司计划把负债权益比提高到 1。税率为 25.8%，无风险利率为 3.5%，市场风险溢价为 4.5%。求变化后的股权资本成本 r_e。

β_L = 1.1D/E₁ = 0.4D/E₂ = 1T = 25.8%r_f = 3.5%r_m − r_f = 4.5%

r_e = %

9.盈亏平衡分析中等

一家公司以每件 €26 的价格销售 1 880 件。单位变动成本为 €18，固定成本为 €12 000。求该销售水平下的经营杠杆系数 DOL。

Q = 1 880p = €26v = €18F = €12 000

DOL =

10.盈亏平衡分析困难

一家公司销售两种产品。产品 A 售价 €15，变动成本 €10；产品 B 售价 €35，变动成本 €20。两者按固定组合销售，每销售 3 件 A 就销售 2 件 B。固定成本为每月 €27 000。求达到盈亏平衡所需的总件数 Q（A 和 B 合计）。

p_A = €15, v_A = €10p_B = €35, v_B = €20A : B = 3 : 2F = €27 000

Q = 件

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 2540 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = r/m = 0.03/4 = 0.0075

N = m·n = 4·8 = 32

终值

FV = 2 000·(1 + 0.0075)³² = 2 000·1.27 = €2 540.22

答案

FV = €2 540.22

2.货币的时间价值

答案: FV = 175370 €

月利率和存款次数

i = 0.036000000000000004/12 = 0.003

N = 12·20 = 240

存款的终值

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 500·(2.052 − 1)/0.003 = €175 370.01

答案

FV = €175 370.01

你自己存入了 €120 000；其余是利息。

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = 28571 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

现金流的价值

PV = 9 000/(0.09 − 0.02) = 128 571.43

NPV

NPV = 128 571.43 − 100 000 = €28 571.43

答案

NPV = €28 571.43

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 27.05 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(25%) = 776.00

NPV(30%) = −1 051.43

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 25 + 5·776.00/(776.00 − (−1 051.43)) = 27.12%

精确: NPV(27.05%) = 0 → IRR = 27.05%

答案

IRR = 27.05%

5.债券定价与收益率

答案: P = 1273 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €40.00, i = 0.015, N = 12

票息的现值

€40.00·(1 − 0.8364)/0.015 = €436.30

面值的现值

€1 000·0.8364 = €836.39

价格

P = €1 272.69

答案

P = €1 272.69

收益率低于票面利率，所以债券溢价出售。

6.债券定价与收益率

答案: P = 1084 €

久期：麦考利久期是债券支付各笔现金流的加权平均时间，以各笔现金流的现值为权重：D = Σ t·PVₜ/P。修正久期 D/(1 + y) 用于估计收益率小幅变化时价格变化的百分比：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

修正久期

D_mod = 3.9/1.06 = 3.679

估计的价格变化

%ΔP ≈ −3.679·(−0.0075) = 2.759%

P ≈ 1055·(1 + 0.02759) = €1 084.11

答案

P = €1 084.11

久期是线性估计；收益率变化较大时，凸性会使实际价格略高一些。

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 11.92 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €10 000 000, E/V = 0.8, D/V = 0.2

WACC

WACC = 0.8·14% + 0.2·5%·(1 − 0.28) = 11.92%

答案

WACC = 11.92%

8.CAPM 与 WACC

答案: r_e = 10.15 %

有杠杆贝塔（哈马达公式）：负债使股权风险增大。β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E)，其中 β_U 是无负债时业务的贝塔。要把贝塔转换到另一种资本结构，先去杠杆，再按新的 D/E 加杠杆。

对贝塔去杠杆

β_U = 1.1/(1 + 0.742·0.4) = 0.8482

按新的 D/E 重新加杠杆

β_L = 0.8482·(1 + 0.742·1) = 1.478

股权成本（CAPM）

r_e = 3.5% + 1.478·4.5% = 10.15%

答案

r_e = 10.15%

9.盈亏平衡分析

答案: DOL = 4.947

经营杠杆：固定成本使利润对销售额的反应更强烈。经营杠杆系数 DOL = 边际贡献/营业利润，表示销售额变化 1% 时利润变化 DOL %。它在刚超过盈亏平衡点时非常高，并随销售额增长而下降。

边际贡献总额

CM = 1 880·(26 − 18) = €15 040

营业利润

Π = 15 040 − 12 000 = €3 040

DOL

DOL = 15 040/3 040 = 4.947

答案

DOL = 4.947

10.盈亏平衡分析

答案: Q = 3000 件

有销售组合时的盈亏平衡：当产品按固定比例销售时，使用加权平均边际贡献：把每种产品的 p − v 按其件数所占份额加权。盈亏平衡件数 = F/（加权边际贡献），再按组合比例分配。

边际贡献

cm_A = €5, cm_B = €15

加权边际贡献

(3·5 + 2·15)/5 = €9.00

盈亏平衡件数

Q = 27 000/9 = 3 000

A: 1 800, B: 1 200

答案

Q = 3 000 件

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