公司金融：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

盈亏平衡分析

边际贡献: CM = p − v
盈亏平衡销量: Q_BE = FC/(p − v)
目标利润: Q = (FC + profit)/(p − v)
利润: π = (p − v)·Q − FC
安全边际: (Q − Q_BE)/Q

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以名义年利率 3% 投资 €8 000，按月复利。求 8 年后的投资价值 FV。

PV = €8 0003% / 12n = 8

FV = €

2.货币的时间价值困难

一笔 €200 000 的贷款在 20 年内以等额月供偿还。年利率 7.2%，按月复利。求月供 A。

P = €200 0007.2% / 12N = 240

A = €

3.NPV 与 IRR中等

一项 €30 000 的投资在第 1 年至第 3 年年末带来以下现金流：€15 000, €10 000, €12 000。资本成本为 15%。求净现值 NPV。

r = 15%CF₀ = −30 000CF₁ = 15 000CF₂ = 10 000CF₃ = 12 000

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €20 000，在第 1 年至第 2 年年末每年回收 €9 000, €14 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −20 000CF₁ = 9 000CF₂ = 14 500

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 8%，每半年付息一次，6 年后到期。到期收益率为每年 7%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 8%YTM = 7%n = 6

P = €

6.债券定价与收益率困难

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 8% 的票息，分两次半年支付，4 年后到期。其售价为 €1 187。求其到期收益率 YTM（以年利率表示，即半年收益率的两倍），以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 8% (2×)n = 4P = €1 187

YTM = %

7.CAPM 与 WACC中等

一家公司的融资由价值 €5 000 000 的普通股、价值 €1 000 000 的优先股和价值 €5 000 000 的债务构成。股权资本成本为 12%，优先股成本为 6%，税前债务成本为 5%。税率为 21%。求 WACC。

E = €5 000 000P_s = €1 000 000D = €5 000 000r_e = 12%r_p = 6%r_d = 5%T = 21%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

某公司有1 000 000 股、每股 €18.50 的股票，以及 40 000 张、每张市价 €1 000 的债券。税前债务成本为 3.5%，税率为 21%。股票的 β 系数为 0.9，无风险利率为 3.5%，市场回报率为 7.5%。求 WACC。

β = 0.9r_f = 3.5%r_m = 7.5%r_d = 3.5%T = 21%

WACC = %

9.盈亏平衡分析中等

一家公司以每件 €26 的价格销售 3 000 件。单位变动成本为 €6，固定成本为 €50 000。求该销售水平下的经营杠杆系数 DOL。

Q = 3 000p = €26v = €6F = €50 000

DOL =

10.盈亏平衡分析困难

一家公司销售两种产品。产品 A 售价 €16，变动成本 €10；产品 B 售价 €33，变动成本 €25。两者按固定组合销售，每销售 2 件 A 就销售 1 件 B。固定成本为每月 €4 000。求达到盈亏平衡所需的总件数 Q（A 和 B 合计）。

p_A = €16, v_A = €10p_B = €33, v_B = €25A : B = 2 : 1F = €4 000

Q = 件

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 10167 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = r/m = 0.03/12 = 0.0025

N = m·n = 12·8 = 96

终值

FV = 8 000·(1 + 0.0025)⁹⁶ = 8 000·1.271 = €10 166.95

答案

FV = €10 166.95

2.货币的时间价值

答案: A = 1575 €

月利率和还款期数

i = 0.07200000000000001/12 = 0.006

N = 12·20 = 240

每期还款

N 笔等额付款 A 的现值为 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i。令其等于贷款额，解出 A。

(1 + i)^−N = 0.2379

A = 200 000·0.006/(1 − 0.2379) = €1 574.70

答案

A = €1 574.70

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = −1505 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −30 000

CF₁/(1 + 0.15)¹ = 15 000/1.15 = 13 043.48

CF₂/(1 + 0.15)² = 10 000/1.322 = 7 561.44

CF₃/(1 + 0.15)³ = 12 000/1.521 = 7 890.19

相加

NPV = €−1 504.89

答案

NPV = €−1 504.89

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 10.57 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(10%) = 165.29

NPV(15%) = −1 209.83

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 10 + 5·165.29/(165.29 − (−1 209.83)) = 10.6%

精确: NPV(10.57%) = 0 → IRR = 10.57%

答案

IRR = 10.57%

5.债券定价与收益率

答案: P = 1048 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €40.00, i = 0.035, N = 12

票息的现值

€40.00·(1 − 0.6618)/0.035 = €386.53

面值的现值

€1 000·0.6618 = €661.78

价格

P = €1 048.32

答案

P = €1 048.32

收益率低于票面利率，所以债券溢价出售。

6.债券定价与收益率

答案: YTM = 3.004 %

每期

C = €40.00, N = 8

数值求解

i = 1.502% 每半年

YTM

YTM = 2·1.502% = 3.004%

答案

YTM = 3.004%

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 7.795 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = 5 000 000 + 1 000 000 + 5 000 000 = €11 000 000

E/V = 0.4545, P_s/V = 0.09091, D/V = 0.4545

WACC

WACC = 0.4545·12% + 0.09091·6% + 0.4545·5%·(1 − 0.21) = 7.795%

答案

WACC = 7.795%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 4.136 %

市场价值

E = 1 000 000·€18.50 = €18 500 000

D = 40 000·€1 000 = €40 000 000

股权成本（CAPM）

r_e = 3.5% + 0.9·4% = 7.1%

权重

V = €58 500 000, E/V = 0.3162, D/V = 0.6838

WACC

WACC = 0.3162·7.1% + 0.6838·3.5%·(1 − 0.21) = 4.136%

答案

WACC = 4.136%

9.盈亏平衡分析

答案: DOL = 6

经营杠杆：固定成本使利润对销售额的反应更强烈。经营杠杆系数 DOL = 边际贡献/营业利润，表示销售额变化 1% 时利润变化 DOL %。它在刚超过盈亏平衡点时非常高，并随销售额增长而下降。

边际贡献总额

CM = 3 000·(26 − 6) = €60 000

营业利润

Π = 60 000 − 50 000 = €10 000

DOL

DOL = 60 000/10 000 = 6

答案

DOL = 6

10.盈亏平衡分析

答案: Q = 600 件

有销售组合时的盈亏平衡：当产品按固定比例销售时，使用加权平均边际贡献：把每种产品的 p − v 按其件数所占份额加权。盈亏平衡件数 = F/（加权边际贡献），再按组合比例分配。

边际贡献

cm_A = €6, cm_B = €8

加权边际贡献

(2·6 + 1·8)/3 = €6.67

盈亏平衡件数

Q = 4 000/6.667 = 600

A: 400, B: 200

答案

Q = 600 件

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