公司金融：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

盈亏平衡分析

边际贡献: CM = p − v
盈亏平衡销量: Q_BE = FC/(p − v)
目标利润: Q = (FC + profit)/(p − v)
利润: π = (p − v)·Q − FC
安全边际: (Q − Q_BE)/Q

2练习题

1.货币的时间价值中等

你在 2 年后需要 €10 000。某账户年利率 4%，按月复利。今天需要存入多少？求现值 PV。

FV = €10 0004% / 12n = 2

PV = €

2.货币的时间价值困难

你在 18 年内每月月末存入 €250。账户年利率 3.6%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。

A = €2503.6% / 12N = 216

FV = €

3.NPV 与 IRR中等

一项 €75 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€32 000, €22 000, €34 000, €25 000。资本成本为 10%。求净现值 NPV。

r = 10%CF₀ = −75 000CF₁ = 32 000CF₂ = 22 000CF₃ = 34 000CF₄ = 25 000

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

一个项目需投入 €25 000，在第 1 年到第 4 年的每年年末回报 €9 000, €10 000, €11 000, €9 500。现金流可按 6% 的资本成本再投资。求修正内部收益率 MIRR，以百分比表示。

r = 6%CF₀ = −25 000CF₁ = 9 000CF₂ = 10 000CF₃ = 11 000CF₄ = 9 500

MIRR = %

5.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 3%，每半年付息一次，5 年后到期。到期收益率为每年 2.5%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 3%YTM = 2.5%n = 5

P = €

6.债券定价与收益率困难

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 6% 的票息，5 年后到期。到期收益率为 8%。求麦考利久期 D，以年表示。

F = €1 000票面利率 = 6%n = 5YTM = 8%

D = 年

7.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €12 000 000 的股权和价值 €2 000 000 的债务。其股权成本为 11%，税前债务成本为 6%，税率为 30%。求 WACC。

E = €12 000 000D = €2 000 000r_e = 11%r_d = 6%T = 30%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

某公司有2 500 000 股、每股 €43.50 的股票，以及 5 000 张、每张市价 €1 020 的债券。税前债务成本为 7%，税率为 28%。股票的 β 系数为 0.6，无风险利率为 4%，市场回报率为 10.5%。求 WACC。

β = 0.6r_f = 4%r_m = 10.5%r_d = 7%T = 28%

WACC = %

9.盈亏平衡分析中等

一家公司以每件 €21 的价格销售 3 750 件。单位变动成本为 €15，固定成本为 €9 000。求该销售水平下的经营杠杆系数 DOL。

Q = 3 750p = €21v = €15F = €9 000

DOL =

10.盈亏平衡分析困难

一家公司销售两种产品。产品 A 售价 €15，变动成本 €12；产品 B 售价 €35，变动成本 €20。两者按固定组合销售，每销售 3 件 A 就销售 1 件 B。固定成本为每月 €14 400。求达到盈亏平衡所需的总件数 Q（A 和 B 合计）。

p_A = €15, v_A = €12p_B = €35, v_B = €20A : B = 3 : 1F = €14 400

Q = 件

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 9232 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = 0.04/12 = 0.003333

N = 12·2 = 24

现值

PV = FV/(1 + i)^N = 10 000/1.083 = €9 232.39

答案

PV = €9 232.39

2.货币的时间价值

答案: FV = 75822 €

月利率和存款次数

i = 0.036000000000000004/12 = 0.003

N = 12·18 = 216

存款的终值

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 250·(1.91 − 1)/0.003 = €75 821.67

答案

FV = €75 821.67

你自己存入了 €54 000；其余是利息。

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = 14893 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0.1)¹ = 32 000/1.1 = 29 090.91

CF₂/(1 + 0.1)² = 22 000/1.21 = 18 181.82

CF₃/(1 + 0.1)³ = 34 000/1.331 = 25 544.70

CF₄/(1 + 0.1)⁴ = 25 000/1.464 = 17 075.34

相加

NPV = €14 892.77

答案

NPV = €14 892.77

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: MIRR = 14.6 %

修正 IRR：把每笔流入按再投资利率（通常为资本成本）复利到项目结束，得到终值 TV。MIRR 是把初始投资变为 TV 的利率：MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1。

流入的终值

9 000·1.06³ = 10 719.14

10 000·1.06² = 11 236.00

11 000·1.06¹ = 11 660.00

9 500·1.06⁰ = 9 500.00

TV = 43 115.14

MIRR

MIRR = (43 115.14/25 000)^1/4 − 1 = 14.6%

答案

MIRR = 14.6%

5.债券定价与收益率

答案: P = 1023 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €15.00, i = 0.0125, N = 10

票息的现值

€15.00·(1 − 0.8832)/0.0125 = €140.18

面值的现值

€1 000·0.8832 = €883.18

价格

P = €1 023.36

答案

P = €1 023.36

收益率低于票面利率，所以债券溢价出售。

6.债券定价与收益率

答案: D = 4.439 年

久期：麦考利久期是债券支付各笔现金流的加权平均时间，以各笔现金流的现值为权重：D = Σ t·PVₜ/P。修正久期 D/(1 + y) 用于估计收益率小幅变化时价格变化的百分比：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

各笔现金流的现值

t = 1: 60/1.08 = 55.56, t·PV = 55.56

t = 2: 60/1.166 = 51.44, t·PV = 102.88

t = 3: 60/1.26 = 47.63, t·PV = 142.89

t = 4: 60/1.36 = 44.10, t·PV = 176.41

t = 5: 1060/1.469 = 721.42, t·PV = 3 607.09

久期

P = 920.15

D = 4 084.82/920.15 = 4.439

答案

D = 4.439 年

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 10.03 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €14 000 000, E/V = 0.8571, D/V = 0.1429

WACC

WACC = 0.8571·11% + 0.1429·6%·(1 − 0.3) = 10.03%

答案

WACC = 10.03%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 7.772 %

市场价值

E = 2 500 000·€43.50 = €108 750 000

D = 5 000·€1 020 = €5 100 000

股权成本（CAPM）

r_e = 4% + 0.6·6.5% = 7.9%

权重

V = €113 850 000, E/V = 0.9552, D/V = 0.0448

WACC

WACC = 0.9552·7.9% + 0.0448·7%·(1 − 0.28) = 7.772%

答案

WACC = 7.772%

9.盈亏平衡分析

答案: DOL = 1.667

经营杠杆：固定成本使利润对销售额的反应更强烈。经营杠杆系数 DOL = 边际贡献/营业利润，表示销售额变化 1% 时利润变化 DOL %。它在刚超过盈亏平衡点时非常高，并随销售额增长而下降。

边际贡献总额

CM = 3 750·(21 − 15) = €22 500

营业利润

Π = 22 500 − 9 000 = €13 500

DOL

DOL = 22 500/13 500 = 1.667

答案

DOL = 1.667

10.盈亏平衡分析

答案: Q = 2400 件

有销售组合时的盈亏平衡：当产品按固定比例销售时，使用加权平均边际贡献：把每种产品的 p − v 按其件数所占份额加权。盈亏平衡件数 = F/（加权边际贡献），再按组合比例分配。

边际贡献

cm_A = €3, cm_B = €15

加权边际贡献

(3·3 + 1·15)/4 = €6.00

盈亏平衡件数

Q = 14 400/6 = 2 400

A: 1 800, B: 600

答案

Q = 2 400 件

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