公司金融：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

盈亏平衡分析

边际贡献: CM = p − v
盈亏平衡销量: Q_BE = FC/(p − v)
目标利润: Q = (FC + profit)/(p − v)
利润: π = (p − v)·Q − FC
安全边际: (Q − Q_BE)/Q

2练习题

1.货币的时间价值中等

你在 8 年后需要 €5 000。某账户年利率 6%，按季度复利。今天需要存入多少？求现值 PV。

FV = €5 0006% / 4n = 8

PV = €

2.货币的时间价值困难

一笔 €300 000 的抵押贷款在 30 年内按月等额偿还，年利率 6%，按月复利。在第 7 年年末那次还款之后，还欠多少？求未偿余额 B。

P = €300 0006% / 12N = 360k = 84

B = €

3.NPV 与 IRR中等

一个项目今天需投入 €60 000，在 6 年内每年年末回报 €16 500。资本成本为 12%。假设现金流在每年内均匀流入。求折现回收期 DPB，以年表示。

r = 12%CF₀ = −60 000CF₁ = 16 500CF₂ = 16 500CF₃ = 16 500CF₄ = 16 500CF₅ = 16 500CF₆ = 16 500

DPB = 年

4.NPV 与 IRR困难

一笔 €20 000 的投资在 9 年内每年年末回报 €4 000。求其内部收益率 IRR，以百分比表示。

C₀ = €20 000CF = €4 000n = 9

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 4.5%，每半年付息一次，6 年后到期。到期收益率为每年 7%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 4.5%YTM = 7%n = 6

P = €

6.债券定价与收益率困难

一只债券的交易价格为 €1 070，到期收益率为 6%（按年复利），麦考利久期为 8.6 年。如果收益率下降 50 个基点，用修正久期估计新价格 P。

P₀ = €1 070y = 6%D = 8.6Δy = −50 bp

P = €

7.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €6 000 000 的股权和价值 €2 000 000 的债务。其股权成本为 14%，税前债务成本为 4%，税率为 21%。求 WACC。

E = €6 000 000D = €2 000 000r_e = 14%r_d = 4%T = 21%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

一家公司业务的无杠杆（资产）贝塔为 1.1。它计划采用 1 的负债权益比。税率为 25.8%，无风险利率为 3.5%，市场风险溢价为 5.5%。求新资本结构下的股权资本成本 r_e。

β_U = 1.1D/E = 1T = 25.8%r_f = 3.5%r_m − r_f = 5.5%

r_e = %

9.盈亏平衡分析中等

一种产品可以用两种方法生产。方法 A 每年固定成本为 €15 000，单位变动成本为 €8。自动化程度更高的方法 B 每年固定成本为 €27 000，单位变动成本为 €2。年产量 Q 为多少时两种方法成本相同？

F_A = €15 000v_A = €8F_B = €27 000v_B = €2

Q = 件

10.盈亏平衡分析困难

一家公司每月以每件 €33 销售 3 000 件，单位变动成本为 €25，固定成本为每月 €12 000。单位变动成本上涨 €3，价格保持不变。现在每月必须销售多少件 Q 才能保持相同的利润？

Q = 3 000p = €33v = €25 → €28F = €12 000

Q = 件

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 3105 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = 0.06/4 = 0.015

N = 4·8 = 32

现值

PV = FV/(1 + i)^N = 5 000/1.61 = €3 104.96

答案

PV = €3 104.96

2.货币的时间价值

答案: B = 268918 €

月供

i = 0.005, N = 360

A = 300 000·0.005/(1 − (1 + 0.005)⁻³⁶⁰) = €1 798.65

剩余还款的现值

尚欠的金额必须恰好由剩余的还款还清。

N − k = 360 − 84 = 276

B = 1799·(1 − (1 + 0.005)⁻²⁷⁶)/0.005 = €268 918.16

答案

B = €268 918.16

3.NPV 与 IRR

答案: DPB = 5.062 年

回收期：累计现金流收回初始投资所需的时间。假定每年的现金在年内均匀流入，所以最后一段是一年中的一部分。简单回收期忽略货币的时间价值；折现回收期则使用折现后的现金流。

折现现金流和累计现金流

年份 1: 16 500/1.12 = 14 732.14 → Σ = 14 732.14

年份 2: 16 500/1.254 = 13 153.70 → Σ = 27 885.84

年份 3: 16 500/1.405 = 11 744.37 → Σ = 39 630.22

年份 4: 16 500/1.574 = 10 486.05 → Σ = 50 116.26

年份 5: 16 500/1.762 = 9 362.54 → Σ = 59 478.81

年份 6: 16 500/1.974 = 8 359.41 → Σ = 67 838.22

最后一年的分数

DPB = 5 + 521.19/8 359.41 = 5.062

答案

DPB = 5.062 年

折现回收期总是长于简单回收期（3.636 年）。

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 13.7 %

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

所需的年金系数

(1 − (1 + i)⁻⁹)/i = 20 000/4 000 = 5

求利率

利率升高时年金系数下降；先确定利率所在区间，再逐步缩小。

i = 13%: 5.132

i = 14%: 4.946

IRR = 13.7%

答案

IRR = 13.7%

5.债券定价与收益率

答案: P = 879.2 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €22.50, i = 0.035, N = 12

票息的现值

€22.50·(1 − 0.6618)/0.035 = €217.43

面值的现值

€1 000·0.6618 = €661.78

价格

P = €879.21

答案

P = €879.21

收益率高于票面利率，所以债券折价出售。

6.债券定价与收益率

答案: P = 1113 €

久期：麦考利久期是债券支付各笔现金流的加权平均时间，以各笔现金流的现值为权重：D = Σ t·PVₜ/P。修正久期 D/(1 + y) 用于估计收益率小幅变化时价格变化的百分比：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

修正久期

D_mod = 8.6/1.06 = 8.113

估计的价格变化

%ΔP ≈ −8.113·(−0.005) = 4.057%

P ≈ 1070·(1 + 0.04057) = €1 113.41

答案

P = €1 113.41

久期是线性估计；收益率变化较大时，凸性会使实际价格略高一些。

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 11.29 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €8 000 000, E/V = 0.75, D/V = 0.25

WACC

WACC = 0.75·14% + 0.25·4%·(1 − 0.21) = 11.29%

答案

WACC = 11.29%

8.CAPM 与 WACC

答案: r_e = 14.04 %

有杠杆贝塔（哈马达公式）：负债使股权风险增大。β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E)，其中 β_U 是无负债时业务的贝塔。要把贝塔转换到另一种资本结构，先去杠杆，再按新的 D/E 加杠杆。

有杠杆贝塔

β_L = 1.1·(1 + 0.742·1) = 1.916

股权成本（CAPM）

r_e = 3.5% + 1.916·5.5% = 14.04%

答案

r_e = 14.04%

9.盈亏平衡分析

答案: Q = 2000 件

本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。

总成本相等

15 000 + 8Q = 27 000 + 2Q

求 Q

Q = (27 000 − 15 000)/(8 − 2) = 2 000

答案

Q = 2 000 件

产量低于此值时方法 A 更便宜；高于此值时自动化的方法 B 更便宜。

10.盈亏平衡分析

答案: Q = 4800 件

当前利润

Π = 3 000·(33 − 25) − 12 000 = €12 000

新的单位边际贡献

33 − 28 = €5

保持相同利润所需的件数

Q = (12 000 + 12 000)/5 = 4 800

答案

Q = 4 800 件

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