公司金融：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

盈亏平衡分析

边际贡献: CM = p − v
盈亏平衡销量: Q_BE = FC/(p − v)
目标利润: Q = (FC + profit)/(p − v)
利润: π = (p − v)·Q − FC
安全边际: (Q − Q_BE)/Q

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以名义年利率 3% 投资 €12 000，按月复利。求 5 年后的投资价值 FV。

PV = €12 0003% / 12n = 5

FV = €

2.货币的时间价值困难

你在每年年初存入 €6 000，共 10 年，第一笔今天存入。账户年利率为 4%。第 10 年年末账户里有多少钱？求 FV。

A = €6 000i = 4%n = 10

FV = €

3.NPV 与 IRR中等

一台机器今天花费 €20 000，使用 6 年，每年运行费用为 €1 000（每年年末支付）。资本成本为 5%。求其等值年成本 EAC。

C₀ = €20 000M = €1 000n = 6r = 5%

EAC = €

4.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €50 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €25 000, €27 000, €20 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −50 000CF₁ = 25 000CF₂ = 27 000CF₃ = 20 000

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 3%，每半年付息一次，10 年后到期。到期收益率为每年 8%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 3%YTM = 8%n = 10

P = €

6.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 3% 的债券 5 年后到期，售价为 €955。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 3%n = 5P = €955

YTM = %

7.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €10 000 000 的股权和价值 €3 000 000 的债务。其股权成本为 14%，税前债务成本为 4.5%，税率为 25.8%。求 WACC。

E = €10 000 000D = €3 000 000r_e = 14%r_d = 4.5%T = 25.8%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

一家公司股票在当前负债权益比 0.4 下的贝塔为 1.5。公司计划把负债权益比提高到 0.6。税率为 20%，无风险利率为 3.5%，市场风险溢价为 6.5%。求变化后的股权资本成本 r_e。

β_L = 1.5D/E₁ = 0.4D/E₂ = 0.6T = 20%r_f = 3.5%r_m − r_f = 6.5%

r_e = %

9.盈亏平衡分析中等

某产品售价每件 €22，单位变动成本 €12。每月固定成本为 €15 000。每月需卖出多少件 Q 才能实现利润 €2 000？

F = €15 000p = €22v = €12利润 = €2 000

Q = 件

10.盈亏平衡分析困难

一家公司以每件 €23 销售 8 000 件，单位变动成本为 €18，固定成本为 €20 000。如果销量增加 10%，营业利润变化百分之多少 %ΔΠ？

Q = 8 000p = €23v = €18F = €20 000%ΔQ = +10%

%ΔΠ = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 13939 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = r/m = 0.03/12 = 0.0025

N = m·n = 12·5 = 60

终值

FV = 12 000·(1 + 0.0025)⁶⁰ = 12 000·1.162 = €13 939.40

答案

FV = €13 939.40

2.货币的时间价值

答案: FV = 74918 €

普通年金系数

((1 + 0.04)¹⁰ − 1)/0.04 = 12.01

先付年金

每笔存款都多投资一年。

FV = 6 000·12.01·1.04 = €74 918.11

答案

FV = €74 918.11

3.NPV 与 IRR

答案: EAC = 4940 €

等值年成本：把所有成本的现值在寿命期内分摊为每年相等的金额（一份年金）：EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ)。它可以用来比较寿命不同的机器。

年金系数

(1 − 1.05⁻⁶)/0.05 = 5.076

年化购置价格

20 000/5.076 = 3 940.35

EAC

EAC = 3 940.35 + 1 000 = €4 940.35

答案

EAC = €4 940.35

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 21.52 %

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(20%) = 1 157.41

NPV(25%) = −2 480.00

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 20 + 5·1 157.41/(1 157.41 − (−2 480.00)) = 21.59%

精确: NPV(21.52%) = 0 → IRR = 21.52%

答案

IRR = 21.52%

5.债券定价与收益率

答案: P = 660.2 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €15.00, i = 0.04, N = 20

票息的现值

€15.00·(1 − 0.4564)/0.04 = €203.85

面值的现值

€1 000·0.4564 = €456.39

价格

P = €660.24

答案

P = €660.24

收益率高于票面利率，所以债券折价出售。

6.债券定价与收益率

答案: YTM = 4.011 %

收益率方程

€955 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵

数值求解

P(4%) = €955.48, P(5%) = €913.41

YTM = 4.011%

答案

YTM = 4.011%

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 11.54 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €13 000 000, E/V = 0.7692, D/V = 0.2308

WACC

WACC = 0.7692·14% + 0.2308·4.5%·(1 − 0.258) = 11.54%

答案

WACC = 11.54%

8.CAPM 与 WACC

答案: r_e = 14.43 %

有杠杆贝塔（哈马达公式）：负债使股权风险增大。β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E)，其中 β_U 是无负债时业务的贝塔。要把贝塔转换到另一种资本结构，先去杠杆，再按新的 D/E 加杠杆。

对贝塔去杠杆

β_U = 1.5/(1 + 0.8·0.4) = 1.136

按新的 D/E 重新加杠杆

β_L = 1.136·(1 + 0.8·0.6) = 1.682

股权成本（CAPM）

r_e = 3.5% + 1.682·6.5% = 14.43%

答案

r_e = 14.43%

9.盈亏平衡分析

答案: Q = 1700 件

本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。

单位边际贡献

p − v = 22 − 12 = €10

实现目标利润的销量

Q = (F + 利润)/(p − v) = (15 000 + 2 000)/10 = 1 700

答案

Q = 1 700 件

10.盈亏平衡分析

答案: %ΔΠ = 20 %

经营杠杆：固定成本使利润对销售额的反应更强烈。经营杠杆系数 DOL = 边际贡献/营业利润，表示销售额变化 1% 时利润变化 DOL %。它在刚超过盈亏平衡点时非常高，并随销售额增长而下降。

边际贡献和利润

CM = 8 000·5 = €40 000

Π = 40 000 − 20 000 = €20 000

DOL

DOL = 40 000/20 000 = 2

利润的变化

%ΔΠ = 2·(+10%) = +20%

答案

%ΔΠ = +20%

校核：新利润 = 8 800·5 − 20 000 = €24 000.00。

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