货币的时间价值
- 终值
- FV = PV·(1 + i)n
- 现值
- PV = FV/(1 + i)n
- 每年多个计息期
- i = r/m, N = m·n
- 年金现值
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金终值
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
方法
- 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
- 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
- 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
- 检查答案的符号和数量级。
公司金融：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
NPV 与 IRR
- 净现值
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 等额现金流
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部收益率
- 使 NPV = 0 的 r
- 决策
- NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受
方法
- 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
- 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
- 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
- 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。
债券定价与收益率
- 债券价格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年付息
- C/2、y/2 和 2n 期
- 当期收益率
- C/P
- 价格与收益率
- 收益率上升 → 价格下降
方法
- 求每期票息和每期收益率。
- 价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
- 半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
- 检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。
CAPM 与 WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企业价值
- V = E + D
盈亏平衡分析
- 边际贡献
- CM = p − v
- 盈亏平衡销量
- QBE = FC/(p − v)
- 目标利润
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利润
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全边际
- (Q − QBE)/Q
2练习题
1.货币的时间价值中等
一份年金在每年年末支付 €5 000，共 19 年。年利率为 7%。求该年金的现值 PV。
A = €5 000i = 7%n = 19
PV = €
2.货币的时间价值困难
你在 26 年内每月月末存入 €50。账户年利率 6%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。
A = €506% / 12N = 312
FV = €
3.NPV 与 IRR中等
一项 €30 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€7 000, €12 000, €10 000, €15 000。资本成本为 9%。求净现值 NPV。
r = 9%CF0 = −30 000CF1 = 7 000CF2 = 12 000CF3 = 10 000CF4 = 15 000
NPV = €
4.NPV 与 IRR困难
某项目投入 €10 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €5 000, €6 500, €6 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。
CF0 = −10 000CF1 = 5 000CF2 = 6 500CF3 = 6 500
IRR = %
5.债券定价与收益率中等
一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 4.5%，每半年付息一次，10 年后到期。到期收益率为每年 4%。 求该债券的价格 P。
F = €1 000票面利率 = 4.5%YTM = 4%n = 10
P = €
6.债券定价与收益率困难
一张面值为 €1 000、年票面利率为 6% 的债券 6 年后到期，售价为 €950。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。
F = €1 000票面利率 = 6%n = 6P = €950
YTM = %
7.CAPM 与 WACC中等
一家公司的股权价值为 €5 000 000，债务价值为 €1 000 000。其 WACC 为 12.41%，税前债务成本为 6%，税率为 25.8%。求股权资本成本 re。
E = €5 000 000D = €1 000 000WACC = 12.41%rd = 6%T = 25.8%
re = %
8.CAPM 与 WACC困难
某公司有2 000 000 股、每股 €40.00 的股票，以及 40 000 张、每张市价 €1 020 的债券。税前债务成本为 3%，税率为 20%。股票的 β 系数为 1.8，无风险利率为 4%，市场回报率为 10.5%。求 WACC。
β = 1.8rf = 4%rm = 10.5%rd = 3%T = 20%
WACC = %
9.盈亏平衡分析中等
一种产品可以用两种方法生产。方法 A 每年固定成本为 €20 000，单位变动成本为 €25。自动化程度更高的方法 B 每年固定成本为 €40 000，单位变动成本为 €21。年产量 Q 为多少时两种方法成本相同？
FA = €20 000vA = €25FB = €40 000vB = €21
Q = 件
10.盈亏平衡分析困难
某产品售价每件 €35，单位变动成本 €30，每年固定成本 €2 500。预算销量为 900 件。求安全边际 MS，以占预算销量的百分比表示。
F = €2 500p = €35v = €30预算 = 900
MS = %
3溶液
1.货币的时间价值
答案: PV = 51678 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
年金系数
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0.2765)/0.07 = 10.34
现值
PV = 5 000·10.34 = €51 677.98
答案
PV = €51 677.98
2.货币的时间价值
答案: FV = 37404 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
月利率和存款次数
i = 0.06/12 = 0.005
N = 12·26 = 312
存款的终值
FV = A·((1 + i)N − 1)/i = 50·(4.74 − 1)/0.005 = €37 403.59
答案
FV = €37 403.59
你自己存入了 €15 600；其余是利息。
3.NPV 与 IRR
答案: NPV = 4870 €
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
各笔现金流的现值
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0.09)1 = 7 000/1.09 = 6 422.02
CF2/(1 + 0.09)2 = 12 000/1.188 = 10 100.16
CF3/(1 + 0.09)3 = 10 000/1.295 = 7 721.83
CF4/(1 + 0.09)4 = 15 000/1.412 = 10 626.38
相加
NPV = €4 870.39
答案
NPV = €4 870.39
NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。
4.NPV 与 IRR
答案: IRR = 34.37 %
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
夹逼 IRR
利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。
NPV(30%) = 650.89
NPV(35%) = −87.89
缩小范围
线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。
IRR ≈ 30 + 5·650.89/(650.89 − (−87.89)) = 34.41%
精确: NPV(34.37%) = 0 → IRR = 34.37%
答案
IRR = 34.37%
5.债券定价与收益率
答案: P = 1041 €
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
每期
C = €22.50, i = 0.02, N = 20
票息的现值
€22.50·(1 − 0.673)/0.02 = €367.91
面值的现值
€1 000·0.673 = €672.97
价格
P = €1 040.88
答案
P = €1 040.88
收益率低于票面利率，所以债券溢价出售。
6.债券定价与收益率
答案: YTM = 7.051 %
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
收益率方程
€950 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶
数值求解
P(7%) = €952.33, P(8%) = €907.54
YTM = 7.051%
答案
YTM = 7.051%
7.CAPM 与 WACC
答案: re = 14 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
权重
V = €6 000 000, E/V = 0.8333, D/V = 0.1667
WACC 中的债务部分
0.1667·6%·(1 − 0.258) = 0.742%
股权成本
re = (12.41% − 0.742%)/0.8333 = 14%
答案
re = 14%
8.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 11.21 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
市场价值
E = 2 000 000·€40.00 = €80 000 000
D = 40 000·€1 020 = €40 800 000
股权成本（CAPM）
re = 4% + 1.8·6.5% = 15.7%
权重
V = €120 800 000, E/V = 0.6623, D/V = 0.3377
WACC
WACC = 0.6623·15.7% + 0.3377·3%·(1 − 0.2) = 11.21%
答案
WACC = 11.21%
9.盈亏平衡分析
答案: Q = 5000 件
本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。
总成本相等
20 000 + 25Q = 40 000 + 21Q
求 Q
Q = (40 000 − 20 000)/(25 − 21) = 5 000
答案
Q = 5 000 件
产量低于此值时方法 A 更便宜；高于此值时自动化的方法 B 更便宜。
10.盈亏平衡分析
答案: MS = 44.44 %
本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。
盈亏平衡销量
Q = F/(p − v) = 2 500/5 = 500
安全边际
MS = (900 − 500)/900·100 = 44.44%
答案
MS = 44.44%
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